Е.Б. Винберг - Теория к экзамену (1107935), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для любого положительно определённого симметрического оператора B существует единственный положительно определённый симметрический оператор S, такой, что S 2 = B.Доказательство.1. В некотором ортонормированном базисе оператор B записывается диагональной матрицейλ10.. , λi > 0..0λnРассмотрим оператор S,который в том же базисе записывается матрицей √λ1...00√λn pλi > 0.,Очевидно, что S 2 = B, и S - положительно определённый симметрический оператор.2.
Пусть S 2 = B, и S - положительно определённый симметрический оператор.Пусть µ1 , . . . , µm - различные собственные значения оператора S.Тогда V = Vµ1 (S) ⊕ . . . ⊕ Vµm (S), причём различные слагаемые ортогональны.Оператор B действует на Vµi (S) как умножение на µ2i . Значит Vµi (S) = Vµ2i (B).Поэтому µi и Vµi (S) определены однозначно как корни из собственных значений оператора B и собственныеподпространства оператора B.
Q.E.D.Теорема (Полярное разложение). Всякий невырожденный линейный оператор A в евклидовом пространствеединственным образом представим в виде A = SO, где S - положительно определённый симметрический оператор, а O - ортогональный оператор.Доказательство.1. Пусть A = SO. Тогда AA∗ = SOO∗ S ∗ = SS ∗ = S 2 . Заметим, что AA∗ для невырожденного оператора естьположительно определённый симметрический оператор:(AA∗ )∗ = A∗∗ A∗ = AA∗ ;(AA∗ x, x) = (A∗ x, A∗ x) > 0 при x 6= 0.По лемме S определён однозначно, но тогда и O = S −1 A тоже определён однозначно.2.
Рассмотрим AA∗ - по лемме существует невырожденный положительно определённый симметрическийоператор S такой, что AA∗ = S 2 . Положим O = S −1 A, тогда A = SO.Но O - ортогональный оператор: OO∗ = S −1 AA∗ S ∗ −1 = S −1 S 2 S −1 = E, Q.E.D.Полярное разложение невырожденного линейного оператора в эрмитовом пространстве доказывается абсолютноаналогично.1833Корневые подпространства линейного оператора.Разложение пространства в прямуюсумму корневых подпространств.Def.
Вектор e ∈ V называется корневым вектором оператора A, если существует такое m ∈ N ∪ {0}, что(A − λE)m e = 0. Наименьшее такое m называется высотой корневого вектора e. Собственные векторы - этокорневые векторы высоты 1, нулевой вектор имеет высоту 0.Если (A − λE)m e = 0, то (A − λE m−1 e) - собственный вектор с собственным значением λ.Значит, корневые векторы могут существовать только для собственных значений оператора A.Совокупность всех корневых векторов, отвечающих одному и тому же λ, образует подпространство. Оно называется корневым подпространством и обозначается V λ (A). Понятно, что если e - корневой вектор высоты m,то (A − λE)e - корневой вектор высоты m − 1. Значит, (A − λE)V λ (A) ⊂ V λ (A).
Поэтому V λ (A) инвариантноотносительно A − λE, значит, и относительно A.Лемма. В корневом подпространстве V λ (A) существует базис, в котором матрица A имеет вид:λ∗....0Доказательство. V λ (A) =∞Sm=0λKer (A − λE)m , поэтомуKer (A − λE) ⊂ Ker (A − λE)2 ⊂ · · · ⊂ Ker (A − λE)p = V λ (A).Выберем базис в Ker (A − λE), дополним его до базиса Ker (A − λE)2 , и так далее.λПолучимбазисматрица A − λE имеет вид в V (A), в котором 0∗λ∗....Q.E.D. , а матрица A - вид ...000λСледствие. Характеристический многочлен оператора A V λ (A)имеет вид (t − λ)q , где q = dim V λ (A).Следствие.
При λ 6= µ оператор A − µE невырожден на V λ (A).Теорема. dim V λ (A) = кратности корня λ в fA (t).Доказательство. Пусть (e1 , . . . , eq ) - базис в V λ (A).Дополним его до базиса (e1 , . . . , en ) пространства V . В этом базисе матрица A имеет вид:B DA=,0 Cгде B - матрица AV λ (A) .Тогда tE − BfA (t) = 0−D = (t − λ)q · det(tE − C).tE − C Докажем, что det(tE − C) не делится на t − λ, то есть det(λE − C) 6= 0. Рассмотрим оператор C в пространствеheq+1 , . . . , en i, задаваемый матрицей C. Если det(λE − C) = 0, то λ - собственное значение C, то есть ∃ e ∈heq+1 , . .
. , en i , e 6= 0, такой что Ce = λe. Но тогда Ae = λe + u для некоторого u ∈ he1 , . . . , eq i = V λ (A). Такимобразом (A − λE)e ∈ V λ (A) ⇒ e ∈ V λ (A). Противоречие. Q.E.D.Теорема. Корневые подпространства, отвечающие различным собственным значениям λ,линейно независимы.Доказательство. Пусть (λ1 , .
. . , λs ) - различные собственные значения.Будем рассуждать индукцией по s.При s = 1 доказывать нечего.Пусть s > 1. Предположим, что v1 + · · · + vs = 0, где vi ∈ V λi (A). Применим к этому равенству (A − λs E)m , гдеm выбрано так, что (A − λs E)m vs = 0. Тогда(A − λs E)m v1 + · · · + (A − λs E)m vs−1 = 0.19Заметим, что (A − λs E)m vi ∈ V λi (A). По предположению, все слагаемые равны нулю:(A − λs E)m vi = 0 i = 1, . .
. , s − 1. Но это значит, в силу невырожденности (A − λs E)m на V λi (A) при s 6= i, чтоvi = 0 i = 1, . . . , s − 1. Но тогда и vs = 0. Q.E.D.Теорема. Если fA (t) = (t − λ1 )k1 . . . (t − λs )ks , где λ1 , . . . , λs различны, то V = V λ1 (A) ⊕ . . . ⊕ V λs (A).Доказательство. По двум предыдущим теоремам, эти подпространства линейно независимы, и сумма их размерностей равна размерности всего пространства, поэтому Q.E.D.34Нильпотентные операторы. Разложение пространствав прямую сумму циклических подпространствнильпотентного оператора.V λ (A) = Ker (A − λE)m для некоторого m. Значит, если обозначить N = A − λE V λ (A) , то N m = 0, поэтому N- нильпотентный оператор.
Изучим нильпотентные операторы.Пусть N - нильпотентный оператор в пространстве V . Высотой вектора v назовём наименьшее m, для которогоN m v = 0. Обозначается ht v.Лемма 1. Пусть e - вектор высоты m. Тогда векторы e, N e, . .
. , N m−1 e линейно независимы.Доказательство. Пусть λ0 e + λ1 N e + · · · + λm−1 N m−1 e = 0 - нетривиальная линейная зависимость. Пусть λk первый ненулевой коэффициент. Применим N m−k−1 , получим λk N m−1 e = 0.Противоречие. Q.E.D.Def. Подпространство e, N e, . . . , N m−1 e называется циклическим подпространством, порождённым векторомe.
Это подпространство инвариантно относительно N , причём в базисе(e, N e, . . . , N m−1 e) матрица ограничения N на это подпространство имеет вид:0 100.... 1 00Такая матрица называется нильпотентной жордановойклеткой. Лемма 2. Пусть e - вектор высоты m, U = e, N e, . . . , N m−1 e . Если e′ ∈ U \N U, то e′ порождает то жециклическое подпространство U .m−1Доказательство.e′ =e, λ0 6= 0, значит N m−1 e′ = λ0 N m−1 e 6= 0 ⇒ ht e′ = m ⇒ ′ λ0 e + λ1 N e + · · · + λm−1 N′m−1 ′e ,Ne ,...,Ne = U.
Q.E.D.Теорема. Для всякого нильпотентного оператора N всё пространство может быть разложено в прямую суммуциклических подпространств, а число слагаемых в разложении равно dim Ker N .Доказательство. Индукцией по n = dim V.При n = 1 доказывать нечего.Пусть n > 1. Так как N вырожден, то N V 6= V. Пусть U - любое пространство размерности n−1, содержащее N V.Очевидно, что U инвариантно, так как N V ⊂ U ⇒ N U ⊂ U.
По предположению, U разложимо в прямую суммуциклических подпространств U = U1 ⊕ . . . ⊕ Uk . Пусть e ∈ V \U. Тогда N e ∈ U ⇒ N e = u1 + · · · + uk ui ∈ Ui .Если ui ∈ N Ui , то есть u = N vi vi ∈ Ui , то, заменив e на e − vi , получим ui = 0. Так что будем считать, чтодля каждого i либо ui ∈/ N Ui , либо ui = 0.1. Пусть все ui = 0, то есть N e = 0. Тогда hei - одномерное циклическое подпространство, V = hei ⊕ U1 ⊕.
. . ⊕ Uk .2. Если не все ui = 0, то ht N e = max ht ui = m. Без ограничения общности считаем, что ht u1 = m. Тогдаi : ui 6=0ht e = m + 1. Докажем, что V = he, N e, . . . , N m ei ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Uk . Надо доказать, что сумма прямая, ведьтак как ui ∈/ N Ui , dim U1 = m, поэтому сумма размерностей уже равна dim V. Так как U2 , . . . , Uk линейнонезависимы, достаточно доказать, чтоhe, N e, . . .
, N m ei ∩ (U2 ⊕ . . . ⊕ Uk ) = 0. Пусть λ0 e + λ1 N e + · · · + λm N m e ∈ U2 ⊕ . . . ⊕ Uk . Так как e ∈/ U , тоλ0 = 0. Проектируя на U1 , получаем, что (так как N e = u1 + · · · + uk ) λ1 u1 + λ2 N u1 + · · · + λm N m−1 u1 = 0.Но тогда по Лемме 1, λ1 = · · · = λm = 0.Теперь докажем про число подпространств. Пусть V = U1 ⊕. . .⊕Uk - разложение V в прямую сумму циклическихподпространств.
Поэтому Ker N = Ker N U1 ⊕ . . . ⊕ Ker N Uk . Но dim Ker N Ui = 1, поэтому dim Ker N = k.Q.E.D.2035Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме.Минимальный многочлен.Теорема Гамильтона-Кэли. Критерий существованиясобственного базиса.Пусть A - линейный оператор, характеристический многочлен которого раскладывается на линейные множители. Тогда V = V λ1 (A) ⊕ . . . ⊕ V λs (A).
Для каждого i подпространство V λi (A) может быть разложено в прямуюсумму циклических подпространств относительно нильпотентного оператора Ni = A − λE V λi (A) . В базисе пространства V , составленном из базисов всех этих подпространств, матрица A будет иметь вид:λ 10J10λ..A=,гдеJ,...,J−матрицывида.1p.... 1 0Jp0λ— так называемые жордановы клетки (для каждого собственного значения λ может быть несколько жордановыхклеток с этим значением - столько, сколько циклических подпространств).
Сама матрица такого вида называетсяжордановой. Таким образом, доказана следующая теорема:Теорема. Если характеристический многочлен линейного оператора раскладывается на линейные множители,то существует базис, в котором матрица этого оператора жорданова (такой базис называется жордановым).Q.E.D.Можно также доказать, что жорданова форма матрицы линейного оператора единственна с точностью до перестановки клеток, хотя сам жорданов базис далеко не единствен.Сумма порядков жордановых клеток с одним и тем же λ на диагонали равна dim V λ (A),то есть кратности корня λ в fA (t), а количество этих клеток равно dim Vλ (A).Максимальный порядок этих клеток равен высоте оператора (A − λE) V λ (A) .Def. Пусть f (t) = a0 tn + · · · + an−1 t + an , A - линейный оператор. Тогда можно определитьf (A) = a0 An + · · · + an−1 A + an E.
Аналогично можно определить f (A) для матриц.Если в каком-то базисе оператор A имеет матрицу A, то оператор f (A) имеет матрицу f (A). Понятно, что:1. (f + g)(A) = f (A) + g(A);2. (f g)(A) = f (A) · g(A).Def. Многочлен f называется аннулирующим многочленом оператора A, если f (A) = 0.Лемма. Для любого линейного оператора A существует ненулевой аннулирующий многочлен.Доказательство. Так как dim L(V ) = n2 < ∞ (L(V ) - пространство линейных операторов), то система2E, A, A2 , . . .
, Anлинейно зависима. Значит, существует аннулирующий многочлен с коэффициентами линейной зависимости этойсистемы операторов. Степень этого многочлена равна n2 . Q.E.D.Любой многочлен, кратный аннулирующему, тоже является аннулирующим.Лемма. Пусть m - аннулирующий многочлен оператора A минимальной степени. Тогда всякий аннулирующиймногочлен кратен m.Доказательство. Пусть f - аннулирующий многочлен. Поделим: f = qm + r.Но тогда r = f − qm - тоже аннулирующий многочлен. Но тогда r = 0, потому что его степень меньше степениm. Q.E.D.Def.
Аннулирующий многочлен минимальной степени со старшим коэффициентом 1 называется минимальныммногочленом оператора A. Обозначается mA . Всякий другой аннулирующий многочлен кратен ему.Лемма 1. Пусть J - жорданова клетка порядка m с собственным значением λ. Тогда mJ = (t − λ)m .Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
