Е.Б. Винберг - Теория к экзамену (1107935), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Q.E.D.Def. Определим операцию симметрического умножения:∨ : Sp (V ) × Sq (V ) → Sp+q (V );α ∨ β = Sym (α ⊗ β).Свойства:1. Линейность по обоим аргументам;2. Коммутативность:β ∨ α = Sym (β ⊗ α) = Sym (ρ(α ⊗ β)) = α ∨ β для некоторой ρ ∈ Sp+q .3. Ассоциативность: вытекает из леммы ” Sym − Sym ”.40Рассмотрим симметрическую алгебру пространства V ∗ :S(V ∗ ) =∞MSp (V ),p=0где операция умножения продолжается с операции ∨ по линейности (аналогично T (V ∗ )).Пусть α1 , . .
. , αp ∈ S1 (V ) = V ∗ .P(α1 ∨ · · · ∨ αp )(x1 , . . . , xp ) = 1α x. . . αp xσ(p) = 1 per (αi (xj )) - перманент.p! σ∈Sp 1 σ(1)p!Пусть (ε1 , . . . , εn ) - базис V ∗ ; (ε∗1 , . . . , ε∗n ) = (e1 , . . . , en ) - базис V .Теорема. εi1 ∨ · · · ∨ εip (i1 6 . . . 6 ip ) — базис в Sp (V ).Доказательство.1. Произведения εi1 ⊗ . . . ⊗ εip образуют базис в Tp (V ), значит,произведения Sym εi1 ⊗ . . . ⊗ εip = εi1 ∨ · · · ∨ εip порождают пространство Sp (V ).Но ввиду коммутативности достаточно рассматривать только εi1 ∨ · · · ∨ εip , где (i1 6 . .
. 6 ip ).P2. Пустьai1 ...ip εi1 ∨ · · · ∨ εip = 0. Возьмём j1 6 . . . 6 jp и рассмотрим значение суммы на ej1 , . . . , ejp .i1 6...6ipЕсли (i1 , . . . , ip ) 6= (j1 , . . . , jp ), то εi1 ∨ · · · ∨ εip ej1 , . . . , ejp = 0, в противном случае это значение неравно нулю. Значит, ai1 ...ip = 0. Q.E.D.n(n + 1) . . . (n + p − 1)Следствие. dim Sp (V ) = CCnp =(число сочетаний с повторениями).p!Def. Функция на V со значениями в K называется многочленом, если в координатах она записывается какмногочлен.Степень многочлена не зависит от базиса (так как замена координат линейна).Многочлены образуют алгебру K[V ].∞MK[V ] =K[V ]p ,p=0где K[V ]p - пространство однородных многочленов степени p.Def.
Для любой симметрической p−линейной функции α ∈ Sp (V ) определён ассоциированный с ней многочленfα (x) = α(x, x, . . . , x) ∈ K[V ]p .Теорема. Отображение α 7→ fα определяет изоморфизм алгебр S(V ∗ ) и K[V ].Доказательство.1. Докажем, что это гомоморфизм.
Надо доказать, что fα∨β = fα fβ . Действительно,fα∨β (x) = (α ∨ β)(x, x, . . . , x) = α(x, . . . , x)β(x, . . . , x) = fα (x)fβ (x).| {z }| {z } | {z }p+qpq2. fεi (x) = εi (x) = xi ⇒ fεi1 ∨···∨εip (x) = xi1 . . . xip .Но одночлены xi1 . . . xip с i1 6 . .
. 6 ip образуют базис в пространстве многочленов,а εi1 ∨ · · · ∨ εip с i1 6 . . . 6 ip образуют базис в пространстве Sp (V ), так как char K 6= 0.Поэтому α 7→ fα - изоморфизм. Q.E.D.Аналогично строится S(V ). Оно изоморфно K[V ∗ ].61Внешняя алгебра векторного пространства(над полем нулевой характеристики).Def. p−линейная функция α ∈ Tp (V ) называется кососимметрической, если ∀σ ∈ Sp σα = (sgn σ)α.Кососимметрические функции образуют подпространство Λp (V ) ⊂ Tp (V ).Def. Операция альтернирования определяется следующим образом:Alt : Tp (V ) → Tp (V ),Alt α =1 X(sgn σ)σα.p!σ∈SpТеорема. Alt - проектор на подпространство Λp (V ).Доказательство.411.
α ∈ Λp (V ) ⇒ Alt α = α.2. ∀α ∈ Tp (V ) Alt α ∈ Λp (V ). Действительно,1 P (sgn σ)τ σα = sgn τ · 1 P (sgn σ)σα = sgn τ Alt α.∀τ ∈ Sp τ Alt α = p!p! σ∈Spσ∈Sp3. Alt 2 = Alt ⇒ Alt - проектор на Λp (V ). Q.E.D.Лемма. Alt (Alt α ⊗ β) = Alt (α ⊗ Alt β) = Alt (α ⊗ β).Доказательство. ∀σ ∈ Sp Alt (σα ⊗ β) = (sgn α)Alt (α ⊗ β). Суммируя по всем σ и деля на p!, получаем, чтоAlt (Alt α ⊗ β) = Alt (α ⊗ β). Q.E.D.Def. Операция внешнего умножения определяется таким образом:∧ : Λp (V ) × Λq (V ) → Λp+q (V ),α ∧ β = Alt (α ⊗ β).Свойства:1.
Билинейность;2. Суперкоммутативность: β ∧ α = (−1)pq α ∧ βрическому умножению: sgn ρ = (−1)pq .(α ∈ Λp (V ), β ∈ Λq (V )) - доказывается аналогично симмет-3. Ассоциативность - вытекает из соответствующей леммы.Можно построить внешнюю алгебру пространства V ∗ :Λ(V ∗ ) =∞MΛp (V ).p=0В ней три операции: сумма, умножение на число и внешнее умножение (продолжается по дистрибутивностиоперации ∧ : Λp (V ) × Λq (V ) → Λp+q (V )).Λ0 (V ) = K, Λ1 (V ) = V ∗ .PЕсли α1 , . . . , αp ∈ V ∗ , то (α1 ∧ · · · ∧ αp )(x1 , . . .
, xp ) = 1(sgn σ)α1 xσ(1) . . . αp xσ(p) =p! σ∈Sp1= p! det (αi (xj )) - обыкновенный определитель.Теорема. Произведения εi1 ∧ · · · ∧ εip , где i1 < · · · < ip , образуют базис подпространства Λp (V ).Доказательство.1. Так как произведения εi1 ⊗ . . . ⊗ εip образуют базис пространства Tp (V ),то Alt εi1 ⊗ . .
. ⊗ εip = εi1 ∧ · · · ∧ εip порождают Λp (V ). Если среди индексов есть одинаковые, то получается ноль. Если нет, то можно упорядочить по строгому возрастанию (при этом умножится на ±1).Поэтому произведения εi1 ∧ · · · ∧ εip , где i1 < · · · < ip , порождают подпространство Λp (V ).2. То, что это базис, доказывается аналогично симметрическому произведению.Q.E.D.Следствие.
dim Λp (V ) = Cnp , в частности, dim Λp (V ) = 0 при p > n.dim Λ(V ∗ ) = 2n , dim Λn (V ) = 1.∞LАналогично строится внешняя алгебра Λ(V ) =Λp (V ).p=0Элементы Λp (V ) называются p−векторами.62Разложимые поливекторыи подпространства векторного пространства.Теорема. Пусть a1 , . . . , ap ∈ V. Тогда a1 ∧ · · · ∧ ap = 0 ⇔ векторы линейно зависимы.Доказательство.1. Пусть векторы линейно зависимы.
Для определённости положим ap = λ1 a1 + · · · + λp−1 ap−1 . Тогда a1 ∧p−1P· · · ∧ ap = a1 ∧ · · · ∧ ap−1 ∧ (λ1 a1 + · · · + λp−1 ap−1 ) =λi (a1 ∧ · · · ∧ ap−1 ∧ ai ) = 0.i=1422. Пусть векторы линейно независимы. Включим их в базис (e1 , . . . , en ) пространства V , так чтобы ei =ai i = 1, . . . , p. Тогда a1 ∧ · · · ∧ ap = e1 ∧ · · · ∧ ep - один из базисных векторов пространства Λp (V ), значит,не равен нулю. Q.E.D.Теорема. Пусть {a1 , a2 , . . . , an } и {b1 , b2 , .
. . , bn } - две линейно независимые системы векторов V . Тогда a1 ∧· · · ∧ ap и b1 ∧ · · · ∧ bp пропорциональны ⇔ ha1 , . . . , ap i = hb1 , . . . , bp i .Доказательство.1. Пусть ha1 , . . . , ap i = hb1 , . . . , bp i . Тогда система (b) линейно выражается через систему (a).
Подставляя этовыражение в b1 ∧ · · · ∧ bp , получаем, что b1 ∧ · · · ∧ bp линейно выражается через ai1 ∧ · · · ∧ aip . Но этипроизведения линейно выражаются через a1 ∧ · · · ∧ ap , поэтому и b1 ∧ · · · ∧ bp линейно выражается черезa1 ∧ · · · ∧ ap .2. Пусть a1 ∧· · ·∧ap и b1 ∧· · ·∧bp пропорциональны. Выберем базис (e1 , . . . , en ) пространства V , согласованныйс ha1 , . . . , ap i и hb1 , . . . , bp i.
То есть, ha1 , . . . , ap i = he1 , . . . , ep i и hb1 , . . . , bp i = he1 , . . . , er i ⊕ hep+1 , . . . , e2p−r i .Тогда мы видим, что a1 ∧ · · · ∧ ap пропорционально e1 ∧ · · · ∧ ep , а b1 ∧ · · · ∧ bp пропорционально e1 ∧ · · · ∧er ∧ ep+1 ∧ · · · ∧ e2p−r .Но e1 ∧ · · · ∧ ep и e1 ∧ · · · ∧ er ∧ ep+1 ∧ · · · ∧ e2p−r — (при r < p) два разных базисных вектора пространстваΛp (V ), поэтому они непропорциональны. Значит, r = p.
Q.E.D.Таким образом, подпространство может характеризоваться лишь внешними произведениями базисных векторов.Пусть U ⊂ V, dim U = p. Пусть (a1 , . . . , ap ) - базис U . Разложим a1 ∧ · · · ∧ ap ∈ Λp (V ) по базису:Xa1 ∧ · · · ∧ ap =Mi1 ...ip ei1 ∧ · · · ∧ eip ,i1 <···<ipгде (e1 , .
. . , en ) - базис пространства V . Mi1 ...ip , где i1 < · · · < ip , называются плюккеровыми координатамиподпространстваU . Они однозначно определяютподпространство, но сами они однородны.PPai =aij ej , Ap×n = (aij ). M1...p =(sgn σ) · a1σ(1) . . . apσ(p) - угловой минор матрицы A.
Таким образом,jσ∈SpMi1 ...ip - тоже минор, образованный столбцами i1 , . . . , ip .Def. p−вектор, представимый в виде a1 ∧ · · · ∧ ap , где a1 , . . . , ap ∈ V , называется разложимым.Только разложимые p−векторы соответствуют подпространствам.63Канонический вид и критерий разложимости бивектора.Пусть b ∈ Λ2 (V ). Это можно рассматривать как кососимметрическую билинейную функцию на V ∗ . b(εi , εj ) =bij , B = (bij P) - матрица бивектора. Она кососимметрическая.Лемма. b = bij ei ∧ ej .i,jДоказательство.
Найдём матрицу бивектора ei ∧ ej :(ei ∧ ej )(εi , εj ) = −(ei ∧ ej )(εj , εi ) =11ei (εi )ej (εj ) = .22Получаем 12 bij . Но в сумме будет bij , как раз. Q.E.D.Теорема. ∀b ∈ Λ2 (V ) существует симплектический базис.Доказательство. Вытекает из соответствующей теоремы. Q.E.D.Теорема. Следующие условия эквивалентны:1. Бивектор b разложим;2. rk b 6 2;3. b ∧ b = 0.Доказательство. Пусть b разложим. Можно считать b 6= 0.
Пусть b = a1 ∧ a2 , и a1 , a2 линейно независимы.Дополним a1 , a2 до базиса (e1 , . . . , en ) пространства V : a1 = e1 , a2 = e2 . Тогда b = e1 ∧ e2 . Значит, rk b = 2 иb ∧ b = 0.Пусть b неразложим. Тогда существует базис, в которомb = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 + · · · + e2k−1 ∧ e2k ,где k > 2 (иначе b разложим). Поэтому rk b = 2k > 2, b ∧ b = 2e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 + · · · =6 0.4364Определитель как единственная кососимметрическаяn−линейная функция в n−мерном пространстве.Как известно, dim Λp (V ) = Cnp , то есть dim Λ( V ) = 1. Поэтому кососимметрическая n−линейная функция вn−мерном пространстве единственна с точностью до умножения на число.Рассмотрим определитель n векторов в пространстве V : a1 , .
. . , an — пусть (e1 , . . . , en ) - фиксированный базиспространства V , тогда составим определитель координат det(aij ) - первая цифра означает номер вектора, вторая - номер координаты. При переходе к другому базису определитель (как кососимметрическая n−линейнаяфункция в n−мерном пространстве) умножается на определитель матрицы перехода.44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
