Е.Б. Винберг - Теория к экзамену (1107935), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Значит,iiPP→P→) = f (o) + P λ −fλi pi = f (o) + λi df (−opλi f (pi )ii ( f (o)f (pi )) =iiiiпо определению барицентрических линейных комбинаций в S ′ .Def. Простое отношение трёх точек на прямой в аффинном пространстве. Пусть точки p, q и r лежат на одной→→прямой. q 6= r ⇒ −pr = c · −rq. Число c называется простым отношением (p, q; r).
Если q = r, но p 6= q, томожно считать (p, q; r) = ∞. Простое отношение сохраняется при аффинном отображении (если данная прямаяне переходит в точку): (f (p), f (q); f (r)) = (p, q; r).Def. Аффинным преобразованием пространства S называется аффинное отображение f : S → S.f (p+ x) = f (p)+ Ax, где A = df - линейный оператор в пространстве V . В векторизованной форме f (x) = Ax+ b,−−−→где b = of (o).Теорема. Пусть {p0 , p1 , . . . , pn } и {q0 , q1 , . . . , qn } - две аффинно независимые системы точек в n−мерном аффинном пространстве S.
Тогда существует единственное аффинное преобразование f , переводящее первую системуточек во вторую: f (pi ) = qi i = 0, 1, . . . , n.Доказательство. Если такое f существует, то f (p0 + x) = q0 + ϕ(x), где ϕ - такое линейное преобразование, что→−−→ (i = 1, . . . , n). Так как векторы −→−−→ϕ(−p−p−0 pi ) = q0 qi0 p1 , .
. . , p0 pn образуют базис пространства V , то существуетединственное линейное преобразование ϕ, для которогоϕ(−p−→p)=−q−→q (i = 1, . . . , n).0 i0 i27Значит, f единственно.Обратно, если определить аффинное преобразование f по формуле f (p0 + x) = q0 + ϕ(x), где ϕ определено выше,то f (pi ) = qi (i = 0, 1, . . . , n). Q.E.D.Группа аффинных преобразований пространства S определяет аффинную геометрию. Две фигуры (то естьподмножества S) F1 и F2 называются равными (или конгруэнтными), если существует такое аффинное преобразование g, что gF1 = F2 .Координатный признак равенства фигур в аффинной геометрии.Теорема. Фигуры F и F ′ равны в аффинной геометрии ⇔ существуют такие реперы (o; e1 , .
. . , en ) и(o′ ; e′1 , . . . , e′n ),чтоo+Xi′xi ei ∈ F ⇔ o′ +Xixi e′i ∈ F ′ ,то есть F и F одинаково выглядят по отношению к этим реперам.Доказательство. Пусть F ′ = f (F ), f ∈ GA(S). Пусть (o; e1 , . . . , en ) - любой репер и рассмотрим репер(f (o); df (e1 ), . . . , df (en )) .PPТогда p = o + xi ei ∈ F ⇔ f (p) = f (o) + xi df (ei ) ∈ F ′ .iiОбратно, пусть (o; e1 , .
. . , en ) и (o′ ; e′1 , . . . , e′n ) - реперы, удовлетворяющие условиям теоремы. Рассмотрим f ∈GA(S), определяемое условиями:f (o) = o′ ;df (ei ) = e′i i = 1, . . . , n.PPДокажем, что f (F ) = F ′ . Действительно, p = o + xi ei ∈ F ⇔ f (p) = o′ + xi e′i ∈ F ′ . Q.E.D.i43iДифференциал как гомоморфизм аффинной группыв линейную. Параллельные переносы и гомотетии.Теорема. Пусть f : S → S ′ и g : S ′ → S ′′ - аффинные отображения.
Тогда отображение gf : S → S ′′ такжеаффинно, причём d(gf ) = dg · df.Доказательство. Действительно,gf (p + x) = g (f (p + x)) = g (f (p) + df (x)) = g (f (p)) + dg (df (x)) = (gf )(p) + (dg · df )(x). Q.E.D.Теорема. Аффинное отображение f : S→ S ′ биективно ⇔ df биективно.При этом f −1 также аффинно, и d f −1 = (df )−1 .Доказательство. Выберем согласованные начала отсчёта в S и S ′ таким образом, чтобы o′ = f (o). Тогда ввекторизованной форме f = df.
Q.E.D.Биективные аффинные преобразования образуют группу GA(S), а невырожденные линейные преобразования группу GL(V ). Дифференциал есть гомоморфизм групп d : GA(S) → GL(V ).Def. Параллельным переносом на вектор a ∈ V называется аффинное преобразование ta : p 7→ p + a. Параллельные переносы образуют подгруппу, так как ta tb = ta+b ; (ta )−1 = t−a ; id = t0 . Эта подгруппа изоморфна группеV.Теорема. Аффинное преобразование f является параллельным переносом ⇔ df = E.Доказательство. ta (p + x) = p + x + a = ta p + x = ta p + Ex ⇒ dta = E.−−−→−−−→Обратно, если df = E, то f (o + x) = f (o) + x = o + of (o) + x = o + x + a, где a = of (o). Q.E.D.Теорема. Группа параллельных переносов является нормальной подгруппой в GA(S).Доказательство.
Подгруппа H ⊂ G нормальна ⇔ ∀ g ∈ G gHg −1 = H. Докажем, что∀ f ∈ GA(S) f ta f −1 = tdf (a) . Действительно, (f ta f −1 )(p) = f (f −1 (p) + a) = p + df (a). Q.E.D.Def. Гомотетией с центром o ∈ S и коэффициентом λ ∈ K ∗ называется аффинное преобразование, определяемоепо следующему правилу:f (o + x) = o + λx.Гомотетия с коэффициентом −1 называется центральной симметрией относительно точки o.Теорема. Аффинное преобразование f является нетождественной гомотетией ⇔ df = λE, λ 6= 0, 1.Доказательство. Дифференциал гомотетии с коэффициентом λ равен λE.Обратно, пусть df = λE. Достаточно доказать, что f имеет неподвижную точку.В векторизованной форме: f (x) = λx + b.
Уравнение λx + b = x имеет единственное решение при λ 6= 0, 1. Этои будет центр гомотетии. Q.E.D.2844Квадрики в аффинном пространстве.Центральные, конические и цилиндрические квадрики.Будем далее считать, что char K 6= 2.Def. Аффинно-квадратичной функцией в пространстве S называется функция, которая в векторизованной форме записывается в видеPQ(x) = q(x)P+ l(x) + c, где q - квадратичная функция, l - линейная функция, c ∈ K.В координатах: Q(p) = aij xi xj + bi + c, где aij = aji , а (x1 , . . . , xn ) - координаты точки p.i,ji∂QОчевидно, что c = Q(o), bi =(o), где o - начало координат.∂xiDef.
Квадрикой (или гиперповерхностью второго порядка) в пространстве S называется множество, задаваемоеуравнением Q(p) = 0, где Q - аффинно-квадратичная функция; при условии, что оно непусто и не являетсяплоскостью (в частности, q 6= 0).Введём обозначение: X(Q) - множество точек, удовлетворяющее уравнению Q(p) = 0.Def. Точка o называется центром квадрики X, если o + x ∈ X ⇒ o − x ∈ X, то есть so X = X.Def. Вершиной квадрики называется принадлежащий ей центр.Теорема.
Если X(Q1 ) и X(Q2 ) - совпадающие квадрики, то уравнения Q1 и Q2 пропорциональны.Доказательство. Возьмём в качестве точки o какую-нибудь точку квадрики X, не являющуюся её вершиной(такие точки есть, иначе квадрика была бы плоскостью). Тогда в векторизованной форме: Q1 (x) = q1 (x) + l1 (x),Q2 (x) = q2 (x) + l2 (x), где l1 , l2 6= 0. Точки пересечения прямой o + hxi с квадрикой X определяются любым изуравнений t2 q1 (x) + tl1 (x) = 0 или t2 q2 (x) + tl2 (x) = 0. Так как относительно t эти уравнения должны иметьодинаковые решения, то при l1 (x), l2 (x) 6= 0 получаем, чтоq1 (x)q2 (x)=.l1 (x)l2 (x)Поэтому q1 (x)l2 (x) = q2 (x)l1 (x).
Умножая на l1 (x)l2 (x), получаем, чтоq1 (x)l2 (x)l1 (x)l2 (x) = q2 (x)l1 (x)l1 (x)l2 (x)верно уже для всех x. Но так как в кольце многочленов нет делителей нуля, то можно сократить последнееравенство, поэтому можно считать, что q1 (x)l2 (x) = q2 (x)l1 (x) верно тоже для всех x.
Пусть l1 и l2 не пропорциональны. Тогда в подходящем базисе l1 (x) = x1 , l2 (x) = x2 . Поэтому q1 (x)x2 = q2 (x)x1 . Рассматривая левыеи правые части, видим, что должно быть:q1 (x) = l(x)x1 , q2 (x) = l(x)x2для некоторой линейной функции l(x). Значит, Q1 (x) = (l(x) + 1)x1 , Q2 (x) = (l(x) + 1)x2 . Так как X = X(Q1 ),то X содержит гиперплоскость x1 = 0.
Значит, Q2 должна обращаться в ноль всюду на этой гиперплоскости. Нони один из множителей x2 и l(x) + 1 не обращается на ней в ноль. Так как в кольце многочленов нет делителейнуля, то получаем противоречие. Поэтому линейные, а значит, и квадратичные части аффинно-квадратичныхфункций пропорциональны. Q.E.D.Def. Квадрика называется центральной, если у неё есть хотя бы один центр.Теорема. Множество всех центров квадрики X(Q) задаётся системой линейных уравнений∂Q= 0;∂xii = 1, . . . , n.Доказательство. Примем o - центр квадрики - за начало координат. Тогда в векторизованной форме Q(x) =q(x) + l(x) + c. Квадрика so X(Q) задаётся уравнением Q(−x) = 0, то есть q(x) − l(x) + c = 0. Эти квадрикисовпадают, значит, Q(−x) = λQ(x) для некоторого λ ∈ K ∗ .
Сравнивая квадратичные части, видим, что λ = 1.∂QПоэтому so X = X ⇔ l(x) ≡ 0, то есть= 0;i = 1, . . . , n. Q.E.D.∂xiСледствие. Множество всех центров либо пусто, либо является плоскостью.Следствие. Если q невырожденна,тоPP квадрика центральна, причём центр единствен.Доказательство. Q(p) = aij xi xj + bi xi + c.i,jiP∂Q(p) = 2 aij xj +bi . Таким образом, множество всех центров задаётся системой линейных уравнений, матрица∂xijкоторой есть матрица квадратичной функции q.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
