Е.Б. Винберг - Теория к экзамену (1107935), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Нульмерные плоскости - это парыдиаметрально противоположных точек, одномерные - это большие круги, называемые прямыми в сферическойгеометрии.Пусть dim Π1 + dim Π2 > n. Тогда Π1 ∩ Π2 6= ∅. В частности, любые две прямые на S 2 пересекаются. Черезлюбые две точки проходит прямая.Расстояние между точками определяется по формуле cos ρ(x, y) = (x, y), то есть равно длине дуги большогокруга.Групповой смысл:Рассмотрим однопараметрическую группу поворотов в подпространстве hx, yi . В ортонормированном базисеcos t − sin tΠ(t) =.sin t cos tΠ(t)Π(s) = Π(t + s). Если y = Π(t)x, 0 6 t 6 π, то ρ(x, y) = t.Отсюда следует, что расстояние аддитивно: действительно, для точек x, y, z, лежащих на одной полуокружности,и y - между x и z выполняется ρ(x, y) + ρ(y, z) = ρ(x, z), так как y = Π(t)x; z = Π(s)y, тогда z = Π(t + s)x.Группа движений сферической геометрии - это ортогональная группа On+1 , так как эта группа сохраняет сферу.56.2Гиперболическая геометрия (геометрия Лобачевского).Пусть E n,1 - псевдоевклидово пространство сигнатуры (n, 1) (пространство Минковского) со скалярным умножением(x, x) = −x20 + x21 + · · · + x2n .Рассмотрим гиперболоид Ln : (x, x) = −1; x0 > 0 (рассматривается только одна связная компонента).Def.
(k + 1)−мерное подпространство U ⊂ E n,1 называется гиперболическим, если ограничение скалярногоумножения на него имеет сигнатуру (k, 1), то есть невырождено и неопределённо.k−мерной плоскостью пространства Ln называется подмножество вида Ln ∩ U, гдеU — (k + 1)−мерное гиперболическое подпространство.Нульмерные плоскости - это точки, одномерные плоскости называются прямыми.Расстояние между точками определяется по формулеch ρ(x, y) = −(x, y).Групповой смысл:Рассмотрим однопараметрическую группу гиперболических поворотов в двумерном подпространстве hx, yi .
Вортонормированном базисеch t sh tH(t) =.sh t ch t37Групповое свойство: H(t)H(s) = H(t + s). В подходящем базисе (где (x, x) = x0 x1 ) te0H(t) =.0 e−tТакое преобразование называется ещё преобразованием Лоренца.Если y = H(t)x, то ρ(x, y) = t. Действительно,пусть (e0 = x, e1 ) - ортонормированный базис в hx, yi. ТогдаH(t)x = x ch t + e1 sh t = y. (x, y) = − ch t ⇒ ch ρ(x, y) = −(x, y).Свойство аддитивности расстояний между точками: если точки x, y, z лежат на одной прямой, причём y лежитмежду x и z, тоρ(x, y) + ρ(y, z) = ρ(x, z).Группа движений геометрии Лобачевского - это псевдоортогональная группа On,1 - группа линейных преобра′зований E n,1 , сохраняющая скалярное умножение.
Точнее, её подгруппа индекса 2 (On,1), сохраняющая каждуюсвязную компоненту гиперболоида (x, x) = −1.57Свойство максимальной подвижностив сферической и гиперболической геометриях.Def. Ортонормированным репером в пространстве S n (соответственно, Ln ) называется система (e0 ; e1 , . . . , en ),где e0 ∈ S n (соответственно, Ln ), а (e1 , . . .
, en ) - ортонормированный базис в касательном подпространстве⊥⊥Te0 (S n ) = he0 i (соответственно, Te0 (Ln ) = he0 i , а ортонормированный базис в Te0 (Ln ) - это базис, для которого (e0 , e0 ) = −1, (ei , ei ) = 1 при i > 0, (ei , ej ) = 0 при i 6= j).Теорема.
Для любых ортонормированных реперов (e0 ; e1 , . . . , en ) и (e′0 ; e′1 , . . . , e′n ) существует единственноедвижение, переводящее первый репер во второй (в S n и в Ln ).Доказательство. Для S n существует единственный линейный оператор A в E n+1 , переводящий базис(e0 , e1 , .
. . , en )в базис (e′0 , e′1 , . . . , e′n ), и так как оба базиса ортонормированные, то A ∈ On+1 ;′Для Ln аналогично с тем замечанием, что Ae0 = e′0 , поэтому A ∈ On,1. Q.E.D.58Сумма углов сферическогои гиперболического треугольника.Измерение углов между прямыми m и l:Если m = Π(t)l, где Π(t) - поворот вокруг точки p = m ∩ l на угол t в плоскости ml, то ∠ml = t.Если e и f - единичные векторы, ортогональные l и m соответственно, то cos ∠lm = −(e, f ).Составим матрицу для треугольника с углами α, β и γ, вершинами p, q, r и единичными нормалями к сторонамe, f, g соответственно:1− cos γ − cos β1− cos α .G(e, f, g) = − cos γ− cos β − cos α1Определитель этой матрицы обозначим ∆(α, β, γ) :∆(α, β, γ) = det G(e, f, g) = 1 − 2 cos α cos cos γ − cos2 α − cos2 β − cos2 γ.Если E 2 , то ∆(α, β, γ) = 0, если S 2 , то ∆(α, β, γ) > 0, если L2 , то ∆(α, β, γ) < 0.Теорема.
Сумма углов сферического (гиперболического) треугольника больше π (соответственно, меньше π).Доказательство. Докажем, что для сферического (гиперболического) треугольника α+β+γ 6= π. Действительно,иначе существовал бы евклидовый треугольник с теми же углами, и тогда ∆(α, β, γ) = 0.Из соображений непрерывности следует, что α + β + γ − π имеет один знак для всех треугольников. Для S 2 естьтреугольник с α = β = γ = π2 .Для L2 - идеальный треугольник с α = β = γ = 0.
Q.E.D.Рассмотрим равносторонний треугольник с α = β = γ.Тогда ∆(α, β, γ) = ∆(α, α, α) = 1 − 3 cos2 α − 2 cos3 α = (1 + cos α)2 (1 − 2 cos α). > 0, для S 2 ; > π3 , для S 2 ;2= 0, для E ; Поэтому α= π3 , для E 2 ;1 − 2 cos α2< 0, для L .< π3 , для L2 .3859Тензорная алгебра векторного пространства.Def. Полилинейной функцией, или p−линейной функцией на векторном пространстве V над полем K называетсяотображение α : V × · · · × V → K, линейное по каждому аргументу.|{z}pПусть (e1 , . .
. , en ) - базис пространстваV . Положим α(ei1 , . . . , eip ) + ai1 ...ip .PВ координатах α(x1 , . . . , xp ) =ai1 ...ip x1i1 . . . xpip . Здесь первый индекс - это номер вектора, второй - номерi1 ,...,ipкоординаты.Пространство p−линейных функций на V обозначается Tp (V ). Базис этого пространства составляют функцииεi1 ...ip : i1 , . . . , ip ,определяемые следующим образом:εi1 ...ip (ei1 , . . . , eip ) = 1;εi1 ...ip (ej1 , . . . , ejp ) в остальныхслучаях.PТаким образом, α =ai1 ...ip εi1 ...ip , значит, базис. Поэтому dim Tp (V ) = (dim V )p .i1 ,...,ipВ частности, T0 (V ) = K; T1 (V ) = V ∗ .Тензорное умножение определяется как операция⊗ : Tp (V ) × Tq (V ) → Tp+q (V )по следующему правилу: если α ∈ Tp (V ), β ∈ Tq (V ), то α ⊗ β ∈ Tp+q (V ), так, чтоα ⊗ β(x1 , .
. . , xp+q ) = α(x1 , . . . , xp ) · β(xp+1 , . . . , xp+q ).Свойства:1. Линейность по обоим аргументам: по α и по β;2. Ассоциативность: α ∈ Tp (V ), β ∈ Tq (V ), γ ∈ Tr (V ) ⇒ (α ⊗ β) ⊗ γ = α ⊗ (β ⊗ γ);3. εi1 ,...,ip ∈ Tp (V ), εip+1 ,...,ip+q ∈ Tq (V ) ⇒ εi1 ,...,ip ⊗ εip+1 ,...,ip+q = εi1 ,...,ip+q ∈ Tp+q (V ).Def. Тензорным произведением векторных пространств V и U называется векторное пространство W вместе сбилинейным отображением ⊗ : V × U → W, (x, y) 7→ x ⊗ y, обладающим свойством:Если (e1 , .
. . , en ) - базис V , (f1 , . . . , fm ) - базис U , то (ei ⊗ fj : i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m) - базис W .Обозначается: W = V ⊗ U, dim W = dim V · dim U.Таким образом, Tp+q (V ) = Tp (V ) ⊗ Tq (V ).Аналогично определяется тензорное произведение нескольких векторных пространств, поэтомуTp (V ) = V ∗ ⊗ . . .
⊗ V ∗ .|{z}pВ частности, εi1 ,...,ip = εi1 ⊗ . . . ⊗ εip , где εi1 , . . . , εip - координатные функции из V ∗ . Для любых α1 , . . . , αp ∈V ∗ (α1 ⊗ . . . ⊗ αp )(x1 , . . . , xp ) = α1 (x1 ) . . . αp (xp ).∞LРассмотрим T (V ∗ ) =Tp (V ) + {(α0 , α1 , . . . ) : αp ∈ Tp (V ), и лишь конечное число αp 6= 0} .p=0Операции в T (V ∗ ) определяются покомпонентно. Таким образом, T (V ∗ ) - векторное пространство. Также наT (V ∗ ) определена операция тензорного умножения: (α0 , α1 , . . . )(β0 , β1 , .
. . ) = (γ0 , γ1 , . . . ), гдеXγp =αq ⊗ βr .q+r=pDef. Алгеброй над полем K называется векторное пространство над K, в котором задана билинейная операцияумножения A × A → A, (a, b) 7→ ab. Всё должно удовлетворять аксиомам:1. Относительно сложения и умножения A - кольцо;2. Относительно сложения и умножения на элементы поля K A - векторное пространство;3. λ(ab) = (λa)b = a(λb).39ОперацияP умножения в алгебре однозначно определяется произведениями базисных векторов:ei ej = cijk ek . Числа cijk называются структурными константами алгебры.kT (V ∗ ) - алгебра.
Она называется тензорной алгеброй пространства V ∗ . Это ассоциативная алгебра с единицей(единицей служит единица поля K = T0 (V )).Аналогично можно определить T (V ).∞LT (V ) =T p (V ), где T p (V ) = V ⊗ . . . ⊗ V . Элементы T p (V ) можно рассматривать как p-линейные функции{z}|p=0pна V ∗ : (x1 ⊗ . . .
⊗ xp )(α1 , . . . , αp ) = x1 (α1 ) . . . xp (αp ).T 1 (V ) = V, потому что векторы - это линейные функции на V ∗ .60Симметрическая алгебра векторного пространства(над полем нулевой характеристики), её связьс алгеброй многочленов.Пусть Sp - группа подстановок p элементов.∀σ ∈ Sp ∀α ∈ Tp (V ) определим σα ∈ Tp (V ) по формуле(σα)(x1 , . . . , xp ) = α xσ(1) , .
. . , xσ(p) .Лемма. (στ )α = σ(τ α).Доказательство. σ(τ α)(x1 , . . . , xp ) = (τα)x,...,x=σ(1)σ(p)= (τ α)(y1 , . . . , yp ) = α yτ (1) , . . . , yτ (p) = α xστ (1) , . . . , xστ (p) = ((στ )α)(x1 , . . . , xp ). Q.E.D.Def. p−линейная функция называется симметрической, если σα = α ∀ σ ∈ Sp .Симметрические функции образуют подпространство Sp (V ) ⊂ Tp (V ).Пусть далее char K = 0.Рассмотрим отображение симметризацииSym : Tp (V ) → Tp (V ),Sym α =1 Xσα.p!σ∈SpТеорема.
Оператор Sym есть проектор на подпространство Sp (V ).Доказательство.1. Если α ∈ Sp (V ), то Sym α = α;2. ∀α Sym α ∈ Sp (V ) :PP ′∀τ τ Sym α = 1τ σα = 1σ α = Sym α;p! σ∈Spp! σ′ ∈Sp3. Из доказательства следует, что Sym 2 = Sym , поэтому Sym — проектор. Q.E.D.Лемма. Sym (Sym α ⊗ β) = Sym (α ⊗ Sym β) = Sym (α ⊗ β).Доказательство. Действительно, Sym (σα ⊗ β) = Sym (α ⊗ β), потому что в σα - перестановка аргументов, но вSym (α ⊗ β) потом всё равно переставляем, поэтому ничего не меняется.Суммируя по всем σ ∈ Sp и деля на p!, получаем, что Sym (Sym α ⊗ β) = Sym (α ⊗ β).Вторая часть доказывается аналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
