Е.Б. Винберг - Теория к экзамену (1107935), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(J − λE)m = 0 ⇒ (t − λ)m - аннулирующий многочлен.Значит, mJ = (t − λ)k , k 6 m. Но (J − λE)m−1 6= 0 ⇒ k = m. Q.E.D.Лемма 2. ЕслиA10..A=,.0Akто mA = HOK(mA1 , . . . , mAk ).21Доказательство. Вытекает из того, что операции над клеточно-диагональной матрицей сводятся к тем же самымоперациям над клетками. Поэтому f (A) = 0 ⇔ f (Ai ) = 0 ∀ i ⇒⇒ mA = HOK(mA1 , . . . , mAk ).
Q.E.D.Теорема. Пусть характеристический многочлен оператора A раскладывается на линейные множители: fA (t) =(t − λ1 )k1 . . . (t − λs )ks , где λ1 , . . . , λs различны. Тогда mA (t) = (t − λ1 )m1 . . . (t − λs )ms , где mi - максимальныйпорядок жордановых клеток с собственным значением λ в жордановой форме матрицы оператора A.Доказательство. ПустьJ10..J =.0Jp- жорданова форма матрицы оператора A.Тогда по Лемме 2 mA = HOK(mJ1 , . . . , mJk ), значит по Лемме 1 Q.E.D.Следствие (Теорема Гамильтона-Кэли).
fA (A) = 0.Доказательство. Из теоремы вытекает, что mA fA - действительно, ki > mi .Значит, fA (A) = 0. Q.E.D.Таким образом, видно, что есть аннулирующие многочлены степени не выше n.Следствие (Критерий диагонализируемости). Матрица A диагонализируема ⇔ её характеристический многочлен разлагается на линейные множители, а минимальный не имеет кратных корней.Доказательство. Матрица приводится к диагональному виду ⇔ её жорданова форма диагональна ⇔ все miв обозначениях теоремы равны 1, то есть mA раскладывается на линейные множители ⇔ не имеет кратныхкорней. Q.E.D.36Аффинные пространства.
Векторизация.Аффинные системы координат.Барицентрические линейные комбинации точек.Пусть V - векторное пространство над полем K.Def. Аффинным пространством, ассоциированным с векторным пространством V , называется множество S,элементы которого называются точками, вместе с операцией сложения точек и векторов V ×S → S, (p, x) 7→ p+x,удовлетворяющей следующим условиям:1. p + (x + y) = (p + x) + y;2. p + 0 = p;→3.
∀ p, q ∈ S ∃! x ∈ V : p + x = q, обозначается: x = −pq.Само векторное пространство V можно рассматривать как аффинное пространство, ассоциированное с самим→ = q − p.собой (тогда сложение точек и векторов - это сложение векторов). При этом −pqКаждое аффинное пространство S, ассоциированное с V , можно отождествить с V , если фиксировать начало→ При этом операцииотсчёта o ∈ S. При этом каждую точку p ∈ S можно отождествить с её радиус-вектором −op.−−−−−→→+−→ так каксложения точек и векторов будет соответствовать операция сложения векторов: o(p + x) = −oppx,o + (p + x) = (o + p) + x. Операция выбора точки o и отождествления аффинного пространства S с векторнымпространством называется векторизацией.→+−→→Свойство: −pqqr = −pr.→→→Действительно, обозначим −pq = x, −qr = y, тогда p + (x + y) = (p + x) + y = q + y = r ⇒ x + y = −pr.Def.
Размерностью аффинного пространства называется размерность соответствующего ему векторного пространства.В аффинном пространстве можно ввести систему координат. Репером в пространстве S называется система(o; e1 , e2 , . . . , en ), где o - точка (начало отсчёта), а (e1 , . . . , en ) - базисP пространства V .→В репере каждая точка имеет свои координаты: ∀ p ∈ S −op =xi ei ; тогда (x1 , . . . , xn ) - координаты точки pотносительно репера (o; e1 , e2 , . . .
, en ). Свойства:1. Координаты точки p + x суть суммы соответствующих координат точки p и вектора x;→2. Координаты вектора −pq суть разности соответствующих координат точек p и q.22Def. Выберем начало отсчёта o и положим p =kPi=1kP→→. Получим линейную комбинацию точек.λi pi , где −op =λi −opii=1Барицентрическими линейными комбинациями точек называются такие линейные комбинации, в которых суммаkPкоэффициентов равна единице:λi = 1.i=1Докажем, что точка p =kPkPλi = 1, не зависит от выбора точки o.−−→ P −→→→ P →PP −→ −→) = P λ −′Пусть o′ - другая точка. Тогда имеем:λi o′ pi =λi (o′ o + −opλi opi = o′ o + λi −opi .
Значитiio o +P −−→−→P −→P −→′′′o + λi o pi = o + o o + λi opi = o + λi opi .Q.E.D.Имеет смысл центр масс системы точек p1 , . . . , pk с массами m1 , . . . , mk - это точкаi=1λi pi , гдеi=11 Xcent (p1 , . . . , pk ; m1 , . . . , mk ) = Pmi p i .miЦентр тяжести можно брать по частям, имеет место теорема Архимеда о медианах треугольника.37Плоскости аффинного пространства, их задание системами линейных уравнений. Аффинная оболочка системы точек.Def.
Пусть S - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством V .Плоскостью в S называется подмножество вида P = p0 + U , где p0 ∈ S, а U ⊂ V - подпространство.Предложение 1. p0 ∈ P ⇒ p′0 + U = P.Доказательство. p′0 = p0 + u0 для некоторого u0 ∈ U . Значит p′0 + U = p0 + u0 + U = p0 + U .Предложение 2. p0 + U = p′0 + U ′ ⇒ U = U ′ .Доказательство. p′0 ∈ p0 + U ⇒ p0 + U = p′0 + U = p′0 + U ′ ⇒ U = U ′ .Def. Подпространство U называется направляющим подпространством плоскости P .Предложение 3. Плоскость P ⊂ S является аффинным пространством, ассоциированным с U , относительнотой же операции сложения точек и векторов, которая определена в пространстве S.Доказательство.1.
p ∈ P, u ∈ U ⇒ p + u ∈ p + U = P - замкнутость относительно операции сложенияточек и векторов.2. Свойства p + (x + y) = (p + x) + y и p + 0 = p выполнены, так как они выполнены в S.→→3. p, q ∈ P ⇒ P = p + U, q = p + u для некоторого u ∈ U. ⇒ −pq = u ∈ U, причём вектор −pq единствен, таккак он единствен во всём пространстве. Q.E.D.Следствие.
Любая барицентрическая линейная комбинация точек из P лежит в P .Плоскость можно определить как подмножество, замкнутое относительно взятия барицентрических линейныхкомбинаций.Def. Размерность плоскости - это размерность её направляющего подпространства: dim P = dim U.Нульмерные плоскости - это точки, одномерные плоскости называются прямыми, (n − 1)−мерные плоскостиназываются гиперплоскостями.Фиксируем в S аффинную систему координат.Теорема.
Множество всех решений совместной системы линейных уравнений является плоскостью в S, и обратно, любая плоскость является множеством решений некоторой системы линейных уравнений.Доказательство.1. Пусть есть совместная система линейных уравненийnXaij xj = bi(i = 1, .
. . , m).j=1Пусть p0 ∈ S - какое-либо её решение. Тогда множество всех её решений получается так: p0 + U , где U множество решений присоединённой однородной системы линейных уравнений. Но U - подпространствов V , если интерпретировать решения как векторы, значит множество всех решений исходной системылинейных уравнений есть плоскость.232. Пусть P = p0 + U - плоскость в S. Существует система линейных однородных уравнений, задающаяnPнаправляющее подпространство U :aij xj = 0 (i = 1, . .
. , m). Подставим в левые части координатыj=1точки p0 . Получим какие-то числа b1 , . . . , bm .nPРассмотрим систему линейных уравненийaij xj = bi(i = 1, . . . , m), она и будет искомой, её множествоj=1решений - это и есть p0 + U. Q.E.D.Если dim P = k, то P задаётся n − k линейно независимыми уравнениями. В частности, одно уравнение a1 x1 +· · · + an xn = b, где не все ai = 0, задаёт гиперплоскость, и обратно, всякая гиперплоскость задаётся однимлинейным уравнением.Теорема. Через любые k + 1 точку p0 , p1 , .
. . , pk ∈ S проходит плоскость размерности 6 k, если же эти точкине лежат в плоскости размерности меньше k, то через них проходит единственная k−мерная плоскость.Доказательство.→−−→1. Рассмотрим плоскость P = p0 + h−p−0 p1 , . . . , p0 pk i. p0 , p1 , . . . , pk ∈ P,−−→−−→dim P = rk {p0 p1 , . . . , p0 pk } 6 k.2.
Предположим, что p0 , p1 , . . . , pk не лежат в плоскости размерности меньше чем k. Тогда векторы−→−−→p−0 p1 , . . . , p0 pk→−−→линейно независимы, и плоскость P = p0 +h−p−0 p1 , . . . , p0 pk i является единственной плоскостью, содержащей′все точки p0 , p1 , . . . , pk . Действительно, пусть P = p0 +U ′ - другая k−мерная плоскость, содержащая точки→−−→p0 , p1 , . . . , pk . Тогда −p−0 p1 , . . . , p0 pk ∈ U ⇒−−→−−→⇒ U = hp0 p1 , . . . , p0 pk i . Q.E.D.Def.
Точки p0 , p1 , . . . , pk называются аффинно независимыми, если они не содержатся в плоскости размерности→−−→меньше чем k, то есть если векторы −p−0 p1 , . . . , p0 pk линейно независимы.Пусть M ⊂ S - произвольное непустое подмножество, p0 ∈ M. Плоскость P = p0 + h−p→0 p : p ∈ M i являетсянаименьшей плоскостью, содержащей M . Она называется аффинной оболочкой множества M и обозначаетсяaff M.38Взаимное расположениеплоскостей в аффинном пространстве.Рассмотрим две плоскости: P1 = p1 +U1 и P2 = p2 +U2 . Если их пересечение непусто, то оно является плоскостью:p0 ∈ P1 ∩ P2 ⇒ P1 = p0 + U1 ; P2 = p0 + U2 ⇒ P1 ∩ P2 = p0 + (U1 ∩ U2 ).→Теорема.
P1 ∩ P2 6= ∅ ⇔ −p−1 p2 ∈ U1 + U2 .→Доказательство. P1 ∩ P2 6= ∅ ⇔ ∃ u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 : p1 + u1 = p2 + u2 . Но p1 + u1 = p2 + u2 ⇔ −p−1 p2 = u1 + (−u2 ).−−→Поэтому существование таких векторов u1 и u2 равносильно тому, что p1 p2 ∈ U1 + U2 . Q.E.D.Def. Плоскости P1 и P2 называются параллельными, если U1 ⊂ U2 или U2 ⊂ U1 . Плоскости P1 и P2 называютсяскрещивающимися, если P1 ∩ P2 = ∅ и U1 ∩ U2 = 0.39Выпуклые множества.Выпуклая оболочка системы точек.
Симплексы.Пусть S - аффинное пространство над полем R. Отрезком, соединяющим точки p, q ∈ S, называется множествоpq = {λp + (1 − λ)q : 0 6 λ 6 1} . Множество M ⊂ S называется выпуклым, если вместе с любыми двумяточками оно содержит и весь отрезок, их соединяющий: ∀ p, q ∈ M pq ⊂ M.Пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством, всякая плоскость является выпуклым множеством.Def.
Выпуклой комбинацией точек пространства S называется их барицентрическая линейная комбинация снеотрицательными коэффициентами.Теорема. Выпуклое множество M вместе с любыми точками p0 , . . . , pk содержит любую их выпуклую оболочку.Доказательство. Индукцией по kПри k = 0 доказывать нечего. При k = 1 по определению любая выпуклая оболочка двух точек лежит наотрезке, их соединяющем, который, в свою очередь, содержится в множестве M .24При k > 1 пусть p = λ0 p0 + · · · + λk pk ,Рассмотрим p′ =1k−1PλiPiλi = 1, λi > 0 ∀ i.(λ0 p0 + · · · + λk−1 pk−1 ) ∈ M по предположению индукции.k−1i=0 PНо тогда p =λi · p′ + λk pk ∈ M по определению.Q.E.D.i=0Пусть M ⊂ S - произвольное подмножество.Теорема. Совокупность всех выпуклых линейных комбинаций точек множества M есть выпуклое множество.kkPPДоказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
