Е.Б. Винберг - Теория к экзамену (1107935), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. , en ) - базис пространстваV . Линейное отображениеϕ : V → U однозначно определяется векторамиPPϕ(ej ) = uj . Действительно, x =xj ej ⇒ ϕ(x) =xj uj . Обратно, если заданы любые векторы uj ∈ U , тоjjPPможно определить линейное отображение ϕ : V → U по формуле x =xj ej ⇒ ϕ(x) =xj uj . Оно будетjjлинейным и ϕ(ej ) = uj .Если вPпространстве U выбран базис (f1 , . . . , fm ), то uj можно разложить по этому базису:uj =aij fi . Матрица A = (aij ) называется матрицей линейного отображения ϕ относительно выбранныхiбазисов пространств V и U .
Координаты образов базисных векторов пишутся по столбцам, (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )) =(f1 , . . . , fm )A.XXXX Xx=xj ej ∈ V ⇒ ϕ(x) =xj uj =xj aij fi =xj aij fi ,jзначит, если обозначить ϕ(x) = y =jPiyi fi , то yi =i,jPaij xjj⊤i(i = 1, . . . , m).В матричной форме Y = AX, где X = (x1 , x2 , . . . , xn ) , Y = (y1 , y2 , . . . , yn )⊤ .4jDef. Пусть ϕ : V → U . Образом ϕ называется подмножество Im ϕ = {ϕ(x) : x ∈ V } ⊂ U ;ядром ϕ - подмножество Ker ϕ = {x ∈ V : ϕ(x) = 0} ⊂ V.Теорема.1.
Im ϕ - подпространство в U , dim Im ϕ = rk A, где A - матрица ϕ;2. Ker ϕ - подпространство в V , dim Ker ϕ = dim V − rk A;3. ∀ b = ϕ(a) ∈ Im ϕ ϕ−1 (b) = a + Ker ϕ (полный прообраз равен смежному классу по ядру,в частности, ϕ инъективно ⇔ Ker ϕ = 0).Доказательство.1. ϕ(x) + ϕ(y) = ϕ(x + y) ∈ Im ϕ;λϕ(x) = ϕ(λx) ∈ Im ϕ;0 = ϕ(0) ∈ Im ϕ ⇒ Im ϕ - подпространство.Im ϕ = hϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )i ⇒ dim Im ϕ = rk (ϕ(e1 ), .
. . , ϕ(en )).Но система векторов (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )) - это система столбцов матрицы A.2. ϕ(x) = ϕ(y) = 0 ⇒ ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) = 0;ϕ(x) = 0 ⇒ ϕ(λx) = λϕ(x) = 0;ϕ(0) = 0 ⇒ Ker ϕ - подпространство.Пусть (e1 , . . . , ek ) - базис Ker ϕ, (e1 , . . . , en ) - базис V . Тогда Im ϕ = hϕ(ek+1 ), .
. . , ϕ(en )i. Докажем, чтоϕ(ek+1 ), . . . , ϕ(en ) линейно независимы. Пусть λk+1 ϕ(ek+1 ) + · · · + λn ϕ(en ) = 0. Тогдаϕ (λk+1 ek+1 + · · · + λn en ) = 0,значит λk+1 ek+1 + · · · + λn en ∈ Ker ϕ ⇒ λk+1 = · · · = λn = 0 (иначе базис V линейно зависим). Такимобразом dim Im ϕ = n − k = dim V − dim Ker ϕ.3. Пусть b = ϕ(a) ∈ Im ϕ.∀ y ∈ Ker ϕ ϕ(a + y) = ϕ(a) + ϕ(y) = b.Обратно, ϕ(x) = b ⇒ ϕ(x − a) = ϕ(x) − ϕ(a) = 0 ⇒ x − a = y ∈ Ker ϕ ⇒ x = a + y, y ∈ Ker ϕ. Значит,ϕ−1 (b) = a + Ker ϕ.
В частности, ϕ - инъективно ⇔ |ϕ−1 (a)| = 1 ⇔ Ker ϕ = 0. Q.E.D.7Линейные функции, их запись в координатах.Сопряжённое пространство и сопряжённые базисы.Def. Функция α на векторном пространстве V со значениями в поле K называется линейной, если:1. α(x + y) = α(x) + α(y)2. α(λx) = λα(x)∀ x, y ∈ V ;∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ V.Это специальный случай линейного отображения - отображение из V в поле K, рассматриваемое как векторноепространство над самим собой (dim = 1).Запись линейной функции в координатах:nnPPПусть (e1 , . . .
, en ) - базис V , x =xi ei ⇒ α(x) =xi α(ei ). Положим ai = α(ei ), тогдаi=1i=1α(x) =Xai e i .iЧисла ai называются координатами линейной функции α в базисе (e1 , . . . , en ).Преобразования координат при переходе к другому базису:(e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) C⇒ (a′1 , . . . , a′n ) = (a1 , . .
. , an ) C.Если α 6= 0, то можно выбрать базис, в котором α(x) = x1 . Действительно, dim Ker α = n − 1, пусть (e2 , . . . , en )- базис Ker α. Возьмём e1 ∈/ Ker α, такой, что α(e1 ) = 1. Тогда (e1 , . . . , en ) - базис V , и в нём α(x) = x1 .Пространство линейных функций L(V, K) образует линейное (векторное) пространство над K.Оно обозначается V ∗ и называется сопряжённым к V пространством.5Пусть (e1 , . .
. , en ) - базис V . Рассмотрим координатные функции εi (x) = xi .∗Теорема. (ε1 , . . . , εn ) - базисP V .PPДоказательство. α(x) = ai xi ⇒ α = ai εi . С другой стороны, еслиai εi = 0, тоiiPai εi (ej ) = aj = 0 ⇒ a1 = · · · = an = 0. Q.E.D.iСледствие. Для конечномерного пространства dim V ∗ = dim V.Def. Базис (ε1 , . . . , εn ) называется сопряжённым к базису (e1 , . .
. , en ).8Канонический изоморфизм конечномерного векторногопространства и второго сопряжённого пространства.Рассмотрим отображение f : V → V ∗∗ , x 7→ fx , такое, что fx (α) = α(x).Теорема. f - изоморфизм.Доказательство.1. f линейно:fx+y (α) = α(x + y) = α(x) + α(y) = fx (α) + fy (α), то есть fx+y = fx + fy ;fλx (α) = α(λx) = λα(x) = λfx (α), то есть fλx = λfx .2. dim V = dim V ∗∗ , поэтому достаточно доказать, что Ker f = 0.x ∈ Ker f ⇒ fx (α) = 0 ∀ α ∈ V ∗ ⇔ α(x) = 0 ∀ α ∈ V ∗ ⇔ x = 0Q.E.D.Следствие.
Всякий базис пространства V ∗ сопряжён некоторому базису пространства V .Замечание. Если e1 , e2 , . . . , en ∈ V, ε1 , ε2 , . . . , εn ∈ V ∗ , причём εi (ej ) = δij , то (e1 , . . . , en ) и (ε1 , . . . , εn ) сопряжённые базисы.PДействительно, еслиλi ei = 0, то рассмотрев значение εj от обеих частей равенства, получим λj = 0 ∀ j ⇒i(e1 , . .
. , en ) - базис в V ⇒ (ε1 , . . . , εn ) - сопряжённый ему базис V ∗ .9 Билинейные функции, их запись в координатах.Изменение матрицы билинейной функции при переходек другому базису.Def. Билинейной функцией α на векторном пространстве V над полем K называется отображение α : V ×V → K,линейное по каждому аргументу.Запись в координатах:PPПусть (e1 , .
. . , en ) - базис пространства V , x = xi ei , y = yj ej .ijPPα(x, y) =xi yj · α(ei , ej ). Положим aij = α(ei , ej ), тогда α(x, y) = aij xi yj .i,ji,jМатрица A = (aij ) называется матрицей билинейной функции α в базисе (e1 , . . . , en ). В матричной форме:x1y1X = ... , Y = ...
⇒ α(x, y) = X ⊤ AY.xnynПри переходе к другому базису (e′1 , . . . , e′n ):(e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) C ⇒ X = CX ′ , Y = CY ′ . Тогда α(x, y) = X ⊤ AY = X ′⊤ C ⊤ ACY ′ . Таким образом,A′ = C ⊤ AC.Def. Ядром билинейной функции α называется (очевидно, подпространство)Ker α = {y ∈ V : α(x, y) = 0 ∀ x ∈ V } .Теорема. dim Ker α = dim V − rk A, где A - матрица функции α в каком-либо базисе.Доказательство. α(x, y) = 0 ∀ x ⇔ α(ei , y) = 0 (i = 1, . . .
, n).6Но α(ei , y) =Paij yj , значит Ker α задаётся системой однородных линейных уравненийjnXaij yj = 0 (i = 1, . . . , n).j=1Следовательно, dim Ker α = n − rk A10Q.E.D.Ортогональное дополнение к подпространствуотносительно симметрической или кососимметрическойбилинейной функции.Def. Билинейная функция α называется симметрической (кососимметрической), если∀ x, y ∈ V α(x, y) = α(y, x) (α(x, y) = −α(y, x), charK 6= 2) .Def.
Векторы x и y называются ортогональными относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции α, если α(x, y) = 0.Если α кососимметрическая, то каждый вектор ортогонален сам себе: α(x, x) = −α(x, x) = 0.Def. Ортогональным дополнением к подпространству U ⊂ V относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции α называется подпространствоU ⊥ = {y ∈ V : α(x, y) = 0 ∀ x ∈ U }. В частности, V ⊥ = Ker α.Теорема. dim U ⊥ > dim V − dim U.⊥Если же α невырождена, то dim U ⊥ = dim V − dim U , и U ⊥ = U.Доказательство.
Запишем уравнения U в координатах.Заметим, что U ⊥ = {y ∈ V : α(ei , y) = 0 ∀ i} (здесь e1 , . . . , ek - базис U ). Дополним (e1 , . . . , ek ) до базиса(e1 , . . . , en ) всего пространства V . В этом базисе U ⊥ задаётся уравнениями:Xaij yj = 0(i = 1, . . . , k).jЗначит, dim U ⊥ > n − k = dim V − dim U. Если же α невырождена, то A = (aij ) - невырожденная матрица,следовательно её первые k строк линейно независимы, поэтомуdim U ⊥ = n − k = dim V − dim U.⊥⊥Для доказательства того, что U ⊥ = U , достаточно заметить, что U ⊥ ⊃ U⊥⊥и размерности U и U ⊥в случае невырожденности α совпадают, поэтому U ⊥ = U . Q.E.D.Def. Подпространство U ⊂ V называется невырожденным относительно билинейной функции α, если функцияα U невырождена.Теорема.
V = U ⊕ U ⊥ ⇔ U невырождено относительно α.Доказательство.1. U невырождено ⇔ U ∩ U ⊥ = 0 - ядро αUнулевое;2. V = U ⊕ U ⊥ ⇒ U ∩ U ⊥ = 0 ⇒ U невырождено;3. U невырождено ⇒ U ∩ U ⊥ = 0 ⇒ сумма U + U ⊥ прямая.dim(U ⊕ U ⊥ ) = dim U + dim U ⊥ > dim V ⇒ U ⊕ U ⊥ = V11Q.E.D.Связь между симметрическими билинейными иквадратичными функциями. Существование ортогонального базиса для симметрической билинейной функции.Def. Базис (e1 , . . .
, en ) называется ортогональным относительно билинейной функции α, если в этом базисематрицаеё имеет диагональный вид. В ортогональном базисе билинейная функция записывается как α(x, y) =Pai xi yi = a1 x1 y1 + · · · + an xn yn .i7Def. Квадратичной функцией, ассоциированнойс симметрической билинейной функцией α, называется функцияPq(x) = α(x, x). В координатах: q(x) =aij xi xj .
Понятно, что α однозначно восстанавливается по q: α(x, y) =i,j12 (q(x+ y) − q(x) − q(y)).Теорема. Для всякой симметрической билинейной функции α существует ортогональный базис.Доказательство. Индукцией по n = dim V.При n = 1 доказывать нечего - любой базис ортогональный.При n > 1 если α ≡ 0, то доказывать нечего.Пусть n > 1 и α 6= 0. Тогда и q 6= 0, то есть ∃ e1 ∈ V : q(e1 ) 6= 0. Подпространство he1 i невырожденоотносительно α ⇒ V = he1 i ⊕ he1 i⊥ , dim he1 i⊥ = n − 1. По предположению индукции в he1 i⊥ существуетортогональный базис (e2 , . . . , en ). Значит (e1 , .
. . , en ) - ортогональный базис V . Q.E.D.12Нормальный вид вещественной квадратичной функции.Закон инерции.В ортогональном базисе матрица симметрической билинейнойa1 0 . . . 0 a2 . . .A= ... . . ....00...функцииимеет вид:00 .. .. an1. За счёт перестановки базисных векторов можно переставлять числа ai ;2. За счёт умножения базисных векторов на ненулевые элементы поля K, можно умножить ai на квадратыэлементов поля.Число ненулевых коэффициентов ai равно рангу rk q билинейной формы (и не зависит от базиса).Если K = C, то можно добиться того, чтобы ai ∈ {0, 1}.
Получим нормальный видq(x) = x21 + · · · + x2rk q .Если K = R, то можно добиться того, чтобы ai ∈ {0, ±1}. Получим нормальный видq(x) = x21 + x22 + · · · + x2k − x2k+1 − · · · − x2k+l(k + l = rk q).Def. Квадратичная функция q называется положительно определённой, если ∀ x 6= 0 q(x) > 0. Квадратичнаяположительно определена ⇔ её нормальный вид есть x21 + · · · + x2n . То есть для положительно определённой квадратичной функции её нормальный вид определяется однозначно. Понятно, что если q положительноопределена, то det q > 0 в любом базисе (потому что в нормальном виде det q = 1).Теорема (Закон инерции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
