Е.Б. Винберг - Теория к экзамену (1107935), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Достаточное условиесуществования собственного базиса.Теорема. dim Vλ (A) 6 кратности корня λ в fA .Доказательство. Пусть (e1 , e2 , . . . , ek ) - базис Vλ (A), (e1 , . . . , en ) - базис всего пространства. В этом базисезапишем матрицу линейного оператора:λ0..C . 0λA=;B0 t−λ0fA (t) = det(tE − A) = 0...t−λ−CtE − B0 = (t − λ)k fB (t) ⇒⇒ кратность корня λ в fA (t) больше либо равна k.Q.E.D.Теорема. Собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям,линейно независимы.Доказательство.
Пусть λ1 , . . . , λs - различные собственные значения A. Докажем, чтоVλ1 (A), . . . , Vλs (A) линейно независимы, индукцией по s. При s = 1 доказывать нечего.Предположим, что Vλ1 (A), . . . , Vλs (A) линейно зависимы (s>1). Тогда найдутся такие vi ∈ Vλi (A) не все равныенулю, что v1 + · · · + vs = 0. Применим к этому равенству оператор A.Получим λ1 v1 + · · · + λs vs = 0. Из второго равенства вычтем первое, умноженное на λs :(λ1 − λs )v1 + · · · + (λs−1 − λs )vs−1 = 0. По предположению индукции, (λi − λs )vi = 0 (i = 1, . . . , s − 1). Но тогдаvi = 0 (i = 1, . . . , s − 1) так как λi 6= λs . Но тогда vs =0.
Противоречие. Q.E.D.Следствие. Если fA имеет n различных корней, то для A существует базисиз собственных векторов, очевидно.27Инвариантные подпространства линейного оператора.Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства для линейного оператора в вещественном векторномпространстве.Пусть V - вещественное векторное пространство. Определим комплексификациюV (C) = {x + iy : x, y ∈ V }.Операции:(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 );(λ + µi)(x + iy) = (λx − µy) + i(λy + µx).Понятно, что V (C) - векторное пространство, V (C) ⊃ V = {x + 0i : x ∈ V }.ЛюбойP R является базисомP V (C) над C:P базис V надx = xk ek ; y = yk ek ⇒ x + iy = (xk + iyk )ek .kkkВсякий линейный оператор в V единственным образом продолжается до линейного оператора в V (C): AC (x +iy) = Ax + iAy.
В вещественном базисе матрица AC совпадает с матрицей A.Теорема. Для любого линейного оператора в вещественном векторном пространстве существует одномерноеили двумерное инвариантное подпространство.Доказательство. Если fA имеет вещественный корень, то есть одномерное инвариантное подпространство. Предположим, что fA имеет мнимый корень (то есть комплексное число с ненулевой мнимой частью) λ + µi.Пустьx + iy ∈ V (C) - вектор, отвечающий этому собственному значению, то есть Ax + iAy = (λ + µi)(x + iy). Это15Ax = λx − µy;Ay = µx − λy.Мы видим, что hx, yi - не более чем двумерное инвариантное подпространство.
Q.E.D.означает, что28Связь между линейными операторами и билинейными(полуторалинейными) функциями в евклидовом(эрмитовом) пространстве. Сопряжённые операторы.Пусть V - евклидово пространство. Каждому линейному оператору поставим в соответствие билинейную функцию ϕA (x, y) = (x, Ay).В ортонормированном базисе матрица ϕA совпадает с матрицей A: ϕA (ei , ej ) = (ei , Aej ) = aij . ОтображениеA 7→ ϕA является изоморфизмом пространства линейных операторов на пространство билинейных функций.Но каждой билинейной функции можно поставить в соответствие ”транспонированную” билинейную функцию ϕ⊤ (x, y) = ϕ(y, x).
Матрица такой функции есть транспозиция исходной. В частности, можно рассмот∗реть ϕ⊤A , по определению ей соответствует линейный оператор A , называемый сопряжённым к оператору A:∗(x, A y) = (y, Ax) = (Ax, y). В ортонормированном базисе матрица A∗ является транспонированной матрицейоператора A.Def. Линейный оператор A называется симметрическим (самосопряжённым), если A∗ = A.Def. Линейный оператор A называется кососимметрическим, если A∗ = −A.Def.
Линейный оператор A называется ортогональным, если A∗ A = E, то есть A сохраняет скалярное произведение: (Ax, Ay) = (A∗ Ax, y) = (x, y).Теперь пусть V - эрмитово пространство. Также определяется полуторалинейная функцияϕA (x, y) = (x, A). В ортонормированном базисе (e1 , . . . , en ) матрица ϕA совпадает с матрицей A.
Введём ϕ∗ сопряжённую полуторалинейную функцию следующим образом: ϕ∗ (x, y) = ϕ(y, x).Как и в евклидовом пространстве, сопряжённый оператор A∗ определяется из условия ϕA∗ = ϕ∗A . ϕA∗ (x, y) =(x, A∗ y) = ϕ∗A (x, y) = ϕA (y, x) = (y, Ax) = (Ax, y).Значит, (x, A∗ y) = (Ax, y) - полностью аналогично евклидовому случаю.Def. Оператор A в эрмитовом пространстве называется эрмитовым (косоэрмитовым),если A∗ = A (A∗ = −A).Def.
Оператор A в эрмитовом пространстве называется унитарным, если A∗ = A−1 .29Существование ортонормированного собственногобазиса для симметрического оператора.Приведение квадратичной функции в евклидовомпространстве к каноническому виду.Теорема. Пусть A - симметрический, кососимметрический или ортогональный оператор в евклидовом пространстве, U ⊂ V - инвариантное подпространство. Тогда U ⊥ - тоже инвариантное подпространство.Доказательство.1.
Пусть A - симметрический оператор. Пусть y ∈ U ⊥ , x ∈ U. Тогда (x, Ay) = (Ax, y) = 0,так как Ax ∈ U, y ∈ U ⊥ .2. Для кососимметрических операторов всё аналогично.3. Пусть A - ортогональный оператор. Тогда A U - тоже ортогональный оператор, значит является невырожденным. Пусть y ∈ U ⊥ , x ∈ U . Надо доказать, что Ay ∈ U ⊥ . Но ∃ z ∈ U такой, что x = Az. Тогда(x, Ay) = (Az, Ay) = (z, y) = 0 Q.E.D.Теорема. Для любого симметрического оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированныйбазис из собственных векторов.Доказательство. Индукция по n = dim V.При n = 1 доказывать нечего.a bПусть n = 2.
В ортонормированном базисе A =. Запишем:b cp t − a −b a+c±(a − c)2 + 4b222 = t − (a + c)t + ac − b . t1,2 =fA (t) = ∈ R.−b t − c216Значит существует одномерное инвариантное подпространство U ⊂ V . Тогда V = U ⊕ U ⊥ , и U ⊥ тоже инвариантно. Возьмём e1 ∈ U, e2 ∈ U ⊥ - единичные, собственные, ортогональные векторы. Тогда (e1 , e2 ) - искомыйбазис.Теперь пусть n > 2. Существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство, но и в двумерноминвариантном подпространстве существует одномерное.Пусть U - одномерное инвариантное подпространство, тогда V = U ⊕ U ⊥ .
Но dim U ⊥ = n − 1, значит по предположению индукции Q.E.D.LСледствие. Если A - симметрический оператор, то V =Vλ (A), причём Vλ (A)⊥Vµ (A) при λ 6= µ.λДоказательство. Пусть (e1 , . . . , en ) - ортонормированный базис из собственных векторов, Aei = λi ei . ТогдаVλ (A) = hei : λi = λi . - линейная оболочка всех векторов ei с собственным значением λi = λ. Q.E.D.Теорема. Для любой квадратичной функции q в евклидовом пространстве V существует ортонормированныйбазис, в котором q имеет вид q(x) = λ1 x21 + · · · + λn x2n . При этом числа λ1 , λ2 , .
. . , λn определяются однозначнос точностью до перестановки (приведение к главным осям).Доказательство. q(x) = (Ax, x), где A - симметрический оператор. В любом ортонормированном базисе матрицаq совпадает с матрицей A. В частности, q(x) = λ1 x21 + · · · + λn x2n ⇔ матрица A в этом базисе диагональна ⇔базис состоит из собственных векторов. По предыдущей теореме такой ортонормированный базис существует,а λ1 , λ2 , . . . , λn - собственные значения оператора A, они не зависят от базиса. Q.E.D.30Приведение к каноническому видуматрицы ортогонального оператора.Каковы собственные значения ортогонального оператора?Ax = λx ⇒ (Ax, Ax) = λ2 (x, x) = (x, x) ⇒ λ = ±1.Теорема.
Для любого ортогонального оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрицаимеет вид:Π(α1 )...Π(αm )−1cos α − sin α..,гдеΠ(α)=..sin α cos α−11...1Доказательство. Индукцией по n = dim V.n = 1. Очевидно, что A = (±1) в любом базисе.n = 2. Пусть (e1 , e2 ) - ортонормированный базис. Пусть Ae1 образует угол α с e1 . Так как Ae1 ⊥Ae2 , то возможнодва случая:1. либо A есть поворот на угол α, и тогда A = Π(α);2.
либоA есть отражениеотносительно биссектрисы угла между e1 и Ae1 , и тогда−1 0A=в подходящем ортонормированном базисе.0 1n > 2. Существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство U ⊂ V ,тогда V = U ⊕ U ⊥ , и U ⊥ инвариантно.Далее стандартным рассуждением получаем что надо. Q.E.D.31Существование ортонормированного собственного базисадля эрмитова (унитарного) оператора.Всякий линейный оператор в эрмитовом пространстве имеет, очевидно, собственный вектор.Теорема.
Если A - эрмитов или унитарный оператор и U ⊂ V - инвариантное подпространство, то U ⊥ - тожеинвариантное подпространство.17Доказательство. Аналогично вещественному случаю. Q.E.D.Теорема. Собственные значения эрмитова (унитарного) оператора являются вещественными (соответственно,по модулю равными единице).Доказательство.1. Если A - эрмитов, то (Ae, e) = λ(e, e) = (e, Ae) = λ(e, e) ⇒ λ ∈ R;(e 6= 0)2. Если A - унитарный, то (Ae, Ae) = λλ(e, e) = (e, e) ⇒ |λ| = 1.
(e 6= 0) Q.E.D.Следствие. Всякий симметрический оператор в евклидовом пространстве имеет собственный вектор.Доказательство. Рассмотрим комплексификацию. Q.E.D.Теорема. Для всякого эрмитова (унитарного) оператора в эрмитовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.Доказательство. Аналогично евклидову случаю (без рассмотрения случая двумерного инвариантного подпространства.) Q.E.D.32Полярное разложение невырожденного линейногооператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве.Def. Симметрический оператор называется положительно определённым, если соответствующая квадратичнаяфункция положительно определена, то есть все собственные значения оператора положительны.Лемма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
