Иванов Б.Н. - Мир физической гидродинамики. От проблем турбулентности до физики космоса (1107606), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Она определяется средней скоростью «разбегания» фазовых траекторий в условиях неустойчивости движения. чрактаяы — геометрические (топологические) образы, хорошо приспособленные для наглядного качественного и количественного представления как структуры хаотических аттракторов, так и их бифуркаций.
Представьте себе кривые, которые трудно отличимы от плоскости или поверхности, напоминающие тела, т. е. нечто, имеющее дробную размерность, — это и будет фрактальным образованием. Отсутствие эффективных аналитических средств для исследований сложных нелинейных динамических задач делает фрактальный подход при их качественном рассмотрении весьма продуктивным. Здесь можно провести аналогию с графической диаграммной техникой, применяемой в квантовой теории поля и статистической физике, позволившей обойти ранее непреодолимые математические трудности.
Бифуркация — любая качественная или топологическая перестройка системы, происходящая при переходе параметра системы через критическое значение. Турбулентность гидродинамичесная — возникновение статистического поля скоростей в среде, вследствие развития неустойчивости. Механизм турбулизации состоит в следующем: имеется источник неустойчивости, приводящий к накачке энергии в крупномасштабные движении среды— вихри; нелинейность среды ведет к взаимодействию движений различных э" 7.
Неуотайчивасгли в гидродинамике масштабов, порождая дробление вихреи; наличие вязкости проявляется лишь в мелкомасштабном движении, что приводит к поглощению энергии движения и затуханию вихрей. В результате, в нерегулярном (хаотическом) движении среды будет существовать направленный поток энергий от крупных масштабов к мелким. Турбулентность нелинейного волнового поля — хаотизация фаз взаимодействующих волновых гармоник, приволящая к макроскопическому нерегулярному движению. Турбуленвнаегиь в нелинейной физике — возникновение хаотического движения из регулярного. Этот более широкий взгляд на понятие турбулентности, по сравнению с аналогичным понятием в пщродинамике, не предполагает наличие макропотоков энергии в системе.
Примером могут служить структуры типа турбулентною кристалла. Для иллюстрации приведенных положений используем картину двумерной тепловой конвекции Бенара — Рэлея. Ее изучение было нами начато в э 7.4. Продолжим количественное рассмотрение этой простой и в то же время теоретически важной задачи об устойчивости слоя жилкости между двумя неограниченными горизонтальными плоскостями, из которых верхняя поддерживается при более низкой температуре, чем нижняя. Зта задача впервые поставленная экспериментально Бенаром (1900 г.) и проанализированная теоретически (в линейном приближении) Рэлеем (1916 г.). Система нелинейных гидродинамических уравнений для вязкой жидкости, участвующей в тепловой конвекции, должна включать уравнения движения Навье — Стокса, уравнение теплопередачи, а также уравнение непрерывности.
Указанная система уравнений весьма сложна, и было затрачено немало усилий для того, чтобы найти их разумную нелинейную аппроксимацию. Таковой явилась единственная замкнутая система уравнений минимального порядка Х = -аХ+аУ, У'=гХ-У-ХХ, г=-Ы+ХУ, называемая системой Лоренца (Э. Лоренц, 1963 г.). В ней точка означает дифференцирование по безразмерному времени (вкчючающему как само время 1, так и коэффициент температуропроводности 7г, геометрический параметр Б задачи, безразмерное волновое число й возмущения); а = и/Х = Рт — число Прандтля; г = Во/сопзг„р(/е~), где Яо есть число Рэлея, а критическая сопы = (27/4)х4 есть ее максимум при волновом числе возмущения й = 1/~/2; Ь = 4/(1 + м~) .
Что касается физического смысла переменных Х, У, Я, входящих в систему Лоренца, то он заключается в следующем: величина Х пропорциональна скорости конвекции, У вЂ” разности температур между восходящим н нисходящим потоками, Я пропорционально отклонению вертикального профиля температуры от линейного. бб Э 7. 11аустойчовости в годродиноионе Для системы Лоренца фазовое пространство трехмерно (с осями Х, г, Я), что позволяет при компьютерном моделировании наглядно проследить за конвективными процессами на дисплее. В системе Лоренца фазовый объем с течением времени стремится к нулю.
При этом зависимость экспоненциальная с показателем равным о+ Ь+ 1. Для фазовых траекторий, не выходящих из сжимающегося объема, существует некоторое предельное множество-азтрактор — с нулевым фазовым объемом, к которому «притягиваются» траектории при 1 - со. В зависимости от значений параметров атграктор в системе Лоренца может быть предсказуемым (например. предельным циклом), а может быть и непредсказуемым (хаотическим). Хаотический атгракгор Лоренца возникает при о = 10, г = 28, Ь = 8/3. Это слабый надкритический режим конвекции, Как физически — совсем элементарно — можно осмыслять возникновение хаотического режима при конвекцииу Представим себе «конвективную петлю» жИдкости, заключенную в замкнутый канал, расположенный в вертикальной плоскости. Пусть при некоторой разности температур ЬТ > гхТмя для нижней и верхней частей канала конвективный поток обходит канал по часовой стрелке.
Однако, при значениях 1лТ > д«Т з > д«Твм скорость течения конвективной петли может возрасти настолько, что опускающаяся, более холодная, часть жидкости не будет успевать прогреваться у горячего основания канала. Соответственно, уменьшенная архимедова сила окажется недостаточной для преодоления сил вязкости и гравитации, чтобы вытолкнуть малопрогретый обьем жидкости в верхнюю холодную часть канала. Тогда начнется движение жидкости в обратном направлении.
Сделав ряд оборотов вдоль канала (уже против часовой стрелки) и ускорившись, конвективное течение жидкости может попасть в аналогичную вышеизложенной ситуацию. Все повторится снова. Скорее всего, переходы в конвективном течении жидкости в направлениях по и против часовой стрелки будут происходить случайным нерегулярным образом. Продолжим рассмотрение системы Лоренца и выясним, как возникает хаотический аттрактор.
При О < т < 1 решения системы устойчивы, и имеется единственный точечный атграктор в начале координат Х = У = Я = О. Ему соответствует процесс обычной стационарной теплопроводности. Проникновение в область г > 1 сопровождается потерей устойчивости указанного точечного азтрактора и возникновением двух новых неподвижных точек (притягивающих центров) с координатами Х, =т; =~ /гЬ( — 1), Вь,= Этому обстоятельству соответствует появление устойчивого конвективного движения. Число движений равно двум, так как для конвекции б 7. Неусгааочоваола е годраданаиане 67 есп только две возможности в вгяборе направления вращения внутри конвективных ячеек. Далее, рассмотрим последовательность бифуркаций в модели Лоренца.
При т = 1 (здесь число Рэлея равно своему критическому значению) происходит первая бифуркация. При г ) 1 в фазовом пространстве появляются две спирали вокруг двух устойчивых центров, что соответствует, как отмечалось, стационарному режиму конвекции. Последующее возрастание т ведет к увеличению диаметра спиралей, и, наконец, обе спирали касаются друг друга. Последняя из указанных бифуркаций вызывает появление ряда последующих, пока обе устойчивые притягивающие точки в центрах спиралей не превратятся в неустойчивые. Тогда приближение фазовой траектории к одной из них вызывает «отталкивание» траектории в направлении ко второй точке, которая также ее опалкивает. В фазовом пространстве возникнет случайное блуждание траектории между двумя неустойчивыми центрами.
При этом сама траектория успевает совершить ряд оборотов вокруг каждого из центров. Так «рождается» хаотический атграктор. Система Лоренца зависит от двух безразмерных параметров — чисел Рэлея Яо н Прандтля Рг. Число Рэлея, как уже отмечалось, отражает условия протекания конвекции, число же Працдтля характеризует свойства самой жидкости. На графической плоскости (Гга, Рт), по-видимому, возможны различные последовательности бифуркаций, которые приводят в конце концов к полной турбулизации процесса конвекции. Другими словами, существует возможность построения некоторого «бифуркационного дерева» в плоскости параметров системы.
Последнее означает, что ожидать существования универсального механизма возникновения турбулентности не приходится, Сама система уравнений Лоренца, в силу ряда математических упрощений, слишком модельна, Однако экспериментальное изучение реальной конвекцин Бенара — Рэлея в более сложных случаях, когда образуются правильные структуры и наблюдается нх последующее разрушение и полная турбулизация, подтверждает вышеизложенные соображения. Укажем имена первопроходцев в теории детерминированного хаоса. Из математиков — это Анри Пуанкаре, А.
Н. Колмогоров и его ученики В. И.Арнольд, Я. Г.Синай; из отечественных физиков — это Н.С. Крылов, Б. В. Чириков, Г. М. Заславский, Р.3. Сагдеев и др. Классическая работа Э. Лоренца — американского геофизика, специалиста по метеорологии, была опубликована в 19бЗ г. Подковообразные сояитоны на тонкой пленке стекающей воды Бопьшое Красное пятно (НП) на Юпитере. Природа этого образования в атиосфере Юпитера — вихревой доптоживущид солитон. Снимок «Вовджера-1» (1979) в В. Волны на воде 8.1. То глубоко, то мелко ... Волны на воде нам знакомы с детства. Онн привычны для нас и казалось бы являются простейшими образами волн. Однако, с точки зрения физики волн, онн наиболее сложны среди волновых процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
