Харкевич А.А. - Автоколебания (1107605), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Все это очень наглядно поясняется графиком рис. 4, на котором энергия, получаемая от источника и обозначенная через Е+, и энергия, теряемая колебательной системой, обозначенная через Е , изображены в зависимости от амплитуды а '). ') Этот график не относится к какому-либо конкретному устройству. Предполагается только, что Е~ н Е нарастают с увеличением амплитуды; зто является в общем вполне правдоподобным предположением.

$ 2. энвггвтикх Автоколзвлний Точка пересечения кривых Е+ и Е отвечает балансу энергий; абсцисса втой точки соответствует значению уста. новившейся амплитуды аа. Диаграмма рис. 4 дает также сразу простейшее понятие об устойчивости колебательного движения. Напомним, что устойчивым равновесием системы называется такое ее состояние, в которое она стремится вернуться, будучи из него выведена, а затем предоставлена самой себе. Неустойчивым равновесием, напрос 1 х тив, называется состояние, в котором система не может удержаться, так как при малейШем отклонении от этого состояния она стремится еще 1 1 дальше уйти от него '). Эти понятия 1 1 и определения статики могут быть 1 1 перенесены и на состояние движе- 1 1 ния, в частности колебательного. ла л Мы будем называть движение устойРиш 4.

чивым, если система, колебательный режим которой нарушен каким- либо внешним воздействием, возвращается к первоначальному режиму после прекращения этого воздействия. Наоборот, движение будет неустойчивым, если сколь угодно малое внешнее воздействие выбивает систему из колебательного режима, от которого система в дальнейшем все более отходит. Подчеркивая аналогию между устойчивостью равновесия и устойчивостью движения, мы будем называть первую в статической устойчивостью, вторую †динамическ устойчивостью а). Посмотрим теперь, устойчиво ли движение в условиях рис. 4.

Для проверки устойчивости возьмем два значения амплитуды меньше и больше аа. Легко видеть, что в первом слу- т) Существует еще один вид равновесия: безразличное равновесие. Оно характеризуется тем, что все положения системы являются равновесными и что система, следовательно, может оставаться в любом положении, будучи предоставлена самой себе. Простейшими моделямн, поясняющими различие трех видов равновесия, могут служнты тяжелый шариа на вогнутой поверхности, тот же шарик на выпуклой поверхности н тот же шарик на горизонтальной плоскости. а) Строгие определения устойчивости, данные Ляпуновым, нам пока ие необходимы.

$ 2. энеггетикА АэтоколеБАний чае (см. пунктирные вертикальные линии на рис. 4) Е+)Е и, следовательно, амплитуда колебаний будет нарастать, пока не достигнет значения аа. Во втором случае Е+ (Е и, следовательно, амплитуда будет убывать, пока опять-таки не достигнет значения аа. Таким образом, точка пересечения с абсциссой аа есть точка устойчивого динамического равновесия. Заметим, что начало координат, где пересекаются кривые Е+ и Е , есть точка статического равновесия. Однако это равновесие неустойчиво, в чем легко убедиться, рассмотрев соотношения при сколь угодко малой, но не равной нулю амплитуде. Таким образом, условие самовозбуждения автоколебательной системы есть не что иное, как условие не- г' устойчивости ее в состоянии покоя. Е Кривые Е„и Е могут пересекаться и не в олной точке.

Рассмотрим график рис. б. Здесь имеются Е три точки пересечения — три состояния равновесия. Рассужлая аналогично предыдущему, мы легко установим, что два из них устойчивы (абсциссы 0 и аз), а третье — неустой- Рис. 5. чино (абсцисса а,). Из того, что начало координат есть точка устойчивого равновесия, следует, что система, предоставленная самой себе, будет сохранять состояние покоя, т.

е. не будет самовозбуждаться. Однако это не значит, что в такой системе устойчивые автоколебания невозможны. Действительно, представим себе, что каким-либо внешним толчком, в системе возбуждены колебания с амплитудой, превосходящей а,. Если это случится, то в дальнейшем система уже раскачается самостоятельно до амплитуды аа. Этот случай, т. е. случай, когда требуется определенный конечной величины начальный толчок для того, чтобы вызвать самораскачивание автоколебательной системы, носит название жесткого самовозбуждения. В противоположность этому случай, соответствующий рис. 4, когда для раскачивания системы достаточно сколь угодно малого начального возмущения, всегда, доставляемого теми или иными 12 з 2.

энеРГетикА АвтоколевАннй флуктуацнями,— называется мягким самовозбуждон и е и '). Кривые Е и Е могут пересекаться и в большем числе точек. Все точки устойчивого равновесия (за исключением начала) означают возможные устойчивые режимы системы, в которых она может генерировать незатухающие колебания. На основании приведенных рассуждений можно слелать еще одно заключение принципиального характера.

Если бы система была л и ней н а, то как потери, так и прибыль энергии росли бы по одинаковым законам, а именно, пропорционально квадрату амплитуды. Графически Е и Е были бы представлены двумя параболами а), проходящими через начало координат, но больше нигде не пересекающимися. Одна из этих парабол, следовательно, всеми своими точками лежит выше другой. Либо система не возбуждается вовсе, либо она мягко самовозбуждается, но амплитула колебаний неограниченно растет.

Отсюда следует, что режим установившихся колебаний конечной амплитуды возможен только в н е л и н е йной системе. Таким образом, опрелеление автоколебательной системы, данное в 5 1, следует дополнить в том смысле, что в состав всякой реальной автоколебательной системы, способной генерировать колебания с установившейся амплитудой, непременно входит нелинейный элемент. При этом нужно заметить, что нелинейность может быть присуща как колебательной системе или нагрузке, так и механизму клапана, или цепи обратной связи, †одн словом, нелинейными свойствами может обладать любое из звеньев, входящих в состав автоколебательной системы. ~) Пользуясь моделью, упомянутой э сноске иэ стр. !О, можно уподобить систему с несколькими чередующимися точками устойчн.

ного и неустойчивого равновесна тяжелому шарику, лежащему на волнистой поверхности. Чтобы шарик мог попасть иэ одной впадины з другую, нужно помочь ему перебраться через разделяющий эти впадины гребень. а) Всякое отклонение от линейности проявляется з отклонении графика энергии от параболического закона. Можно предложить видоизменение графика энергии, состоящее в том, что по оси абсцисс откладывается не амплитуда, а ее квадрат. Тогда для лянейной системы график энергии будет представляться прямой линией н всякое нарушение линейности будет проявляться в отклонении графика от прямой, что и удобно, и привычно.

з 3. Диьгвхммы РАБОты 13 Итак, мы видим, что даже самый поверхностный энергетический анализ автоколебаний снабжает нас сразу целым ассортиментом важных понятий и определений. Нам нужно теперь ввести некоторые приемы более детального описания энергетических соотношений при автоколебаниях. 3 3. ДИАГРАММЫ РАБОТЫ Колебательный процесс можно описать, изобразив периодическую зависимость от времени одной или нескольких переменных величин, в изменении которых и состоит данный процесс.

Так, например, механический колебательный процесс может быть определен через периодическое изменение смещения, или скорости, или ускорения, или силы реавции и т. п. Можно снять экспериментально осци ллограммы названных величин. Они будут представлять собой периодические кривые в прямоугольных координатах; по оси ординат откладывается мгновенное значение измеряемой величины, по оси абсцисс — время. Осциллограммы могут дать нам достаточно полное представление о колебательном процессе. Но процесс этот может быть представлен и иначе. Положим, что нам известно, как изменяются.со временем смещение и скорость, т.

е. пусть обе эти величины выражены как функции времени. Исключим время и выразим одну колебательную величину функцией другой величины. Иначе говоря, каждому мгновенному значению смещения сопоставим мгновенное значение скорости для одного и того же момента времени. Затем построим график движения в прямоугольных координатах, в которых по одной оси отложена скорость, а по другой в смещение.

Полученное таким образом изображение отличается тем, что явная зависимость от времени на нем отсутствует, хотя каждая точка графика отвечает определенному моменту времени на протяжении периода колебания. Если процесс периодический, т. е. если по прошествии периода явление в точности повторяется, — а только такие процессы нас пока и интересуют,— то вышеописанный график будет представлять собою замкнутую кривую (или ломаную) линию.

Лежащая на этой кривой точка изображает состояние системы в некоторый определенный момент — она так и называется: «изображающая точкаю С течением времени изображающая 14 з 3. ДИАГРАММЫ РАБОТЫ точка будет двигаться по замкнутому контуру, представляющему колебание, и по истечении периода совершает один полный обход.

Характеристики

Список файлов книги