Неделько -3 (1106085), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Воткнём в пень вертикальный стержень ПК и измерим угол . Тогда положение вороны будет характеризоваться тремя физическими величинами: . Эти три величины однозначно определяют положение вороны относительно пня. Таким образом, для однозначного задания положения объекта нужны три величины. Отметим, что в качестве третьей величины можно было использовать и угол , образованный второй бороздой (или нарисованной краской линией) ПN составляющей с линией ПD (линия первой борозды). Тогда положение вороны характеризуется тремя величинами .

Поясним: есть три измеренных угла: , но согласно законам геометрии , т.е. поскольку есть соотношение, то любой из этих углов можно найти, если известны два других.

Таким образом, для однозначного определения положения материальной точки достаточно двух углов и одного расстояния: . ‑ определяет расстояние от пня до вороны, а углы и определяют направление, вдоль которого измеряют расстояние.

В физике величины, определяемые одним числовым значением, называют скалярными, а величины, определяемые тремя числовыми значениями, ‑ векторными. Векторные значения зависят от направления. Вектор – объект математический и векторные величины используют в математике и в математических моделях. Но его в качестве символьного обозначения можно использовать и для физических величин. Важно, чтобы имело место соответствие символьных операций в математике и операций с физическими величинами. Например, есть операция сложения векторов, операция математическая – сложение векторов подчиняется правилу параллелограмма. Таким образом, физическая величина, операция сложения для которой подчиняется правилу параллелограмма, может быть выражена вектором.

Поскольку физические законы представляют собой функциональную связь физических величин, то и физические законы могут иметь векторную форму записи. Надо только при этом чётко сознавать, что если все величины, входящие в закон, заданный в векторной форме, измеряемы, то это закон физический. В противном случае – это просто математическая формула.

Векторная форма записи закона имеет два преимущества: формулировка физических законов в векторной форме не зависит от системы координат (см. ниже). При этом формулировки имеют физическое содержание без введения системы координат. Во-вторых, векторная форма записи является компактной. Многие физические законы, выраженные через векторные величины, имеют простую форму.

Вспомним (см. ч.II), что в математике для определения положения математической точки используют систему координат (рис. 6), в которой вектор , проведённый из начала координат в рассматриваемую точку N. Этот вектор называют радиус-вектором.

где – координаты вектора, а – орты. Тройка чисел ( ) однозначно определяет положение точки в заданной системе координат.

Итак, чтобы выразить положение материальной точки, надо задать соответствующие условия измерений, т.е. взять три измерительных шкалы, соединить их в одной точке (начало отсчёта) и расположить перпендикулярно друг другу (рис. 7). В такой измерительной системе, проводя аналогичные операции (опуская перпендикуляры на измерительные шкалы), получим тройку значений физической величины , которая и будет определять положение материальной точки. Обозначая можно положение материальной точки выразить в векторной форме через радиус-вектор:

или .

Рассмотренная измерительная система в практике не очень удобна, поэтому в практике обычно используют ранее рассмотренную, определяющую положение точки посредством одного линейного и двух угловых значений . Но зато векторная форма записи очень удобна в теоретических расчётах, и в теоретических расчётах используют декартову прямоугольную систему координат. Поскольку значения, полученные в обеих системах, связаны друг с другом функционально,

; ; ,

то использование в практике одной системы, а в теоретических расчётах другой системы трудности не вызывает.

Далее будем использовать декартову прямоугольную систему координат.

Итак, задан способ измерения положения материальной точки в пространстве в любой момент времени: . Измерительное устройство, включающее прибор для измерения положения материальной точки, часы для измерения времени, и тело, относительно которого определяют положения других тел (тело отсчёта) называют системой отсчёта.Используя систему отсчёта можно получить значения всех других кинематических физических величин.

Измерение скорости. Скорость – физическая величина, характеризующая быстроту перемещения точки. Материальная точка движется из 1 в 2. В момент времени её положение характеризуется радиус-вектором в момент времени ‑ . По определению, средняя скорость на интервале времени равно отношению вектора перемещения к величине интервала времени , т.е. (рис. 8). Средняя скорость характеризует быстроту перемещения на интервале времени , но поскольку тело движется непрерывно, то надо знать скорость в каждый момент времени. Эту скорость называют мгновенной скоростью. В рамках математической модели скорости это сделать несложно: надо провести предельный переход, т.е. устремить . Метод разработал ещё Ньютон и согласно этому методу

, где .

Таким образом, мгновенная скорость в рамках математической модели равна производной радиуса-вектора по времени. Но скорость, как физическая величина, не может быть определена как производная радиуса-вектора по времени, поскольку производную измерить нельзя. В физике можно измерить только среднюю скорость на малом, но конечном интервале времени. И если на этом интервале времени скорость окажется постоянной ( ), то проблема измерений будет решена, поскольку предел постоянной величины равен самой величины. Но если скорость материальной точки постоянна, то на интервале времени, на котором скорость постоянна, точка совершает равномерное прямолинейное движение. Таким образом, для измерения мгновенной скорости надо выбрать такой интервал времени, в пределах которого движение точки можно считать равномерным и прямолинейным. Средняя скорость на этом интервале и будет равна мгновенной скорости в точке, находящейся внутри этого интервала. Поясним на примере. Рассмотрим одномерный случай, т.е. движение материальной точки вдоль одной прямой. График зависимости положения точки от времени дан на рис. 9. Пусть надо измерить мгновенную скорость V в момент времени Т. Возьмём интервал , внутри которого находится Т, и вычислим на этом интервале среднюю скорость . Соединим точки и . Видно, что реальная зависимость отличается от прямой на этом интервале. Если уменьшать интервал так, чтобы всё время оставалась внутри интервала , то при достижении некоторого малого интервала , которому соответствует перемещение , зависимость будет описываться отрезком прямой . Средняя скорость на интервале .

Таким образом мгновенная скорость как физическая величина равна средней скорости на интервале времени, в границах которого движение материальной точки будет равномерным и прямолинейным. Интервал, на котором величину скорости считают постоянной, носит название элементарного интервала, а величину называют элементарным перемещением. Разбиение на элементарные интервалы различных величин (времени, перемещения, скорости и т.д. ( ). Стандартный приём в физике, когда для расчёта соответствующих математических эквивалентов этих величин необходимо использовать предельные переходы.

Пример. Измерение длины пути. Обратимся к траектории движения материальной точки (рис. 10). Возьмём две произвольные точки 1 и 2. Мы рассмотрели векторную величину, характеризующую изменение положения точки – вектор перемещения Но он характеризует изменение положения по кратчайшему расстоянию, а тело движется по линии, и значит должна быть физическая величина, характеризующая движение точки именно по линии – она называется длина пути ; количественно она равна длине линии (траектории), в данном случае . Чтобы измерить длину пути, траекторию разбивают на элементарные участки , в пределах каждого из которых движение точки можно считать равномерным и прямолинейным, а значит, скорость на этом участке будет постоянной. Итак, , где ‑ интервал времени, в течение которого тело проходит путь ; называют элементарным путём. Чтобы найти весь путь, надо просуммировать элементарные пути, т.е. . Учтём ещё одно обстоятельство: скорость как векторная величина может менять знак, а путь может только увеличиваться. Чтобы учесть это, надо брать модуль скорости и тогда мы получаем формулу для нахождения пути посредством измерения элементарных путей: . Чтобы найти математический эквивалент, т.е. путь в математической модели, надо использовать предельный переход: .

Измерение ускорения. Ускорение – физическая величина, характеризующая набор быстроты (быстроту изменения скорости). Среднее ускорение – отношение изменения скорости на интервале времени к величине интервала времени ( ):

.

Мгновенное ускорение (как физическая величина) равна среднему ускорению на интервале времени, в пределах которого точка движется равноускоренно. Мгновенное ускорение (в рамках математической модели)

Характеристики

Список файлов лекций