практикум_механика (1) (1106030), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Получив выражения для скорости и ускорения маятника путем дифференцирования уравнения (11) и подставив их в (1), произведя затем упрощения и приравняв нулю отдельно коэффициенты перед и , получим значения для амплитуды вынужденных колебаний и задержки по фазе отклонения маятника от момента вынуждающей силы, при которых решение (11) удовлетворяет уравнению (1)

Таким образом, если на маятник действует периодическая сила с частотой , то через некоторое время маятник станет совершать колебания с той же частотой. Амплитуда его колебаний

зависит от амплитуды , частоты момента внешней силы и параметров , , маятника, связанных между собой соотношением

Величина имеет простой физический смысл. Она характеризует «полное механическое сопротивление» или импеданс колебательной системы. Коэффициент , связанный с трением, определяет величину «активного сопротивления», а разность – «реактивного сопротивления». Отношение определяет величину «упругого сопротивления», а произведение , связанное с инерциальными свойствами системы, – величину «инерциального сопротивления».

При приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний маятника наблюдается явление резкого возрастания амплитуды вынужденных его колебаний. Это явление называется резонансом. Частота , при которой амплитуда колебаний достигает максимального значения, называется резонансной. Найти это значение легко проверкой на экстремум выражения (14)

Подставив это значение в (14), получим формулу для значения амплитуды при резонансе

Резонансное значение сдвига по фазе легко получить из выражения (13)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты момента вынуждающей силы при различных значениях , показана на рис.4. Из (12) следует, что при амплитуда колебаний стремится к пределу , равному отклонению маятника от положения равновесия под действием постоянного по величине момента силы . Анализируя выражения (16) и (17), приходим к выводу, что при амплитуда , а резонансная частота возрастает и в пределе .

Рисунок 4.

В озрастание амплитуды колебаний связано с тем, что вблизи собственной частоты колебаний системы ее реактивное сопротивление становится малым и при обращается в нуль ( в выражении (15)). При этом полное сопротивление уменьшается и становится чисто активным ( ), что и вызывает рост амплитуды.

При все кривые рис.4 асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте момент силы так быстро меняет свое направление, что маятник не успевает заметно сместиться из положения равновесия. При очень большом затухании ( на рис.4), когда значение частоты становится мнимым. Это значит, что резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда просто монотонно убывает до нуля.

Из формулы (17) следует, что при амплитуда колебаний при резонансе равна

поделив эту амплитуду на значение при покажем, что их отношение равно добротности системы

Таким образом, добротность показывает во сколько раз амплитуда колебаний при резонансе больше, чем смещение маятника из положения равновесия при .

Рисунок 5.

Из формулы (13) видно, что амплитуда вынужденных колебаний отстает по фазе от момента внешней силы, причем эта разность фаз в пределах от до в зависимости от . Зависимость от отношения при различных значениях коэффициента представлена на рис.5.

Полученные теоретические соотношения не всегда удобны для использования в эксперименте. Поэтому часть формул ниже предлагается выразить через величины, которые проще и точнее измеряются прямым методом.

Собственную круговую частоту предлагается находить, измерив время некоторого числа полных колебаний маятника, по формуле

Коэффициент затухания рекомендуется определять через декремент затухания

где и – два любых максимальных угла отклонения маятника в одну сторону от положения равновесия, разделенные интервалом времени , равным -му числу периодов полных затухающих колебаний маятника.

Амплитуду колебаний при резонансе проще определять из соотношения

Рисунок 6.

полученного преобразование выражения (17). Здесь – амплитуда колебаний при , одинаковая для любого . Значение следует измерять при малых частотах вынужденных колебаний маятника.

Добротность колебательной системы можно определить, воспользовавшись соотношением (18) по формуле

Кроме того, можно найти по резонансной кривой следующим образом

где – ширина резонансной кривой, взятая на уровне 0,7 от максимального значения амплитуды при резонансе, как показано на рис.6. Вывод формулы (23) дан в приложении.

Описание экспериментальной установки и методики измерений

Устройство экспериментальной установки

Для исследований создана установка, схема которой показана на рис.7. Маятник Поля представляет собой металлическое кольцо 1, которое вращается вокруг горизонтальной оси На этой же оси укреплен рычаг 2. Кольцо 1 и рычаг 2 соединены спиральной пружиной 3. Конец рычага 2 через шатун 4 соединен с эксцентриком 5, укрепленным на диске 6 редуктора электродвигателя 7. При вращении вала двигателя движение передается рычагу 2, который совершает колебание относительно оси Через пружину 3 эти колебания передаются кольцу маятника 1, который совершает вынужденные колебания с частотой вращения диска 6. Величина амплитуды колебаний маятника измеряется в угловых градусах по положению стрелки маятника относительно шкалы 8. Частоту колебаний маятника вычисляют по его периоду. Для определения периода электронным секундомером 16 измеряют время полных колебаний стрелки маятника.

Число оборотов вала электродвигателя, а через редуктор и диска 6, может меняться при изменении напряжения, подаваемого на двигатель, от источника питания 9. Изменение напряжения производят поворотом ручки 10. Величина подаваемого на двигатель напряжения отсчитывается по стрелочному вольтметру 11.

Частоту момента вынуждающей силы вычисляют по периоду колебаний рычага 2. Для определения периода тем же электронным секундомером 16 измеряют время полных колебаний рычага. Отсчет числа полных колебаний производят по двухзначному цифровому индикатору, а время в секундах – по пятизначному цифровому индикатору.

Рисунок 7.

Для автоматизации процесса измерения числа колебаний и времени путем своевременного включения и выключения электронной системы отсчета в установке использованы два одинаковых датчика19 и 20, каждый из которых содержит осветительную лампочку 21 и фоторедактор 22. Датчик 19 подвижно закреплен на шкале 23 углов отклонения рычага 2, а датчик 20 аналогичным образом на шкале 8 отсчета амплитуды колебаний маятника 1. Каждый из датчиков имеет вертикальную риску для точной установки относительно делений соответствующей шкалы.

Включение электронного секундомера в электрическую сеть производится нажатием клавиши СЕТЬ на его передней панели. Переключателем 17 производят подключение к секундомеру либо датчика 19, либо датчика 20. Нажатием клавиши СБРОС секундомер переводится в режим готовности к счету. При этом на обоих индикаторах высвечиваются нулевые показания. При подключении к секундомеру датчика 20 в момент, когда стрелка маятника первый раз пересекает пучок света, падающий от лампочки 21 на фоторедактор 22 датчика, секундомер начинает отсчет времени и числа полных колебаний маятника. Аналогичным образом секундомер производит отсчет времени и числа полных колебаний рычага 2 при подключении датчика 19.

При нажатии клавиши СТОП подается команда на прекращение дальнейшего счета. Однако счет прекращается не сразу. Секундомер продолжает работу до окончания очередного полного периода колебаний и прекращает отсчет в момент пересечения луча света стрелкой маятника. Рассмотрим пример. Так, если Вам надо измерить время 10 полных колебаний маятника, нажмите клавишу СБРОС и выведите маятник из положения равновесия. Отпустите маятник. Секундомер начнет отсчет. Когда на левом индикаторе появится цифра 9, нажмите клавишу СТОП. Секундомер продолжает измерение до появления на левом индикаторе цифры 10, после чего он автоматически прекращает отсчет времени.

Для изменения коэффициента затухания колебаний маятника применяется электромагнитный тормоз 12, между полюсными наконечниками 13 которого движется кольцо 1 маятника Поля. Питание обмотки электромагнита производится от источника 14 постоянного тока. Величина тока регулируется ручкой 15 и отсчитывается по шкале стрелочного амперметра 18. Торможение маятника вызывается токами Фуко, возбуждаемыми полем электромагнита. Изменяя величину тока в его обмотке, можно менять коэффициент затухания колебаний маятника.

Лабораторной работой предусматривается получение семейства экспериментальных резонансных амплитудных характеристик крутильного маятника и определение по ним экспериментальных значений , , и

Для проведения этих расчетов необходимо выполнение предварительных экспериментов по методикам, изложенным ниже.

Чтобы студент имел представление о значениях подлежащих измерению величин, ему рекомендуется, воспользовавшись формулами (16), (19)-(22), предварительно произвести ориентировочный расчет величин , , , , и

Методика измерения собственной круговой частоты колебаний маятника

Убедиться, что цепи электромагнита 12 и двигателя 7 выключены, а маятник свободно вращается вокруг своей оси.

Характеристики

Список файлов книги