Диссертация (1105240), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Предпола­гается также, что плотность зарядов меняется с влажностью, при том чтоих подвижность остается постоянной. Модель позволяет рассчитать эволю­цию распределения заряда на поверхности пластины из плавленого кварцаи соответствующее изменение действующего на нее момента сил, и подтвер­ждает связь изменения момента сил с перераспределением зарядов. Несмот­ря на простоту модели и необходимость ее усовершенствования, результатычисленного расчета в целом согласуются с экспериментальными данными ипозволяют их проинтерпретировать.Проведено исследование флуктуаций момента сил, действующих на ди­электрическую пробную массу со стороны электростатического поля актюа­тора. Статистический анализ результатов измерений показал отсутствие до­полнительного шума при достигнутом уровне чувствительности эксперимен­тальной установки. Верхняя граница дополнительного шума момента сил,действующих на пластину осциллятора, связанного с взаимодействием заря­дов на ее поверхности с электростатическим полем актюатора, не превышает∆SN .

1.5 · 10−30 (Нм)2 /Гц с 95%-ной вероятностью в диапазоне частот око­ло 18 Гц при приложении к электродам актюатора постоянного напряженияUDC = 600 В.Полученная верхняя граница спектральной плотности флуктуаций мо­мента сил, действующих на пластину осциллятора со стороны электроста­77тического поля актюатора, была использована для оценки верхней границыамплитудной спектральной плотности шума относительного смещения проб­ной массы в гравитационно-волновом детекторе Advanced LIGO, связанногос действием электростатического актюатора. Рассчитанная верхняя границасоставляет sstrain ≈ (1.02 ± 0.13) · 10−22 Гц−1/2 в диапазоне частот около 18 Гц.78Глава 4Шумы пробной массы криогенныхгравитационно-волновых детекторов4.1.

Механические потери в материале Acktar Black4.1.1. Экспериментальное исследование добротности механическихколебаний кремниевого диска покрытого Acktar BlackВ криогенных гравитационно-волновых детекторах для поддержания проб­ной массы при низкой температуре необходимо наносить на ее боковую по­верхность дополнительное покрытие с высокой излучательной способностьюв целях увеличения теплообмена между пробной массой и охлаждающимэкраном.Покрытие, нанесенное на боковую поверхность пробной массы, приведетк дополнительным механическим потерям и, как следствие, станет источни­ком дополнительного теплового шума смещения пробной массы гравитаци­онно-волнового детектора. Для расчета теплового шума смещения пробноймассы необходимо знать угол механических потерь материала ее покрытия.Его можно определить, основываясь на сравнении экспериментально изме­ренных добротностей колебаний кремниевого диска без покрытия и с покры­тием (в частности из материала Acktar Black), с результатами численногорасчета модели соответствующей физической системы.

Описанная ниже и вработе [89] экспериментальная часть исследования добротностей покрытыхи непокрытых кремниевых дисков была выполнена соавторами работы.Схема экспериментальной установки [89], использовавшейся для изме­рения механических потерь, связанных с нанесением покрытия Acktar Blackна поверхность цилиндрической пластины из монокристаллического кремния79Рис. 4.1: Экспериментальная установка для измерения добротности колеба­ний кремниевой пластины покрытой Acktar Black [89]диаметром 76 мм и толщиной 380 мкм, представлена на рис.

4.1. Средняятолщина покрытия, определенная при помощи сканирующего электронногомикроскопа, составила 18 мкм. Пластина закреплена по центру между дву­мя тефлоновыми цилиндрами. Электростатический актюатор, расположенныйвозле края пластины, позволяет возбуждать ее изгибные моды, форма кото­рых сходна изображенной на рис. 4.2b. Данные моды колебаний (N узловыхдиаметров и 0 узловых окружностей) были выбраны потому, что для такихмод области деформации сосредоточены возле края диска, в то время какв центре деформация стремится к нулю, уменьшая таким образом потери вкреплении и позволяя достигнуть достаточно высоких добротностей для вы­80(a)(b)Рис.

4.2: Структура возбуждаемой моды колебаний кремниевого диска, рас­считанная при помощи численной модели (a) в предположении, что дискаксиально симметричен, (b) с учетом двух срезов на боковой поверхностидиска, обозначающих направление его кристаллографических осей.бранных мод. Металлическая рама, в которой закреплен диск, соединена ссосудом, который наполняется жидким азотом, что позволяет измерять зави­симость частоты и добротности колебаний диска от температуры.

Измерениеколебаний диска производится оптическим методом - колебания участка дис­ка, от которого отражается луч лазера, приводят к отклонению луча, котороерегистрируется сплит-фотодетектором.Идентификация мод производится путем сравнения измеренных частотколебаний с частотами, рассчитанными при помощи метода конечных эле­ментов в программном пакете Comsol Multiphysics.

Диск имеет два срезана боковой поверхности, обозначающих направление его кристаллографиче­ских осей. Было создано две модели - одна с учетом срезов, другая без них.Расчет показал, что влияние срезов незначительно и ошибка в определении81частоты не превышает 6% - точности определения механических парамет­ров кремния [90], поэтому при дальнейших расчетах использовалась модельаксиально-симметричного диска (см рис.

4.2a). Был проведен расчет мод с3-мя (1.3 кГц), 5-тью (3.6 кГц), 6-тью (5.1 Гц) и 8-мью (8.8 кГц) узловымидиаметрами. Относительная разность рассчитанных и измеренных отноше­ний частоты моды с (5,6,8) узловыми диаметрами к частоте моды с 3-мяузловыми диаметрами не превысила 1% и может рассматриваться в качествекритерия точности численной модели.4.1.2. Расчет термоупругих потерь изгибных мод колебанийкремниевого дискаСоотношение диаметра кремниевого диска к его толщине - 200, поэто­му сетка для расчета методом конечных элементов должна быть достаточномелкой и требует нестандартной процедуры ее построения.

Расчет был упро­щен с учетом аксиальной симметрии диска: для расчета моды, например, спятью узловыми диаметрами, расчет можно проводить для сегмента дискас углом раствора α5D = 2π/5, задавая периодические граничные условия наего боковых гранях A и B (см. рис 4.4a). Это позволяет при том же объеменеобходимой для расчета оперативной памяти ПК уменьшить характерныйразмер элемента сетки и сократить требуемое для расчета время.Расчет выполнялся по следующей системе уравнений, описывающих ко­лебания диска в частотном представлении [91]:−ρω 2 u = ∇SS = (1 + iφ)C : hiT = 1/2 (∇u) + ∇u(4.1)где ρ - плотность материала, ω = 2πf - искомая круговая частота моды, S второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, φ -тангенс угла механическихпотерь материала, C = (Y, η) - тензор упругих постоянных, определяемый82модулем Юнга Y и коэффициентом Пуассона ν материала, - тензор дефор­мации, u - вектор смещений, “:” - операция свертки по двум индексам, самииндексы опущены в соответствии с правилом Эйнштейна.Для добавления к механической модели расчета потоков тепла, быловзято уравнение теплопроводности [92]:ρ0 Cp dT /dt = ∇ (κ∇T ) + Q − T0∂∂T:σdσdt(4.2)и приведено к частотному представлению заменой ∂t → −iω:iωρ0 Cp T = ∇ (κ∇T ) + Q − iωT0 α : σ(4.3)где ρ - плотность материала, Cp - его удельная теплоемкость, κ - удельнаятеплопроводность, α - коэффициент температурного расширения, T0 - средняятемпература, при которой находится диск и вычисляются его механическиеи термодинамические параметры, T - локальное отклонение температуры отT0 , Q - источник тепла, отнесенный к единице объема (Q = 0).Таким образом в модель к механическому интерфейсу был добавлен ма­тематический, в котором решалась следующая система уравнений в частныхпроизводных [93]:λρCp T + ∇ · Γ = 2πif T0 α : SΓ = κ11 ∂X T + κ22 ∂Y T + κ33 ∂Z T∇ = [∂/∂X, ∂/∂Y, ∂/∂Z, ](4.4)nΣ · Γ = 0, Σ 6= A, B−nA · Γ = nB · Γ, Σ = A, Bгде λ = −iω, система координат (X, Y, Z) привязана к телу, Σ - поверх­ность диска, кроме граней A, B (см.

рис. 4.4a) - соответствующее уравнениеявляется условием отсутствия потоков тепла через внешние границы дис­ка, последнее уравнение задает периодические граничные условия на граняхA, B.83Рис. 4.3: Сравнение экспериментально измеренных потерь в непокрытомкремниевом диске для моды с 5 узловыми диаметрами (черные и красныеточки) и термоупругих потерь для этой же моды, рассчитанных численно(синяя линия).Корректность созданной модели была проверена путем расчета на ееоснове термоупругих потерь в кантилевере, закрепленном с одного из торцов,для которых существует аналитическое выражение [94]:α2 Tωτ=YρCp 1 + ω 2 τ 21 ρCp τ 2τ= 2πκQ−1te(4.5)где t - толщина кантилевера.Рассчитанная зависимость от температуры термоупругих потерь в крем­ниевом диске для моды с 5 узловыми диаметрами и сравнение ее с экспе­риментальными данными приведены на рисунке 4.3.

Зависимости от темпе­ратуры удельной теплоемкости, удельной теплопроводности и коэффициентатеплового расширения, использовавшиеся в расчете, взяты из справочныхтаблиц, приведенных в [95–97] соответственно. Различие эксперимента итеории вблизи температуры 123 К объясняется тем, что термоупругие потери84в этом диапазоне малы, и в эксперименте преобладают другие источникипотерь, в частности, поверхностные потери.4.1.3. Численный расчет влияния покрытия на добротностькремниевого дискаСоотношение диаметра диска Ds к толщине покрытия tcoat : Ds /tcoat ≈4200 еще больше, чем соотношение диаметра диска к его толщине в случае снепокрытым диском, поэтому разработка численной модели для расчета доб­ротности колебаний такого диска требует аккуратного подхода.

Во-первых,было сделано то же упрощение,что и при расчете термоупругих потерь - пере­ход к расчету сектора диска. Во-вторых, сетка для метода конечных элемен­тов была построена особым способом: на поверхности, общей для кремнияи покрытия, была построена стандартными средствами Comsol двумернаясетка, состоящая из треугольных элементов. Далее, для построения сеткив объеме кремния и покрытия, двумерная сетка была транслирована парал­лельным переносом на противоположные поверхности кремния и покрытиясоответственно. Размер двумерной сетки и количество промежуточных сло­ев, создаваемое при транслировании были выбраны такими, чтобы выпол­нялся критерий состоятельности. А именно, результатом численного расчетаданной модели в пакете Comsol являются две различных моды, физическиявляющиеся одной и той же модой и представляющие собой поворот систе­мы координат вокруг оси симметрии диска на угол раствора между узломи пучностью.

Характеристики

Список файлов диссертации