Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

2.5.4Экспериментальные данныеКак отмечалось в предыдущем пункте, задача о поиске индексов критических окружной случая Дуллина-Матвеева оказалась сложной. Поэтому разумно применить компьютер для расчета индексов хотя бы при некоторыхпараметрах системы.Для поиска индексов критических окружностей случая Дуллина-Матвееваполезна следующая лемма.72ЛЕММА 2.5.1 Любая критическая окружность случая Дуллина-Матвеевапри c = 0 проходит через гиперплоскость r2 = 0.Доказательство Леммы.

Движение вдоль критической траекториипериодично, поэтому координаты точки на критической окружности повторяются циклически. Следовательно, вдоль критической окружности каждаякоордината скорости должна обращаться в нуль в некоторых точках. Посколькуr2,(sgrad H)3 = − pW (r3 )значит, на любой критической траектории есть точка, где r2 = 0.Лемма доказана.

При помощи компьютера удалось доказать следующее утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ 2.5.2 ( Экспериментальное “) При c = 0 критические”окружности в прообразе внутренних точек кривых бифуркационной диаграммы все невырождены. Индекс окружностей, лежащих в прообразе внутренних точек кривых1) α1 , γ1 , равен 2,2) α2 , β2 — равен 1,3) γ2 , β1 — равен 0.Для доказательства утверждения был разработан алгоритм подсчета индексов критических окружностей.

Двигаясь по кривым бифуркационной диаграммы с маленьким шагом (подробнее смотри ниже), индексы были вычислены в серии порядка 3000 точек.Доказательство Утверждения. Сначала представим некоторое теоретическое обоснование алгоритма, а в конце доказательства укажем сам алгоритм.73Как видно из таблицы градиентов (2.4.4) на множестве критических точекиз условия r2 = 0 следует S2 = 0. Рассмотрим случай r1 6= 0.На множестве r2 = 0, S2 = 0 гессианы интегралов H, F, I1 , I2 принимаютвид1002d H=000010000000 1+G00000000001√00 G0 S32W W00G0 S3 1 ,√ 2W W 0∗ 2S3 02S10 0 2S30016GS3−√ 2S1 02Wd F =1 0√00−W 0000 1r1S3√√√0W2W W 2W W740000001√W0r1 √ 2W W ,S3 √ 2W W 0∗0002d I1 = 0000 0 0 0 00 0 00 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 2 , d I2 = 1 0 00 0 1 0 00 1 00 0 0 1 00 0 10 0 0 0 11 0 00 1 00 0 1,0 0 00 0 00 0 0где выражения ∗ — громоздкие, и могут быть выписаны при необходимости.На множестве критических точек градиенты интегралов линейно зависимы:sgrad F = λ1 sgrad H + λ2 sgrad I1 + λ3 sgrad I2 ,где коэффициенты λ1 , λ2 , λ3 можно найти из первых трех столбцов таблицыградиентов (2.4.4).

А именноS1(1 + G)S31−√W√   2S1 S3 + 2 W  λ1r  1220 r3    S1 + 3GS3 − √  λ2  = W  AS3λ3r1 S1−√W0 r1По правилу Крамера получаемλ1 =∆2∆3∆1, λ2 =, λ3 =,∆∆∆75где1∆=r12  2r1+ G S3 , 2 r3√2r3 W  2  r1√−+GS+ ,3r12r1W√22r3 1r3r3 W  r1∆2 = − 2 3 − 2 − G S34 − − √ − 2G  √ ++r1r1r1r1 WW√22r3 W 1  Ar1√  r1+ √ − S32 − √  √ + 2r3 W  ,r1WWW1√  r3∆3 = −r3 3 − 2 − G S33 − r1  √ − 2(1 + G) W  S3 ,r1W∆1 = r12 3 Теперь для множества критических точек строим квадратичную форму,определяемую вторым дифференциалом интеграла F как функции на Q3h , поправилуd2 (F |Q3h ) = (d2 F − λ1 d2 H − λ2 d2 I1 − λ3 d2 I2 )|Q3h .Эта квадратичная форма на множестве критических точек всегда вырождена.

И для нас интересны точки, в которых ранг этой формы равен 2.Как видно из таблицы градиентов (2.2.1) при r2 = 0, S2 = 0 вектора e2 иe5 лежат в T Q3h . Осталось найти еще один вектор e из T Q3h , ортогональныйe2 , e5 и градиентам из таблицы (2.2.1). Имеем76 1  r3e = r1  G0 (r3 ) − 2 (1 + G(r3 )) ,2r1r3 1Ar12r3  220p0, r1  4 + G (r3 ) S3 + r1 +p,r1 22W (r3 ) W (r3 )W (r3 )11−r3 r1  2 + G(r3 ) , 0, −r12  2 + G(r3 ) .r1r1Вычислимd2 F − λ1 d2 H − λ2 d2 I1 − λ3 d2 I2как квадратичную форму на векторах e2 , e5 , e. Ограничение d2 F − λ1 d2 H −λ2 d2 I1 − λ3 d2 I2 на < e2 , e5 > имеет вид:2S30 01 00 00 12S − λ1 −λ3 − λ1  − λ2  − λ3 = 3.00 00 11 0−λ3−λ2Определитель последней матрицы равен (λ1 − 2S3 )λ2 − λ23 . Если его приравнять к нулю, получим следующее уравнение:(∆1 − 2S3 ∆)∆2 − ∆23 = 0.И если расписать последнее равенство, можно получить довольно громоздкоевыражение:b1 ξ 2 + b2 ξ + b3 = 0,77(2.5.3)где22G11  3r3b1 = 3 − 2 − G − 2 − (r12 + r3 W ) 2 + (r12 − 2r3 W ) 2 +r1r1r1r1r324r3 W+ 4 (r12 + 2r3 W ) + (1 + G) 2 ),r1r112Gr3222b2 = (r1 + 2r3 W ) 3 − 2 − G − 2 − (r1 + r3 W ) 2 +r1r1r11+(r12 − 2r3 W ) 4 − (r3 − 2W (1 + G))2  ,r1b3 = (r12 + 2r3 W )2 ,r1 S32ξ= √ .WТеперь составим уравнения критических точек при r2 = S2 = 0, r1 6= 0.Косые градиенты H и F имею только по две отличные от нуля координаты,а именно(sgrad H)2 =(sgrad H)5 =(sgrad F )2 =(sgrad F )5 =Ar12 r1  r3 r320√ ,− G + G  S3 +  √ +r12W 2W W1r1  2 + G S3 ,r13r3r12  2r3 r3 3r3 √0 3√  S3 ,− 3−G + r1 G  S3 − 2 W − √ −r1r1r1W 2W W2r12  2  √ r33r1  2 + G S3 − 2r3 W + √  .r1WПосле этого уравнения на зависимость косых градиентов примет вид:a1 ξ 2 + a2 ξ + a3 = 0,78(2.5.4)где01 r3 G  a1 = −2W  4 +  3 − 2 − G ,r12r112r3 W1022 a2 = (2r3 W + r1 )  2 G − W G − 3 + 2  2 + G + 4W  2 + G ,r1r1r1a3 = −(r12 + 2r3 W )2 .Как видно, уравнения (2.5.3) и (2.5.4) эквивалентны.

К тому же(< e2 , e5 >)T (d2 F − λ1 d2 H − λ2 d2 I1 − λ3 d2 I2 )(< e >) = 0.Отсюда получаем2S − λ1 −λ3 0 32d (F |Q3h ) =  −λ3−λ2 0  ,00 a33(2.5.5)гдеa33 = eT (d2 F − λ1 d2 H − λ2 d2 I1 − λ3 d2 I2 )e,а главный минор, натянутый на первые два столбца и две строки, равен нулю.Теперь укажем алгоритм, при помощи которого можно проверить экспе”риментальное“ утверждение.1) Выбираем N ∈ N.2) Для каждого r3m = 2m/N − 1, где m = 1, 2, ..., N − 1, рассматриваемqq2r1m = − 1 − r1m , либо r1m = 1 − r32m .3) Для выбранных r3m и r1m находим S3m из формулы (2.5.4).4) Для получившихся r3m , r1m и S3m численно считаем количество положительных и отрицательных собственных значений матрицы (2.5.5).79Описанный алгоритм проверен при s = 2, c = 0, N = 1000. Программанаписана на языке C + +.Утверждение доказано.

2.6Грубые инварианты слоения Лиувилля и бифуркационный комплексТеперь на основании экспериментального утверждения можно провестигрубую лиувиллеву классификацию случая Дуллина-Матвеева при c = 0.Напомним, что h1 и h2 — критические уровни гамильтониана (см. рис.

2.2).Пусть hZ —уровень энергии точки пересечения кривых α2 и β2 , hk — уровень энергии общей точки кривых α1 и α2 (β1 и β2 ). Тогда понятно, чтопри движении вверх от уровня энергии h1 грубый топологический тип изоэнергетической поверхности может поменяться лишь на уровнях h2 , hk и hZ .Доказательство следующей теоремы основано на компьютерном эксперименте, поэтому ее также следует рассматривать как экспериментальную“. Роль”компьютера заключается в том, что бы рассчитать индексы большого количества критических окружностей при разных параметрах системы.ТЕОРЕМА 2.6.1 ( Экспериментальная“ теорема) Грубые молекулы”изоэнергетических поверхностей Q3h случая Дуллина-Матвеева имеют тип1 при h ∈ (h1 , hk )\{h2 }, тип 2 при h ∈ (hk , hZ )\{h2 }, и тип 3 при h ∈(hk , hc )\{h2 } (см.

рис. 2.3).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В прообразе кривых γ1 , γ2 , α1 , β2 лежат критические окружности индексов 0 и 2. Поэтому бифуркации, отвечающие этимкривым, имеют тип атом A. Критические окружности, соответствующие кривым α2 , β1 , имеют индекс 1. Таким кривым будет соответствовать либо атом80Рис. 2.2: Бифуркационная диграмма при c = 0Рис. 2.3: Грубые типы молекул изоэнергетических поверхностей случая Дуллина-Матвеевапри c = 0B, либо атом A∗ . Атом A∗ не возможен, поскольку перестройка A∗ не изменяет количество торов в прообразе. Теперь тип грубой молекулы определяетсяоднозначно.Теорема доказана.

Проиллюстрируем Экспериментальную“ теорему при помощи бифурка”ционного комплекса рис. 2.4 (определение см. в разделе 1.2.2). Бифуркационный комплекс является накрытием“ над бифуркационной диаграммой и по”казывает количество торов в прообразе каждой камеры бифуркационной диаграммы. Более того, если кривая бифуркационной диаграммы лежит внутрибифуркационного комплекса, то этой кривой отвечает седловая бифуркация.Если же кривая лежит на границе комплекса, то ей отвечает атом A.81Рис.

2.4: Бифуркационный комплекс слоений Лиувилля случая Дуллина-Матвеева приc=02.72.7.1Тонкий инвариант Фоменко-ЦишангаЦиклы на торах ЛиувилляПроведем тонкий топологический анализ системы Дуллина-Матвеева. Нашей целью будет описать допустимые системы координат на торах Лиувиллявблизи всех бифуркаций и выписать всевозможные матрицы склейки. Дляэтого опишем ряд наблюдений.ЛЕММА 2.7.1 Плоскость S1 = S3 = r2 = 0 является инвариантной относительно векторного поля sgrad H.Эта лемма говорит о том, что некоторые торы в прообразе F = 0 являются резонансными. А именно те, которые проходят через плоскость S1 = S3 =r2 = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации