Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Такое свойство является следствием того, что дополнительный интеграл F является нечетной функций по импульсам. Подобную резонансностьторов можно наблюдать и в случае Горячева-Чаплыгина [32]82Доказательство Леммы. Действительно, в координатах объемлющегопространства R6 (S, r) для векторного поля sgrad H имеет место1r102˙1 = −G(r3 )S2 S3 − r2 pSG(r)S+,3 322W(r)W(r)33r2˙3 = − p,SW(r)3 r˙2 = r1 (1 + G(r3 ))S3 − r3 S1 .Очевидно, что при S1 = S3 = r2 = 0 верно S˙1 = S˙3 = r˙2 = 0. Леммадоказана. Введем некоторые естественные циклы на торах Лиувилля. Во-первых,дугам γ1 , γ2 бифуркационной диаграммы (см. рис. 2.1) соответствует атомA. А на торах вблизи атома A всегда существует цикл, стягивающийся вточку при приближении к особому слою.

Пусть λ1 , λ2 — два таких цикла,отвечающих атомам A на дугах γ1 , γ2 . Причем мы предположим, что на M4введена ориентация таким образом, что λ1 , λ2 являются первыми элементамидопустимых базисных циклов в окрестности особенностей, отвечающих дугамγ1 , γ2 .Во-вторых, согласно лемме 2.7.1, траектории sgrad H замкнуты при F = 0.Пусть λ0 — цикл, задающийся этими периодическими траекториями.И в-третьих, согласно [21, том 1, глава 9] на торах вблизи особенностифокус-фокус существует определенный однозначно с точностью до знака циклλs , стягивающийся в точку при приближении к особенности.

Более того, этотцикл λs выделяется еще и следующим свойством. Нарисуем на бифуркационной диаграмме окружность вокруг точки фокус-фокус. Обход по этой окружности задает оператор монодромии на циклах на торах Лиувилля. И цикл λsявляется инвариантным для этого оператора.83Итак, можно определить четыре цикла λ1 , λ2 , λs и λ0 . Причем только нацикле λ0 задана естественная ориентация.

Ориентации на остальных циклахзададим позже.При описании циклов на торах Лиувилля интегрируемой системы необходимо извлекать много информации из формул для гамильтониана и первогоинтеграла. Для случая Дуллина-Матвеева гамильтониан H является четнойфункций по импульсам, а дополнительный интеграл F — нечетной. Поэтому следует ввести естественный диффеоморфизм τ : M4 → M4 фазовогомногообразия по правилу:τ : (S1 , S2 , S3 , r1 , r2 , r3 ) 7→ (−S1 , −S2 , −S3 , r1 , r2 , r3 ).ЛЕММА 2.7.2 Для диффеоморфизма τ имеет место1) H(τ x) = H(x), F (τ x) = −F (x),2) τ сохраняет ориентацию на M4 и на Q3h ,3) dτ сохраняет векторное поле sgrad F и переворачивает векторное полеsgrad H,4) τ (λ1 ) = −λ2 , τ (λ2 ) = −λ1 , τ (λ0 ) = −λ0 , τ (λs ) = λsДоказательство Леммы.

Первый пункт очевидным образом следуетиз четности гамильтониана и нечетности дополнительного интеграла по импульсам (2.1.1).Для понимания второго пункта воспользуемся следующими соображениями. Пусть τ : M → M — диффеоморфизм, ε1 = ind τ . То есть ε1 = 1, если τсохраняет ориентацию на M, и ε1 = −1, если τ меняет ориентацию.N = {x ∈ M|I(x) = 0}84инвариантное относительно τ подмногообразие M, где I(x) — некотораягладкая функция на M. И пусть I(τ x) = ε2 I(x) на N для некоторой константы ε2 = ±1.

Тогда τ сохраняет ориентацию на N тогда и только тогда,когда ε1 ε2 = 1. Применим это соображение несколько разНапомним, что многообразие M4 задается в видеM4 = {x ∈ R6 (S, r)|I1 (x) = r12 + r22 + r32 = 1, I2 (x) = S1 r2 + S2 r2 + S3 r3 = 0}.Получаем, τ меняет ориентацию на R6 (S, x), и I1 (τ x) = I1 (x). Значит, τменяет ориентацию на{x ∈ R6 (S, r)|I1 (x) = r12 + r22 + r32 = 1}.Поскольку I2 (τ x) = −I2 (x), значит, τ сохраняет ориентацию на M4 . И последнее, ввиду H(τ x) = H(x), получаем, что τ сохраняет ориентацию наQ3h = {x ∈ M4 |H(x) = h}.Пункт три получается легким подсчетом степеней по импульсам компонент поля sgrad H и поля sgrad F .Поскольку dτ переворачивает векторное поле sgrad H, значит τ (λ0 ) = −λ0 .Очевидно, что для цикла λs имеет место τ (λs ) = ±λs .

Следуя соображениямиз пункта два этой леммы, τ меняет ориентацию на торе при F = 0, значитτ (λs ) = λs .Осталось показать, что τ (λ1 ) = −λ2 , τ (λ2 ) = −λ1 . Очевидно, что τ (λ1 ) =±λ2 . Пусть (λ1 , µ1 ) — допустимая система координат на торе вблизи особенности на кривой γ1 , тогда (−dτ (λ1 ), −dτ (µ1 )) — допустимая система координатна торе вблизи особенности на кривой γ2 .

Отсюда получаем, что τ (λ1 ) = −λ2 .Лемма доказана. Монодромия точки фокус-фокус нетривиальна. Поэтому описанные вышециклы λ1 , λ2 , λs и λ0 будем сравнивать вдоль путей отдельно над“ и под“””85точкой фокус-фокус.ЛЕММА 2.7.3 Вдоль путей, проходящих ниже“ точки фокус-фокус, име”ет место:1) индексы пересечения циклов λ1 , λ2 равен 1, а циклов λ0 , λs — равен 2,2) λ1 − λ2 = ±λs ,3) λ1 + λ2 = ±λ0 ,Рис. 2.5: Склейка S 3 из двух полноториевДоказательство Леммы.

Согласно [21, том 1, глава 4], топология слоений изоэнергетических поверхностей вблизи точки центр-центр устроена следующим образом. Грубая молекула имеет вид A—A, метка r = 0. Это означает, что слоение Лиувилля изоэнергетическая поверхность устроено так, какпоказано на рис. 2.5. Поэтому λ1 и λ2 имеют индекс пересечения 1. Значит,λ1 и λ2 можно рассматривать в качестве базисных циклов.Докажем, что индекс пересечения λ0 , λs равен 2.

Для этого рассмотрим,как плоскость S1 = S3 = r2 = 0 сечет изоэнергетические поверхности Q3h . Впространстве R3 (S2 , r1 , r3 ) оно задается системой86S2r1 2−= h,2W (r2 )r12 + r32 = 1.Получаем, что эта плоскость на торе высекает одну окружности при h1 < h < h2 , восьмерку“ при”h = h2 , и две окружности при h > h2 (см. рис. 2.6).Получаем, что индекс пересечения λ0 , λs равен 2 приh1 < h < h2 , и равен 1 при h > h2 ,Рис. 2.6: Циклы вблизиДокажем оставшиеся два пункта леммы.

Для это- точки фокус-фокусго циклы λ0 и λs разложим по циклам λ1 и λ2 . Из соображений четности —пункт 3) Леммы 2.7.2 — получаемλs = a(λ1 − λ2 ),λ0 = b(λ1 + λ2 ),где a, b ∈ Z\{0}. Циклы λ1 и λ2 образуют базис. Поэтому индекс пересеченияλ0 и λs равен a −a = ±2ab.± b b Следовательно, a = ±1, b = ±1.Лемма доказана.

Выберем ориентацию на многообразии так, что бы ниже“ точки фокус”фокусλ0 = λ1 + λ2 .Очевидным образом, мы всегда так можем сделать. А ориентацию на цикле λsвыберем так, чтобы пара циклов (λ1 , λs ) образовывала допустимую системукоординат вблизи бифуркаций на кривой γ1 . Тогда (λ2 , −λs ) будет допусти87мой системой координат вблизи бифуркаций на кривой γ2 .

Это следует изтого, что τ сохраняет ориентацию на Q3h .Итак, на всех выбранных нами циклах фиксирована ориентация. Цикла λ0разложен по базису (λ1 , λ2 ). Для того, что бы понимать все линейные комбинации циклов λ1 , λ2 , λs и λ0 ниже“ точки фокус-фокус осталось разложить”цикл λs по тому же базису (λ1 , λ2 ).ЛЕММА 2.7.4 Ниже“ точки фокус-фокус имеет место:”λs = λ2 − λ1 .Доказательство Леммы. Пусть λ2 − λ1 = ελs , где ε = ±1. Циклλs + ελ1 может быть выбран в качестве второго базисного цикла вблизи дугиγ1 , и стягивается в точку при приближении к дуге γ2 .

А цикл −λs + ελ2может быть выбран в качестве второго базисного цикла вблизи дуги γ2 , истягивается в точку при приближении к дуге γ1 . Разложим цикл λ0 по парециклов λs + ελ1 , −λs + ελ1λ0 = ε(λs + ελ1 ) + ε(−λs + ελ1 ).Согласно лемме 1.2.1, по крайней мере, один из коэффициентов разложениядолжен быть положительным. Значит, ε = 1.Лемма доказана. ЛЕММА 2.7.5 Выше“ фокуса имеет место:”1) индексы пересечения циклов λ1 , λ2 равен 2, а циклов λ0 , λs — равен 1,2) λ2 − λ1 = 2λs ,4) λ1 + λ2 = 2λ0 ,5) пары циклов λ1 , λs и λ2 , λs имеют индекс пересечения 1.88Доказательство Леммы.

Изоэнергетическая поверхность выше“ точ”3ки фокус-фокус гомеоморфна RP (см. Теорема 2.2.1). Поэтому индекс пересечения циклов λ1 и λ2 равен двум [21, том 1, глава 4].Перестройка тора при переходе через точку фокус-фокус при F = 0 устроена так, как показано на рисунке 2.6. Поэтому индекс пересечения циклов λ0и λs выше точки фокус-фокус равен 1. Так, пара циклов λ0 , λs образует базисфундаментальной группы на торах вдоль путей выше“ точки фокус-фокус.”Значит, по этим циклам можно разложить циклы λ1 и λ2 . Поскольку индекспересечения λ1 и λ2 равен двум, получаемλ2 − λ1 = ±2λs ,(2.7.1)λ1 + λ2 = ±2λ0 .Вдоль пути ниже“ точки фокус-фокус λ2 − λ1 = λs . И как отмечалось в”разделе 1.2.5, если индекс пересечения циклов λ, λs равен 1, тогда при обходевокруг точки фокус-фокус цикл λ изменится на цикл λ ± λs .

Характеристики

Список файлов диссертации