Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Получаем,(ω, ω)4 (J−1 n, n) det Jdet Ĝ =(Jω, ω)117det(J − λE)fλ0 .Поскольку дробь в последней формуле строго положительна, а выражениепосле дроби совпадает с выражением (4.2.1), утверждение пункта 1) доказано.В критических точках, отвечающих лучу σi , имеемdet Ĝ =2Ji ωi4 (J−1 n, n)(det J)Y(Jj − Ji ).j6=iОтсюда det Ĝ > 0 при i = 1, 3 и det Ĝ < 0 при i = 2.Исследуем критические окружности в прообразе отрезка τ1 . Следуя определению из раздела 1.2.1, эти окружности будут вырожденными. Поэтомуих орбитальную устойчивость будем проверять по определению.
Рассмотримпрообраз точки H = h + o(1), F = o(1) и убедимся, что он лежит в окрестности прообраза точки H = h, F = 0. Действительно, имеем(K, J−1 n)2(K, J K) −= 2h + o(1).(n, J−1 n)−1При этомω = J−1 (αn − K) + o(1),где α =(K, J−1 n)+ o(1).(n, J−1 n)Утверждение доказано. 4.2.3Резиновый шар в поле сил задачи БрунаЗадача о качении резинового шара в поле сил задачи Бруна также является интегрируемой по Лиувиллю после замены времени. Многообразие (4.1.9)является фазовым пространством, гамильтониан и дополнительный первыйинтеграл выписаны в выражениях (4.1.6) и (4.1.12).
Так определено интегральное отображение H × F : M4 → R2 (h, f ). Пусть e1 , e2 , e3 — главныенаправления тензора инерции, отвечающие моментам I1 , I2 , I3 соответственно.118ТЕОРЕМА 4.2.2 Бифуркационная диаграмма отображения момента длязадачи о качении резинового шара в поле сил Бруна состоит из объединения(см. рис. 4.4)1) трех лучейσi : f = 2Ji h +εJi2ε(trJ − Ji ), h > − max Jj , i = 1, 2, 3.4 j6=i2) кривой τ при λ ∈ (J2 , J3 )εh(λ) = (2λ − trJ),4ελf (λ) = 2λh(λ) + (trJ − λ).2Точка M4 является стационарной для системы (4.1.5) при K = 0, если внейω = 0, n||ei для некоторого i = 1, 2, 3.Все шесть таких точек соответствуют состояниям покоя шара и приотображении момента переходят в точки пересечения лучей σ1 , σ2 , σ3 .
Точки ранга ноль отображения момента совпадают со стационарными решениями.Опишем, как устроены критические окружности. В прообразе каждой неособой точки лучей σ1 , σ2 , σ3 лежит по две, а дуги τ — по четыре критическиеокружности. Вдоль критических окружностей, отвечающих лучу σi , векторугловой скорости параллелен ei — i-ому главному направлению тензора инерции. Пустьj = min k.k6=i119Рис.
4.4: Резиновый шар в поле сил задачи Бруна на плоскости. а) Бифуркационная диаграмма, б) бифуркационный комплекс (состоит из склейки трех компонент).Тогда при h < −εJj /4 шар осуществляет колебания. Минимум потенциальной энергии этого колебания достигается, когда вектор ej направлен вертикально. Если же h > −εJj /4, то шар неравномерно катится по прямой.Вдоль критических окружностей, отвечающих внутренним точкам дугиτ , шар так же осуществляет колебания, при которых направление вектораугловой скорости уже не постоянно. В прообразе точки (f (λ), h(λ)) вектор nописывает траекторию((J − λE)−1 n, n) = 0.Вектор угловой скорости при этом будетε det(J − λE)ω = ν(J − λE) n, где ν =.2λ−12Некоторые траектории точки контакта вдоль таких особых решений наповерхности шара и на плоскости изображены на (рис.
4.5).Как видно, бифуркационная диаграмма отображения момента для задачио качении резинового шара по плоскости в поле сил задачи Бруна совпадаетс диаграммой для случая Клебша из динамики твердого тела при нулевойконстанте площадей. Исследование случая Клебша было проведено Харламовым120Рис. 4.5: Резиновый шар в поле сил задачи Бруна на плоскости,I = diag(4, 5, 6), D =7, R = 1, ε = 1. Траектория точки контакта на поверхности шара и на плоскости приλ = 11, 01; 11, 2; 11, 6; 11, 99 для решений в прообразе дуги τИсследуем устойчивость критических окружностей.УТВЕРЖДЕНИЕ 4.2.2 В прообразе1) части луча σi на границе заштрихованной области (см. рис. 4.4) лежит по две устойчивые критические окружности.2) части луча σi внутри заштрихованной области лежит по две неустойчивые критические окружности.3) дуги τ лежит по четыре устойчивые критические окружности.Стационарные решения, в которых n||e3 — устойчивы, а в которых n||e1121или n||e2 — неустойчивы.Последнее утверждение можно иллюстрировать с помощью бифуркационного комплекса.
Этот комплекс не вкладывается в R3 , однако его можнопредставить в виде склейки (см. рис. 4.4 б) ребро a приклеивается к ребру a,ребро b — к ребру b).Доказательство Утверждения. Исследуем устойчивость критических окружностей, отвечающих лучу σi . Для этого рассчитаем индекс критической траектории, проходящей через точкуω = ωi ei , n = ek .В таких точках имеет местоεdF = 2Ji dH + Ji (trJ − Ji )d(n, n).2Введем матрицуεG = d2 F − 2Ji d2 H − Ji (trJ − Ji )d2 (n, n).2Двумерное пространство в R6 (ω, n), ортогональное градиентам функций (ω, n),(n, n), H и трансверсальное к полю (4.1.5) при K = 0, натянуто на вектораr1 = −ωi ekei , r2 = ej0Обозначим через Ĝ ограничение G на < r 1 , r 2 > как квадратичную форму.Получаемdet Ĝ = 4Jj (Jj − Ji )(Jk − Ji )Ji ωi2ε− (Ji − Jj ) .2Так, det Ĝ > 0 для особых решений из пункта 1), и det Ĝ < 0 для особыхрешений из пункта 2) утверждения 4.2.2.122Вдоль особых решений, отвечающих дуге τ верноεdF = 2λdH +2λ(trJ − λ) − ν2d(n, n).Опять введем матрицу22G = d F − 2λd H −ε2λ(trJ − λ) − ν2d(n, n).Двумерное пространство ортогональное градиентам функций (ω, n), (n, n), Hи трансверсальное к полю (4.1.5) при K = 0 натянуто на вектора e−(ω, ω)n + αωr1 = , r2 = 0ωn×ωгде e =(ω, ω) +, α=|n × ω|λ(ω, ω)ε2Обозначая через Ĝ ограничение G на < r 1 , r 2 > как квадратичную форму,получаем det Ĝ > 0.
Тем самым, критические окружности в прообразе дугиτ невырожденные и устойчивы.Исследуем устойчивость неподвижных точек. Функция H является гладкой и ограниченной снизу на M4 . Положения равновесия ω = 0, n = ±e3являются ее двумя невырожденными (т.е. морсовскими) изолированными минимумами, а потому устойчивы.Остальные положения равновесия неустойчивые. Действительно, сколь угодно близко к положениям ω = 0, n = ±e1 и n = ±e2 существуют особыерешения, вдоль которых шар катится при ω||e2 или e3 и e3 соответственно.123Глава 5О полноте гамильтоновых векторныхполей5.1Редукция системРассмотрим многообразие M и векторное поле v на нем.
Пусть определенодействие произвольная группа Ли G на M, сохраняющее векторное поле v.Множество орбит этого действия K = M/G не обязано быть хаусдорфовымпространством. Очевидно, тогда поле v переводит орбиты этого действия ворбиты. Тем самым v локально задает поток φvt на пространстве орбит.ЛЕММА 5.1.1 φvt определено ∀t ∈ R на K =⇒ поле v полно на M.Доказательство Леммы. Рассмотрим точку x0 ∈ M и интегральнуютраекторию векторного поля v, начинающуюся в этой точке. Докажем, чтоэта траектория определена на отрезке t ∈ [0, T ] для ∀T > 0.Сделаем следующее замечание.
Пусть две точки x, y ∈ M лежат на однойорбите A ∈ M/G. И пусть интегральная траектория поля v с началом в точке x определена вдоль интервала (−ε1 , ε2 ), тогда интегральная траектория vс началом в точке y так же определена на интервале (−ε1 , ε2 ). Это свойствоследует из того, что действие G на M определено везде на M.124Точка x0 лежит на некоторой орбите A0 ∈ M/G действия группы G.Поток φvt задает кривуюφvt (A0 ), t ∈ [0, T ].Покроем отрезок [0, T ] интервалами[0, T ] ⊂[(at , bt )t∈[0,T ]такими, что, во-первых, at < t < bt , а во-вторых, интегральные траекторииполя v, начинающиеся в точках с орбиты φvt (A0 ) продолжаются на интервале(at − t, bt − t). Выберем конечно подпокрытие[0, T ] ⊂n[(ati , bti ).i=1Тогда получим, что траектория поля v продолжается вдоль каждого из интервалов (ati , bti ), а значит, и вдоль отрезка [0, T ].Тем самым лемма доказана.
5.2Левоинвариантные гамильтоновы системы на группах Ли и уравнения Эйлера на алгебрах ЛиПусть G — вещественная группа Ли, g — касательное пространство в единице, g∗ — двойственное пространство к g. Возьмем гладкую функциюH : g∗ → Rи определим по ней левоинвариантным образом функциюH : T ∗G → Rна кокасательном расслоении T ∗ G к группе G.125С функциями H и H естественным образом связаны две динамическиесистемы (v, g∗ ) и (w, T ∗ G). Первая из них, v, определена на g∗ :v(ξ) = ad∗dH(ξ) ξ,где ξ ∈ g∗ .
При этом уравненияξ˙ = v(ξ)на g∗ называется уравнениями Эйлера. Вторая, w, определена на T ∗ G — гамильтонова система относительно естественной симплектической структурына кокасательном расслоении к многообразию G с гамильтонианом H. Припомощи леммы 5.1.1 не сложно доказать следующий результат:УТВЕРЖДЕНИЕ 5.2.1 Поле (v, g∗ ) полно ⇐⇒ полно поле (w, T ∗ G).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть M = T ∗ G.
Группа G действует на M левыми сдвигами. Для применения леммы 5.1.1 необходимо показать, что поле (ω, T ∗ G) сохраняется при таком действии. А это уже показано в книге [40]:ЛЕММА 5.2.1 [40, Глава 7, § 2.1, лемма 1] Если функция ГамильтонаH(t), t ∈ T ∗ G, левоинвариантна, то векторное поле sgrad H тоже левоинвариатно.Отождествим множество орбит действия G на M с g∗ . Встает естественный вопрос: как связаны поле (v, g∗ ) и поле, задающее поток φωt на g∗ ? Ответполучен в [40]:ЛЕММА 5.2.2 [40, Глава 7, § 2.1, лемма 2] Поле v задает поток φωt на g∗ .Итак, пусть векторное поле (v, g∗ ) полное. Тогда поток φωt на g∗ определендля любого t ∈ R.
Значит по лемме 5.1.1 поле (ω, T ∗ G) полно.126И наоборот. Если поле (ω, T ∗ G) полно, тогда поток φωt на g∗ определен длялюбого t ∈ R. А поскольку поле v задается именно этим потоком, значит vполно.Утверждение доказано. 5.3О полноте гамильтоновых векторных полей для полиномов, полученных методом СадэтоваРассмотрим полиномы, полученные методом Садэтова для некоторой алгебры Ли над полем действительных чисел R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
