Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Система уравнения (4.1.2) допускают интеграл энергии игеометрический интеграл1H = (Jω, ω), (n, n) = 1.2(4.1.3)Имеется также дополнительный интегралF = (Jω, Jω) − (Jω, n)2 .4.1.2(4.1.4)Резиновый шар на плоскости с ротором в потенциальномполеТеперь закрепим внутри шара постоянный ротор и поместим в вертикальное потенциальное поле. При этом сохраним требования (4.1.1).
Тогда уравнения движения (4.1.2) можно обобщить109∂UJω̇ = (Jω + K) × ω + n ×∂n+ µn, ṅ = n × ω,(4.1.5)((Jω + K) × ω + n ×µ=−∂U−1∂n , J n),(n, J−1 n)Здесь K — постоянный вектор момента ротора, U = U (n) — потенциал силового поля. Уравнения (4.1.5) также сохраняют интеграл энергии1H = (Jω, ω) + U (n).2(4.1.6)Однако в общем случае дополнительного первого интеграла не существует.В работе [38] система (4.1.5) (а потому и (4.1.2)) была представлена вконформно-гамильтоновом виде. Опишем это представление. Рассмотрим линейное пространство R6 (ω, n). В новых координатах (M , γ)M = ρJ1/2 ω, γ = ρ−1 J−1/2 n :(4.1.7)введем скобку Пуассона{Mi , Mj } = εijk (Mk − ρ3 det J(K, J1/2 γ)γk ),(4.1.8){Mi , γj } = εijk γk ,{γi , γj } = 0.В таком случае фазовым пространство системы (4.1.5) — многообразиеM4 = {(ω, n) = 0, (n, n) = 1} ≡ {(M , γ) = 0, (γ, γ) = 1}(4.1.9)будет симплектическим листом этой скобки, а значит, M4 — симплектическое многообразие.
Переписав скобку (4.1.8) обратно в координатах (ω, n),система (4.1.5) будет иметь вид (1.3.3). Где гамильтониан H представляетсяв форме (4.1.6), а приводящий множитель равенµ(ω, n) = ρ =p(n, J−1 n).1104.1.3Интегрируемые случаиКак отмечалось выше, в общем случае система (4.1.5) не обладает дополнительным первым интегралом. Однако некоторые из таких обобщений всеже будут интегрируемыми.1. При U (n) ≡ 0 система (4.1.5) обладает дополнительным интеграломF = (Jω + K, Jω + K) − (Jω + K, n)2 .(4.1.10)2.
В случаеK = 0,εU (n) = − (Jn, n)4(4.1.11)система (4.1.5) допускает интеграл2ε det JF = (Jω × n) +2(J−1 n, n).(4.1.12)Потенциал вида (4.1.11) соответствует полю сил задачи Бруна. В такомслучае все точки шара притягиваются к плоскости с силой, пропорциональной расстоянию до плоскости. Для классической задачи о качении шара Чаплыгина интегрируемое обобщение добавлением потенциала (4.1.11) было показано В.В.Козловым [39]. А добавление потенциала (4.1.11) к волчку Эйлерабудет интегрируемым случаем Клебша [31].4.2Критические окружности их устойчивостьУкажем критические окружности и построим бифуркационные диаграммы для указанных выше интегрируемых случаев.1114.2.1Резиновый шарГамильтониан (4.1.3) и дополнительный интеграл (4.1.4) заданы на многообразии (4.1.9). Стационарные решения уравнений (4.1.2) имеют вид: ω = 0,а n — произвольный единичный вектор.
Этим решениям отвечают состоянияпокоя шара. Точки, в которых ранг дифференциала интегрального отображенияrank d(H × F ) = 0совпадают со стационарными решениями.Вдоль решений, отвечающим критическим окружностям, вектор угловойскорости ω постоянен и направлен вдоль одной из главных осей. В такомслучае шар равномерно катится по прямой, при этом ось вращения направлена вдоль одной из главных осей инерции. Бифуркационная диаграммаотображения момента для гамильтониана (4.1.3), дополнительного интеграла(4.1.4), заданных на многообразии (4.1.9), состоит из трех лучейfh=2Ji, f > 0.При этом вращению вокруг средней оси отвечает устойчивая критическаяокружность, а вокруг наибольшей и наименьшей — неустойчивая (см. рис.4.1). Вид бифуркационной диаграммы довольно типичный.
Это связано стем, что задача о качении резинового шара по плоскости сводится к задачеНеймана [37].В работе [35] были исследованы критические решения аналогичной классической системы — качение шара Чаплыгина по плоскости. Оказалось, чторезиновый шар не допускает ряд движений, возможных для классическогоаналога — а именно, шар Чаплыгина допускает вращение на неподвижнойточке, при котором одно из главных направлений тензора инерции направ112Рис. 4.1: Резиновый шар на плоскости, I = diag(4, 5, 6), D = 7. Траектория точки контактана поверхности шара при вращении около устойчивой оси (рис.
а) и около неустойчивой(рис. б). Траектория на рис. а) выпущена из точки ω = (1, 0, 0.1), n = (0, 1, 0), на рис. б)— из точки ω = (0, 1, 0.1), n = (1, 0, 0)лено вертикально. Для резинового шара такие движения невозможны.4.2.2Резиновый шар с роторомКак отмечено в разделах 4.1.2, 4.1.3, задача о качении резинового шарас ротором по плоскости является интегрируемой по Лиувиллю после замены времени. Фазовое пространство — многообразие (4.1.9), гамильтониан идополнительный первый интеграл выражаются формулами (4.1.3) и (4.1.10).Тем самым корректно определено отображение моментаH × F : M4 → R2 (h, f ).ТЕОРЕМА 4.2.1 Бифуркационная диаграмма отображения момента длязадачи о качении резинового шара с ротором по плоскости состоит из объединения (см.
рис. 4.2, а)1) набора кривых σ (λ 6= 0, J1 , J2 , J3 )113Рис. 4.2: Резиновый шар с ротором на плоскости, I = diag(4, 5, 6), D = 7, K = (1, 1, 1). а)Бифуркационная диаграмма интегрального отображения. б) Бифуркационный комплекс.f (λ) = λ2 2h(λ) =k12(J1 −k12 J1(J1 − λ)2λ)2++k22(J2 −k22 J2(J2 − λ)2λ)2++k32(J3 −k32 J3(J3 − λ)2λ)2,,2) лучей σi , если ki = 0f = 2Ji h − JiXj6=iXkj2kj22, где f > Ji,Jj − Ji(Jj − Ji )2j6=i3) отрезка τ1 : f = 0, 2h ∈ (0, (K, J−1 K)),4) отрезка τ2 : f ∈ [0, (K, K)], h = 0,Точка M4 является стационарной для системы (4.1.5) при U (n) ≡ 0, еслив ней ω = 0.
Все такие точки соответствуют состояниям покоя шара ипри отображении момента переходят в отрезок τ2 . Точка M4 являетсяточкой ранга ноль отображения момента, если в ней ω = 0, n||K. Обетакие точки при отображении момента проектируются в точку (0, 0).114Кратко опишем схему доказательства теоремы. Вначале следует найтимножество критические точек отображения момента. Это множество полностью состоит из особых траекторий и совпадает с теми точками M4 , гдезависимы градиенты четырех функцийH, F, (n, n), (ω, n)как функций в объемлющем пространстве R6 (ω, n). Далее следует найти образ этого множества при отображении момента.Критические окружности в задаче о качении резинового шара с постоянным ротором устроены следующим образом.
В прообразе каждой точкикривых σ лежит по одной, а лучей σi по две критические окружности. Вдольтаких решений вектор угловой скорости ω постоянен и может быть найдениз системыJω + K = λωдля кривых σ, иJω + K = Ji ωдля луча σi . В абсолютном пространстве вдоль таких решений шар равномерно катится по прямой.Внутренним точкам отрезка τ1 отвечает по две критические окружности.Вдоль нихJω + K||n,вектор n описывает траектории (см.рис 4.3, а):−1(K, J−1 n)2(K, J K) −(n, J−1 n)= 2h.При этом−1ω = J (αn − K),(K, J−1 n)где α =.(n, J−1 n)115Рис.
4.3: Резиновый шар с ротором на плоскости, I = diag(4, 5, 6), D = 7, K = (1, 1, 1). а)Траектория точки контакта на поверхности шара вдоль особых решений, где Jω + K||n.б) Траектория точки контакта при возмущении стационарной точки ω = (0, 0, 0), n =(0.6, 0, 0.8)Прообраз отрезка τ2 устроен очень просто. В прообразе точки (f, h = 0)лежат стационарные решения, при которых вектор момента ротора K направлен под углом φ к вертикали, где sin2 φ = f /(K, K).Опишем некоторые различия в движениях резинового шара и шара Чаплыгина.
Критические решения для задачи о качении шара Чаплыгина сротором были описаны главе 3. Некоторые из таких решений представляютпрямолинейные качения, при которых вектор угловой скорости постоянен вабсолютном пространстве и направлен не горизонтально. Вдоль подобныхкритических решений для резинового шара с ротором вектор угловой скорости тоже постоянен, но обязательно горизонтален.Исследуем устойчивость критических окружностей (см.
раздел 1.2.1). Выпишем выражениеdet(J − λE)fλ0(4.2.1)УТВЕРЖДЕНИЕ 4.2.1 В прообразе каждой внутренней точки1) кривых σ лежит по одной устойчивой критической окружности, есливыражение (4.2.1) положительно и одной неустойчивой — если этовыражение отрицательно.1162) луча σi лежит по две устойчивые критические окружности при i =1, 3 и две неустойчивые — при i = 2.3) отрезка τ1 лежит по две устойчивые критические траектории.4) отрезка τ2 лежит по две окружности.
Каждая точка этих окружностей есть неустойчивое положение равновесия.Среди стационарных решений устойчивы только два. Это точки, где n||K.При возмущении остальных неподвижных точек, вектор n в M4 будет вращаться вокруг вектора K (см.рис. 4.3, б). Бифуркационный комплекс слоения Лиувилля изображен на рис. 4.2, б.Доказательство Утверждения. Докажем пункт 1). Вдоль критических периодических траекторий в прообразе кривой σ верноdF = 2λdHВведем матрицуG = d2 F − 2λd2 H.Двумерное пространство в R6 (ω, n), ортогональное градиентам функций (ωn),(n, n), H и трансверсальное к полю (4.1.5) при U (n) = 0, натянуто на вектора(ω, ω)(Jω, n × ω)−1−−Jnω+n×ω −1r1 = ,r=(ω, Jω) (n, J n) 2 ω0Обозначим через Ĝ ограничение G на < r 1 , r 2 > как квадратичную форму.Согласно разделу 1.2.1 критическая окружность устойчива если вдоль нееdet Ĝ > 0, и неустойчива если det Ĝ < 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
