Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Как описано в разделе 1.4.2, спроцедурой поиска полиномов связана последовательность троек 1.4.1. Веренследующий результат:УТВЕРЖДЕНИЕ 5.3.1 Гамильтоновые векторные поля для полиномов изgi для последовательности 1.4.1 полны.Доказательство. Будем доказывать по индукции по номеру шага в методе Садэтова. На первом шаге g1 = g — множество линейных полиномов.Поэтому соответствующие гамильтоновы поля полны. Пусть ∀fi ∈ gi полеsgrad fi(5.3.1)полно. Докажем, что ∀fi+1 ∈ gi+1 полеsgrad fi+1(5.3.2)полно. Тройка (zi+1 , hi+1 , gi+1 ) строится по тройке (zi , hi , gi ) в зависимости оттого, какой реализовался случай леммы 1.4.1 для алгебры gi /zi . Разберем всеслучаи в отдельности.127Коммутативный идеал.
Пусть в алгебре gi /zi существует коммутативный идеал. Тогда, во-первых,hi+1 ⊂ Ann(gi+1 ),(5.3.3)а во-вторых, gi+1 — множество линейных комбинаций элементов из gi с коэффициентами из hi+1 :fi+1 = h1 fi1 + h2 fi2 + ... + hk fik ,(5.3.4)где h1 , h2 , ..., hk ∈ hi+1 , fi1 , fi2 , ..., fik ∈ gi , k ∈ N. Теперь, поскольку (5.3.3),полиномы h1 , h2 , ..., hk постоянны вдоль траекторий поля (5.3.2). Следовательно, поскольку (5.3.4), каждая траектория поля (5.3.2) совпадает с траекторией некоторого поля (5.3.1). Значит, поле (5.3.2) полно.Идеал Гейзенберга.
Пусть в алгебре gi /zi существует идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда любой элемент fi+1 ∈ gi+1 представим в видеfi+1 = (h1 fi1 + h2 fi2 + ... + hk fik )e +Xhj,s vj vs ,где hj,s , h1 , h2 , ..., hk ∈ hi+1 , e, fi1 , fi2 , ..., fik , v1 , v2 , ...., v2m ∈ gi , k ∈ N (см. обозначения раздела 1.4.2). Причемe, hj,s , h1 , h2 , ..., hk , fi1 , fi2 , ..., fik , v1 , v2 , ...., v2m , fi+1 ⊂ Ann(fi+1 ).Следовательно многочленh1 fi1 + h2 fi2 + ... + hk fik ∈ Ann(fi+1 )и постоянен вдоль траекторий поля (5.3.2).
Получаемsgrad fi+1 =(h1 fi1 + h2 fi2 + ... + hk fik )sgrad e+e sgrad (h1 fi1 + h2 fi2 + ... + hk fik )+PPhj,s vj sgrad vs + hj,s vs sgrad vj .128Коэффициенты постоянные. Следовательно, каждая траектория поля (5.3.2)совпадает с траекторией некоторого поля (5.3.1). Значит, поле (5.3.2) полно.Полупростой случай.
В случае, когда алгебра gi /zi представляется ввиде прямой суммы поля и полупростой подалгебры gi+1 ∈ gi . Поэтому изполноты полей (5.3.1) следует полнота полей (5.3.2).Утверждение доказано. Прокомментируем утверждение 5.3.1. Исследуется полнота гамильтоновыхвекторных полей для полиномов, полученных методом Садэтова. Поиск коммутирующих полиномов происходит пошагово. На каждом шаге добавляетсянесколько полиномов. При этом если на некотором шаге алгебра gi /zi неявляется полупростой, тогда добавляемые на этом шаге полиномы лежат влинейном пространстве gi . И по предыдущему утверждению их поля косойградиент полны.
Если же алгебра gi /zi полупроста, тогда добавляемые полиномы имеют инею природы, и для них предыдущее утверждение неприменимо.129Литература[1] Фоменко А.Т. Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенямисвободы. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 54, выпуск 3, с. 546-575, 1990.[2] Болсинов А.В. Гладкая траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Матем.
сборник, т.186, №1, с. 3-28, 1995.[3] Ошемков А.А. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Труды семинара по векторномуи тензорному анализу, №23, с. 122-132, 1999.[4] Ошемков А.А. Вычисление инварианта Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. Труды семинара по векторномуи тензорному анализу, №25, часть 2, с. 23-110, 1993.[5] Матвеев В.С.
Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенямисвободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типаседло-седло и фокус-фокус. Матем. сборник, т. 187, №4, с. 29-58, 1996.[6] Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задачи динамики твердого тела. Ленинград: Изд-во Ленинградского Университета,1988.130[7] Топалов П. Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела. Матем. сборник, т. 187, №3, с.
143-160, 1996.[8] Орел О.Е. Функции вращения для интегрируемых задач, сводящихся к уравнениям Абеля. Траекторная классификация систем ГорячеваЧаплыгина. Матем. сборник, т. 186, №2, с. 105-128, 1995.[9] Рябов П.Е. Харламов М.П. Бифуркации первых интегралов в случаеКовалевской-Яхьи. Регулярная и хаотическая динамика, т.
2, №2, с.25-40, 1997.[10] Orel O.E. Ryabov P.E. Biffurcation sets in a problem on motion of a rigidbody in fluid and in the generalization of this problem. Regular and ChaoticDynamic, vol. 3, №2, p. 82-91, 1998.[11] Ryabov P.E. Biffurcation sets in an integrable problem on motion of a rigidbody in fluid. Regular and Chaotic Dynamic, vol. 4, №4, p. 59-76, 1999.[12] Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова. Теоретическая и математическая физика, т. 134, №2, с. 207-226, 2003.[13] Морозов П.В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случаяКлебша. Матем. сборник, т.
193, №10, с. 113-138, 2002.[14] Морозов П.В. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемостиСтеклова и Соколова уравнений Кирхгофа. Матем. сборник, т. 195, №3,с. 69-114, 2004.[15] Москвин А.Ю. Топология слоений Лиувилля нового интегрируемого случая на двумерной сфере. Труды Воронежской зимней математическойшколы С.Г. Крейна, ИПЦВГУ, с. 135-139, 2006.131[16] Москвин А.Ю. Топология слоения Лиувилля интегрируемого случаяДуллина–Матвеева на двумерной сфере.
Матем. сб., т.199, №3, c. 95–132,2008.[17] Москвин А.Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения. Нелинейная динамика, т.5, №3, с. 345-356, 2009.[18] Москвин А.Ю. Резиновый шар на плоскости: критические решения.Нелинейная динамика, т.6, №2, с. 345-358, 2010.[19] Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных алгебрах Ли. Известия АН СССР, сер. матем., т.
42, №2, с. 396-415, 1978.[20] Садэтов С.Т. Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко. ДокладыРАН, т. 397, №6, с. 751-754, 2004.[21] Болсинов А.В. Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы.Геометрия, топология, классификация. РХД, Ижевск, 1999.[22] Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю. Функциональный анализ и его приложения,т. 22, №4, с. 38-51, 1988.[23] Fomenko A.T.The theory of invariants of multidimantional integrablehamiltonian systems (with arbitrary many degrees of freedom). moleculartable of all integrable systems with two degrees of freedom. Advances inSoviet Mathematics, vol.
6, p. 1-36, 1991.[24] RussmannH.Uberdasverhaltenanalytischerhamiltonscherdifferentialgleichungen in der nahe einer gleichwichtslosung. Math. Ann.,vol. 154, p. 284-300, 1964.132[25] Лерман Л.М. Уманский Я.Л. Классификация четырехмерных интегрируемых систем и пуассонова действия r2 в расширенных окрестностяхпростых особых точек. i, ii, iii.
i: // Матем. Сборник, 1992, т. 183, №12,с. 141-176. ii: // Матем. Сборник, 1993, т. 184, №4, с. 103-138. iii: // Матем. Сборник, 1995, т. 186, №10, с. 89-102.[26] Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Интегрирование гамильтоновых системнекоммутативными симметриями. Труды семинара по вект. и тенз. анализу. М.: МГУ, т. 20, с. 5-54, 1981.[27] Трофимов В.В.
Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск:Факториал и изд-во Просперус Удмуртского ун-та, 1995.[28] Болсинов А.В. Полные коммутативные наборы полиномов в пуассоновыхалгебрах: доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко. Труды семинарапо векторному и тензорному анализу, М.: МГУ, т.
26, с. 87-109, 2005.[29] Dullin H.R. Matveev V.S. A new integrable system on the sphere. MathResearch Letters, №11, p. 715–722, 2004.[30] Цыганов А.В. Об одном семействе интегрируемых систем на сфере, обладающих кубическим интегралом движения. ДАН, т. 402, №4, с. 457-459,2005.[31] Борисов А.В. Мамаев И.С. Динамика твердого тела. РХД, Ижевск,2005.[32] Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижнойточки в случае a = b = 4c. Мат. Сборник Кружка любителей мат.наук, т. 21, №3, c. 431-438, 1900.133[33] Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости.
Мат. сб.,т. XXIV, 1903.[34] Борисов А.В. Мамаев И.С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении Шара. Мат. заметки, т. 70, №5, с. 793-795.[35] Kilin A.A. The dynamics of chapligin ball: the qualitative and computeralanalysis. Reg. & Chaot. Dyn., vol. 6 №3, p. 291-306, 2001.[36] K. Ehlers J. Koiller R.
Montgomery and P. M. Rios. Nonholonomic systemsvia moving frames: Cartan equivalence and chaplygin hamiltonization. InThe Breadth of Symplectic and Poisson Geometry, Volume 232, p. 75-120.Birkhauser Boston, 2005.[37] Веселова Л.Е. Новые случаи интегрируемости уравнений движения твердого тела при наличии неголономное связи. сб. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика, МГУ, с. 64-68, 1986.[38] Борисов А.В. Мамаев И.С. Изоморфизм и гамильтоново представлениенекоторых неголономных систем.
Сибирский математический журнал,т. 48, №1, c/ 33-45, 2007.[39] Козлов В.В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики. Успехи механики, т. 8, №3, с. 85-107, 1985.[40] Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Изд. МГУ, М, 1988.134.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
