Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Их дифференциалы в произвольной точке x ∈ g∗ можно трактовать как элементы самой алгебры Лиg. Скобка Пуассона-Ли функций f и g определяется тогда следующей формулой:{f, g}(x) = hx, [dfx , dgx ]i,(1.3.1)Верно следующее утверждение.ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3.1 Орбиты коприсоединенного действия группы ЛиG на своей коалгебре g∗ все являются симплектическими многообразиямис канонической 2-формой ω — формой Кириллова.
Скобку Пуассона на этихмногообразиях можно считать следующим образом: если f, g — две гладкие функции на орбите, продолжаем их произвольным образом до гладкихфункций f˜, g̃ на всей коалгебре, тогда ∀x ∈ g∗ : {f, g}(x) = {f˜, g̃}(x).Фактически, последнее предложение утверждает, что тензор Пуассона π ijскобки (1.3.1) можно ограничить с коалгебры на орбиту. Вообще говоря, тензоры с верхними индексами не ограничиваются с многообразия на подмногообразие. Однако в данном конкретном случае, это ограничение сделать можно.Для примера рассмотрим алгебру e(3) группы движений трехмерного пространства R3 .
Эта алгебра 6-мерна. В коалгебре можно выбрать такие координаты S1 , S2 , S3 , r1 , r2 , r3 , что скобка Пуассона запишется в виде:{Si , Sj } = εijk Sk , {Si , rj } = εijk rk , {ri , rj } = 0,(1.3.2)где εijk — кососимметрический тензор, принимающий значение 1 на четныхперестановках индексов. Скобку Пуассона достаточно задать лишь на координатных функциях.
Поэтому скобка полностью определена. Данная скобка31имеет 2 функции Казимира:I1 = S1 r1 + S2 r2 + S3 r3 и I2 = r12 + r22 + r32 .ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3.2 M4c1 ,c2 = {I1 = c1 , I2 = c2 } — орбита коприсоединенного действия группы E(3) в своей коалгебре.Поэтому M4c1 ,c2 являются 4-мерными симплектическими многообразиями. Такие уравнения классической механики, как уравнения Эйлера-Пуассона одвижении твердого тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести, уравнения Кирхгофа о движении твердого тела в несжимаемой жидкости с однозначным потенциалом скоростей, равным нулю на бесконечности, могут бытьзаписаны в гамильтоновом виде с квадратичным гамильтонианом на орбитахкоприсоединенного действия именно группы E(3), т.е.
на симплектическихмногообразиях типа M4c1 ,c2 .1.3.2Конформно-гамильтоновы системыВ предыдущем параграфе было отмечено, что многие задачи механикиможно представить в гамильтоновом виде (1.1.1) на симплектических многообразиях. Класс таких дифференциальных уравнений можно расширить.Допустим, задачи неголономной механики обычной нельзя представить в гамильтоновой форме (1.1.1), однако часто можно представить в так называемом конформно-гамильтоновом видеẋ = µ(x)sgrad H(x),(1.3.3)где приводящий множитель µ(x) — знакоопределенная на всем многообразии M2n функция.
Легко видеть, что траектории решений (1.3.3) после32замены времениdτ = µ(x)dtсовпадают с траекториями уравнения (1.1.1).Так конформно-гамильтонову систему будем называть интегрируемой, если соответствующая ей гамильтонова система после замены времени являетсяинтегрируемой.1.4Гипотеза Мищенко-Фоменко1.4.1ФормулировкаРассмотрим произвольную конечномерную алгебру Ли g над произвольным полем K и ее двойственное пространство g∗ , снабженное структуройПуассона-Ли (1.3.1).
Если ограничиться полиномами, то эту операцию можнопонимать чисто алгебраически. Скобка Пуассона-Ли на полиномах определяется как кососимметрическая билинейная операция, удовлетворяющая двумсвойствам:1) {f g, h} = g{f, h} + f {g, h} (правило Лейбница);2) если полиномы f и g линейны (тогда их можно понимать как элементыалгебры Ли g), то их скобка Пуассона-Ли совпадает с коммутатором валгебре, т.е.{f, g} = [f, g].Иногда полиномы на g∗ удобно рассматривать как полиномы от элементовалгебры g. Алгебру таких полиномов будем обозначать K[g] и будем называтьпуассоновой алгеброй алгебры Ли g.
Заметим, что скобка Пуассона-Ли есте-33ственным образом распространяется на пространство рациональных функций K(g) на g∗ .ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4.1 Коммутативный относительно скобки ПуассонаЛи набор алгебраически независимых полиномов f1 , f2 , ..., fk ∈ K[g] называется полным, если k = 12 (dim g + ind g)Гипотеза Мищенко-Фоменко ([19], [26]) Пусть g — вещественнаяили комплексная конечномерная алгебра Ли. Тогда на g существует полныйкоммутативный набор полиномов.С точки зрения гамильтоновой механики это утверждение эквивалентносуществованию интегрируемых гамильтоновых систем на орбитах коприсоединенного действия произвольной конечномерной группы Ли G.1.4.2Метод СадэтоваГипотеза Мищенко-Фоменко была доказана ее авторами для полупростыхалгебр Ли [19], а затем для многих других алгебр Ли разными авторами (см.[27]). Доказать ее в общем случае удалось С.Т.Садэтову [20]ТЕОРЕМА 1.4.1 (Садэтов, 2003) Гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива для произвольной конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики.В работе [28] А.В.
Болсинов переформулировал конструкцию Садэтова наязыке пуассоновой геометрии, позволяющей эффективно работать с конкретными алгебрами Ли.Опишем кратко, в чем заключается метод Садэтова для поиска полныхкоммутативных наборов полиномов на произвольных пуассоновых алгебрах.В [28] Болсинов сформулировал следующую лемму.34ЛЕММА 1.4.1 Любая алгебра Ли g над полем K нулевой характеристикиудовлетворяет одному из следующих условий.1) g имеет коммутативный идеал h, не являющийся одномерным центром алгебры.2) g имеет идеал hm , изоморфный алгебре Гейзенберга, и при этом центрg совпадает с центром идеала hm3) g = l ⊕ K, где l — полупроста4) g полупроста.Напомним структуру алгебры Гейзенберга: hm раскладывается в прямуюсумму подпространств V размерности 2m и одномерного центра z = Z(hm ),порожденного вектором e. Для двух произвольных векторов ξ1 , ξ2 ∈ V коммутатор определяется формулой[ξ1 , ξ2 ] = ω(ξ1 , ξ2 )e,где ω — симплектическая форма на V .Отметим несколько полезных свойств алгебры g в случае, когда выполненпункт 2) леммы 1.4.1.ЛЕММА 1.4.2 Существует подалгебра b ⊂ g, такая чтоb + hm = g и b ∩ hm = z.При этом подпространство V ⊂ hm инвариантно относительно присоединенного действия b, и b действует на V симплектическими преобразованиями.35Метод Садэтова описан в [28] и основан на индукции по размерности алгебры.
Рассмотрим этот метод с нового ракурса. С процедурой поиска полных коммутативных наборов полиномов в K[g] связана следующая конечнаяпоследовательность троек(1, 1, g) → (z2 , h2 , g2 ) → (z3 , h3 , g3 ) → ...(1.4.1)Здесь zi — некоторый полином на g∗ , hi — коммутативная подалгебра в пуассоновой алгебры K[g], причем hi = K[hi ]. gi — такое линейное подпространство K[g], что во-первых,zi , hi ⊂ Ann(gi ),а во-вторых, множествоgi /zi =f| f ∈ giziявляется алгеброй Ли над полем рациональных функций K(hi ). При этомdimK(hi ) gi /zi > dimK(hi+1 ) gi+1 /zi+1 .Следует прокомментировать каждый элемент тройки (zi , hi , gi ) в отдельности. Метод Садэтова поиска полного набора полиномов выполняется пошагово.
На i-ом шаге появляется очередная алгебра Ли Gi , возможно, надрасширенным полем. При этом новое поле всегда есть поле частных K(hi )некоторой коммутативной подалгебры hi пуассоновой алгебры K[g]. Полином zi имеет следующий смысл. Если в методе Садэтова на предыдущихшага встречались алгебры Ли, содержащие идеал Гейзенберга, тогда zi — этопроизведение центров всех этих идеалов Гейзенберга.Прокомментируем смысл линейного подпространства gi . Как отмечалосьранее, алгебра Ли Gi , полученная на i-ом шаге метода Садэтова определенанад полем K(hi ). Также мы потребовали, что бы линейное пространство gi /zi36было алгеброй Ли над тем же полем K(hi ).
Множества gi строятся так, чтобы имел место изоморфизмGi ≈ gi /zi .Теперь приступим к описанию метода Садэтова с этого нового ракурса.Полный коммутативный набор полиномов составляется пошагово. Каждыйшаг процедуры поиска характеризуется добавлением очередной тройки в последовательность (1.4.1). В начале процедуры поиска набор полиномов пуст.Новые полиномы добавляются, во-первых, при переходе от тройки (zi , hi , gi )к тройке (zi+1 , hi+1 , gi+1 ), а во-вторых, на последнем шаге процедуры.Опишем, как добавляются новые полиномы.
Для этого рассмотрим алгебру Ли gi /zi над полем K(hi ) и применим к ней лемму Болсинова 1.4.1.Разберем каждый случай в отдельностиКоммутативный идеал. Пусть в алгебре gi /zi существует коммутативный идеал. Это означает, что в линейном пространстве gi существует такойкоммутативный линейно независимый над полем K(hi ) набор полиномовf1 , f2 , ..., fk ,что линейные комбинацииf1 f2fk, , ...,zi ziziс коэффициентами из hi образуют коммутативный идеал в gi /zi . На этомшаге к уже существующем коммутативному набору полиномов добавляетсяk полиномов f1 , f2 , ..., fk .Теперь еслиdimK(hi ) gi /zi = k(фактически это означает, что алгебра gi /zi коммутативна), тогда на этомпроцедура метода Садэтова заканчивается. Полный коммутативный набор37полиномов построен. В противном случае, еслиdimK(hi ) gi /zi > k,процедура метода Садэтова продолжается, и следует указать, как строитсяновая тройка (zi+1 , hi+1 , gi+1 ).
Тогдаhi+1 = K[hi , f1 , f2 , ..., fk ]будет коммутативной подалгеброй пуассоновой алгебры K[g]. Определим gi+1как множество линейных комбинаций элементов gi с коэффициентами из hi+1 ,коммутирующих с hi+1 . Многочлен zi не изменяется:zi+1 = zi .Идеал Гейзенберга. Пусть алгебра gi /zi имеет идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда в линейном пространстве gi можно выделить такие2m + 1 полином e, v1 , v2 , ..., v2m , что+*v2mv1 v2, , ...,образуют базис в V ,1.zi zizi* +e2.zi— центр идеала Гейзенберга hm .Пространство V является 2m-мерным симплектическим с симплектической формой ω.
Выделим в нем максимальное изотропное подпространство,натянутое на некоторые линейно независимые вектораpmp1 p 2, , ...,,zi ziziгде полиномы p1 , p2 , ..., pm ∈ gi . На этом шаге метода Садэтова к уже существующему коммутативному набору полиномов добавляется m + 1 полином:e, p1 , p2 , ..., pm .38Теперь еслиdimK(hi ) gi /zi = 2m + 1(фактически это означает, что идеал Гейзенберга hm совпадает со всей алгеброй gi /zi ), тогда на этом процедура метода Садэтова заканчивается. Полныйкоммутативный набор полиномов построен. В противном случае, еслиdimK(hi ) gi /zi > 2m + 1,процедура метода Садэтова продолжается, и следует указать, как строится новая тройка (zi+1 , hi+1 , gi+1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
