Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

гамильтоновыуравнения принимают видṡi = 0, φ̇i = qi (s1 , ..., sn ), i = 1, 2, ..., n.Это означает, что на каждом торе поток v задает условно периодическое движение, а траектории являются прямолинейнымиобмотками тора (рациональными или иррациональными).В частности, слоение Лиувилля в некоторой окрестности U тора ЛиувилляT n тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произведению тора T n на дискDn . Доказательство теоремы можно найти, допустим, в [21].1.1.3Типы эквивалентности интегрируемых гамильтоновых системВ теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновыхсистем традиционно рассматривают несколько типов их изоморфизмовОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.3 Две интегрируемы гамильтоновы системы (M1 , v1 )и (M1 , v1 ) лиувиллево эквивалентны, если существует диффеоморфизм φ :M1 → M2 , переводящий слои Лиувилля одной системы в слои другой.Это отношение эквивалентности можно несколько ослабить.

В результатеполучается понятие грубой лиувиллевой эквивалентности.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.4 Две интегрируемы гамильтоновы системы (M1 , v1 )и (M1 , v1 ) грубо лиувиллево эквивалентны, если существует гомеоморфизм15между базами слоений Лиувилля, который локально (т.е.

в окрестности каждой точки) поднимается до послойного гомеоморфизма слоений Лиувилля.1.2Грубые топологические инварианты интегрируемыхгамильтоновых систем с двумя степенями свободыДалее будем рассматривать лишь системы с двумя степенями свободы, т.е.в обозначениях выше n = 2. В таком случае для интегрируемости по Лиувиллю гамильтоновой системы sgrad H на M4 достаточно существования всегоодного дополнительного первого интеграла F , функционально независимогос H.1.2.1Изоэнергетические поверхностиИзоэнергетической поверхностью называется трехмерное многообразиеQ3h = {x ∈ M2n |H(x) = h}.Сразу ограничимся рассмотрением лишь тех h, при которых, во-первых, Q3hкомпактно, а во-вторых, dH 6= 0 на Q3h . Тем самым, мы гарантируем, что Q3h— гладкое трехмерное многообразие, а векторное поле v = sgrad H нигде наQ3h не обращается в ноль.Продифференцируем гамильтониан H вдоль кососимметрических градиентов функций H и F(sgrad H)(H) = {H, H} = 0, (sgrad F )(H) = {F, H} = 0.Значит, на неособой изоэнергетической поверхности можно рассматриватьдва касательных векторных поля v = sgrad H и w = sgrad F .ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.1 Точку x ∈ Q3 будем называть критической, если16в ней поля sgrad F и sgrad H линейно зависимыsgrad F = λsgrad H.Следует отметить, что особые поверхности уровня отображения момента— это в точности те поверхности, на которые попали критические точки.Теорема Лиувилля к таким поверхностям не применима.Ограничим интеграл F на изоэнергетическую поверхностьF̂ = F |Q3h .Для топологического исследования интегрируемого случая с двумя степенями свободы полезно следующее утверждение:УТВЕРЖДЕНИЕ 1.2.1 [21, том 1, глава 1] Функция F̂ не может иметьизолированных критических точек на неособой изоэнергетической поверхности Q3h .

Критические точки F̂ организованы в критические траектории.Каждая критическая траектория проектируется в одну точку на бифуркационной диаграмме. Параметр λ пропорциональности sgrad F и sgrad Hпостоянен вдоль критической траектории.Доказательство Утверждения. Введем такие локальные координаты на 4-мерном многообразии x1 , x2 , x3 , x4 , в которых sgrad H = (1, 0, 0, 0).Тогда поскольку F и H коммутируют, получаем{F, H} =∂H∂F= 0, {H, H} == 0,∂x1∂x1т.е.F = F (x2 , x3 , x4 ),H = H(x2 , x3 , x4 ).Теперь понятно, что если градиенты F и H пропорциональны с некоторымкоэффициентом пропорциональности λ, тогда они будут пропорциональны и17в точке, сдвинутой вдоль первой координатной оси, то есть вдоль интегральной траектории гамильтонова поля с тем же коэффициентом пропорциональности.Утверждение доказано.

Функция F̂ является гладкой на изоэнергетической поверхности Q3 . Множество критических точек функции F̂ на Q3 будет совпадать с множествомкритических точек в смысле определения 1.2.1. Как отмечено в предыдущемутверждении, критические точки на Q3 не могут быть изолированными. Поэтому предположение о том, что F̂ является функцией Морса бессмысленно.Однако, в случае динамических систем существует естественный аналог этогопонятия.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.2 Функция F̂ называется функцией Ботта на многообразии Q3h , если все ее критические точки организованы в критическиеподмногообразия.Это означает, что множество критических точек является несвязным объединением некоторых гладких подмногообразий, причем каждое из них невырождено в следующем смысле.

Второй дифференциал d2 F̂ невырожден наподпространстве, трансверсальном к подмногообразию (в каждой его точке).Другими словами, ограничение функции F̂ на трансверсаль к подмногообразию является функцией Морса.УТВЕРЖДЕНИЕ 1.2.2 [21, том 1, глава 1] Связные критические подмногообразия интеграла F̂ на Q3h диффеоморфны либо окружности, либо тору,либо бутылке Клейна.Таким образом критические подмногообразия устроены очень просто. Далее в тексте диссертации будут рассматриваться интегрируемые системы, не18содержащие критических торов и бутылок Клейна.

Так, исходя из компактности Q3 , в случае боттовского дополнительного интеграла множество критических точек организовано в набор конечного числа критических окружностей.Каждая такая критическая окружность является периодической траекториейполя sgrad H.Рис.

1.1: Окрестности точек невырожденных критических окружностей на изоэнергетических поверхностяхНе сложно показать, что сигнатура гессиана F̂ на Q3 одинакова для всехточек на критической окружности. Поэтому для проверки невырожденноститочки на критической окружности достаточно проверить невырожденностьвсего одной точки. Так же можно ввести индекс критической окружности— это количество отрицательных собственных значений d2 F̂ в какой-нибудьточке на этой окружности.В боттовском случае слоение Лиувилля в трехмерной окрестности нестационарной для поля v критической точки устроено очень просто. С точностьюдо гомеоморфизма существует лишь два типа таких слоений (см.

рис. 1.1).Окрестность имеет тип а), если два ненулевых собственных значения d2 F̂одного знака, и тип б), если — разного.Соответственно, невырожденные критические окружности будем называтьустойчивыми, если два ненулевых собственных значения d2 F̂ одного знака,19и неустойчивой, если — разного. Тогда решения, отвечающие устойчивым инеустойчивым критическим окружностям, будут соответственно орбитальноустойчивыми и неустойчивыми.1.2.2Бифуркационная диаграмма и бифуркационный комплексРассмотрим отображение момента. Оно определяется следующим образомH × F : M4 → R2 (h, f ).(1.2.1)Бифуркационной диаграммой называют образ критических точек этого отображения. Иногда в литературе бифуркационную диаграмму называют диаграммой Смейла. Обычно, бифуркационная диаграмма состоит из наборакривых и изолированных точек.

Отметим, что изоэнергетические поверхности при таком отображении переходят в прямые.Для более наглядной визуализации структуры критических точек рассмотрим отображение момента (1.2.1) и двумерный комплекс K, точками которого являются отдельные компоненты связности прообразов отображениямомента, т. е. множеств (H × F )−1 (y), где точка y ∈ R2 пробегает H × F (M4 )(т.

е. образ M4 на плоскости R2 ).ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.3(А.Т.Фоменко [22]) Комплекс K называется бифуркационным комплексом для интегрируемой системы (1.1.1).Следует отметить, что в нерезонансном случае бифуркационный комплексне зависит от выбора интегралов, а определяется лишь векторным полемsgrad H. Этот факт не очевиден, однако несложно вытекает из фундаментальных теорем симплектической геометрии. Обобщение понятия бифуркационного комплекса на случай интегрируемых гамильтоновых систем с большими степенями свободы, а также основные свойства этого комплекса изло20жены в работе [23].Обычно, многообразие M4 задается в виде регулярной поверхности уровнянекоторых гладких функций I1 , I2 ,:M4 = {x ∈ R6 |I1 (x) = c1 , I2 (x) = c2 }.При этом H и F заданы как гладкие функции в R6 .

Тогда критические точкиотображения (1.2.1) можно найти следующим способом. Находим множествокритических точек отображенияH × F × I1 × I2 : R6 → R4 ,и пересекаем это множество с M4 . Получаем в точности множество критических точек отображения (1.2.1).1.2.3Структура критических точек на изоэнергетической поверхности и понятие грубой молекулыДополнительный интеграл F определяет слоение Лиувилля на изоэнергетической поверхности Q3 . База этого слоения представляет собой некоторыйграф Γ(Q3 ).

При этом, согласно теореме Лиувилля, каждой точке ребер этогографа соответствует один тор Лиувилля, вершинам — соответствуют связныеособые слои (см. рис. 1.2 :).Рис. 1.2: База слоения Лиувилля на изоэнергетической поверхностиОчевидно, что графы вида Γ(Q3 ) получаются как «сечения» бифуркационного комплекса K, а именно Γ(Q3 ) = (H × F )−1 (l), где прямая l ⊂ R221задается уравнением H = λ = const. Меняя число λ, мы меняем граф Γ(Q3 ),который заметает при этом весь комплекс K.

С этой точки зрения топологический инвариант {Γ(Q3 )} состоит из всех типов сечений комплекса K.Оказывается, что в боттовском случае с точностью до Лиувиллевой эквивалентности существует лишь конечное число возможных перестроек (бифуркаций), если фиксировано количество критических окружностей на сингулярном слое.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.4 (А.Т.Фоменко) Класс Лиувиллевой эквивалентности окрестности особого слоя слоения Лиувилля называется 3-атомом.Фактически, 3-атом — это трехмерное многообразие со структурой слоенияЛиувилля. Это многообразие содержит ровно один сингулярный слой. Граница состоит из конечного числа торов. Количество критических окружностейна сингулярном слое называется сложностью атома. В книге А.В.Болсиноваи А.Т.Фоменко [21] изложена классификация всех возможных 3-атомов в зависимости от их сложности.

Три наиболее встречающихся атома обозначаютбуквами A, B и A∗ (см. рис. 1.3). Как видно, все три атома имеют сложностьодин.Рис. 1.3: 3-атомы.Если каждой вершине графа, отвечающему слоению Лиувилля, сопоста22вить подходящий 3-атом, то получим грубую молекулу слоения Лиувилля.Грубая молекула несет информацию о слоении Лиувилля и позволяет локально восстановить структуру вблизи как регулярных, так и сингулярныхслоев. Справедлив следующий результат.ТЕОРЕМА 1.2.1 (А.Т. Фоменко [21, том 1, глава 3]) Две интегрируемые гамильтоновы системы (Q31 , v1 ) и (Q32 , v2 ) с боттовскими интеграламиF1 и F2 грубо лиувиллево эквивалентны в том и только в том случае, когдаих грубые молекулы совпадают.1.2.4Склейка изоэнергетических поверхностей из 3-атомов3-атомы описывают структуру слоения Лиувилля в окрестности особогослоя.

Все многообразие Q3 представляется в виде объединения 3-атомов. Длятого, что бы восстановить структуру слоений глобально на всем Q3 , необходимо указать гомеоморфизмы, по которым склеиваются границы этих 3-атомов.Если на всех граничных торах 3-атомов указать по паре базисных циклов,то склеивающий гомеоморфизм будет задаваться целочисленной матрицей2 × 2 с определителем ±1.

Однако, базисные циклы можно выбрать многимиразными способами.Оказывается, для каждого 3-атома можно определить по одному каноническому базисному циклу на каждом его граничном торе. В случае атома Aэто цикл, который стягивается при приближении к критической окружности.Для седлового атома B этот цикл изотопен критической окружности.Выделить второй базисный цикл таким же каноническим способом уже неудается. Поэтому ограничиваются выбором сразу множества циклов, обладающих некоторыми общими свойствами.

Характеристики

Список файлов диссертации