Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Для этого воспользуемся леммой 1.4.2. Согласно ей, в линейном пространстве gi можно выделить такие k полиномовf1 , f2 , ..., fk , что+*fke f1 f2образуют базис в b,, , , ...,1.zi zi zizi2. dimK(hi ) gi /zi = dimK(hi ) hv1 , v2 , ..., v2m , f1 , f2 , ..., fk , ei = 2m + k + 1.В таком случае коммутативный идеал hi не изменяется:hi+1 = hi .Полином zi умножается на полином e:zi+1 = zi e.А линейное подпространство gi+1 ⊂ K[g] определяется как множество линейных комбинаций многочленовvj vs , f1 e, f2 e, ..., fk e,j, s = 1, 2, ..., 2mс коэффициентами из hi , коммутирующих с v1 , v2 , ..., v2m .Полупростая плюс поле.

Пусть алгебра gi /zi представляется в видеl ⊕ K(hi ),39где l — полупростая алгебра Ли над полем K(hi ). Тогда можно выделитьполиномы f, f2 , f3 , ..., fk ∈ gi , что* + *+fkff f2 f3, , , ...,,zizi zi zizi— два идеала в gi /zi . Причем первый из них коммутативный, а второй —полупростой, и* +fgi /zi =zi*⊕fkf f2 f3, , , ...,zi zi zizi+.Тогда к существующему коммутативному набору следует добавить полиномf . Процедура Садэтова на этом шаге не заканчивается. Новая тройка (zi+1 ,hi+1 , gi+1 ) строится естественным образом.hi+1 = hi ,zi+1 = zi ,а gi+1 — подпространство gi , порожденное линейными комбинациями полиномов hf2 , f3 , ..., fk i с коэффициентами из K(hi ).Полупростой случай. Пусть алгебра gi /zi полупроста.

В таком случаек алгебре gi /zi остается применить метод сдвига аргумента. А именно, пустьf1 , f2 , ..., fkтакие полиномы из gi , что наборfkf1 f2, , ...,zi ziziобразуем базис в gi /zi . Применяя в этом базисе метод сдвига аргумента, получаем коммутативный набор полиномов F1 , F2 , ..., Fq в двойственном пространстве (gi /zi )∗ в количествеq=ind K(hi ) gi /zi + dimK(hi ) gi /zi240штук.

В таком случае к уже существующему набору полиномов добавляютсядробиF1fkf1 f2, , ...,zi zizi, F2fkf1 f2, , ...,zi zizi, ..., Fqfkf1 f2, , ...,zi ziziпомноженные на соответствующую степень zi , что бы избавиться от знаменателя. На этом шаге процедура метода Садэтова всегда заканчивается.Итак, метод Садэтова поиска полных коммутативных наборов в пуассоновых алгебрах полностью описан. Обоснование этого метода можно найти вработе [28].41Глава 2Случай Дуллина-МатвееваГлава посвящена исследованию топологии слоений Лиувилля случая интегрируемости Дуллина–Матвеева. Найдено множество критических точекгамильтониана, вычислены типы изоэнергетических поверхностей, проверены условия невырожденности и найдены типы невырожденных точек пуассонова действия, исследовано отображение момента и построена бифуркационная диаграмма.

Методом компьютерного моделирования установлено условиеботтовости, найдены индексы критических окружностей, типы перестроек,бифуркационный комплекс, грубые и меченые молекулы слоенний Лиувилляизоэнергетических поверхностей. В итоге практически завершены грубая итонкая лиувиллевы классификации этого интегрируемого случая.2.1Интегрируемый случайВ своей работе [29] Х.Р.Дуллин и В.С.Матвеев выписали новый интегрируемый случай на одной из орбит коприсоединенного действия группы E(3),а именно на многообразииM4 = {r12 + r22 + r32 = 1, S1 r1 + S2 r2 + S3 r3 = 0}42в координатах, описанных выше (см.

параграф 1.3). Новая система зависитот двух параметров c, s ∈ R, где s > 1. Гамильтониан H и дополнительныйпервый интеграл F задаются формуламиr1c+,H := 21 (S12 + S22 + (1 + G(r3 ))S32 ) − pW (r3 ) W (r3 )F := 2HS3 − S33 +(2.1.1)(r1 S3 + 2W (r3 )S1 )p,W (r3 )гдеW (z) = z + s, P (z) = 3z 2 + 4sz + 1, G(z) =P (z)(2W (z))2.Следует особо отметить, что случай Дуллина-Матвеева имеет интегралтретьей степени по импульсам. И как показал А.В.Цыганов [30], данная система тесно связана с классическим cлучаем Горячева-Чаплыгина [31]. В своей работе А.В.Цыганов описал все интегрируемые гамильтоновы системы наM4 , для которых гамильтониан и дополнительный первый интеграл представляются в видеHц = S12 + S22 + (3α2 + f (r3 ))S32 + m(r3 )r1 + g(r3 ),Fц = −2αS3 (−α2 S32 + S12 + S22 + f (r3 )S32 + g(r3 )) − n(r3 )S1 − l(r3 )r1 S3 ,Здесь α ∈ R, f (·), m(·), g(·), n(·), l(·) — гладкие функции.

Имеет место следующий результатТЕОРЕМА 2.1.1 (А.В. Цыганов [30]) Гамильтониан Hц и дополнительный интеграл Fц коммутируют относительно скобки Пуассона e(3)∗ намногообразии M4 тогда и только тогда, когда имеет место следующеедифференциальное уравнение на n(·)43zn0 (z) − n00 (z)(1 − z 2 )+24α2 − 9 = 15n000002003zn (z) − n (z)(1 − z ) n(z)n (z)+9−+n0 (z)n0 (z)20000000200 5zn (z) − n (z)(1 − z ) + 3n (z)+n ,n0 (z)2(2.1.2)а все остальные функции, входящие в определение интегралов Hц и Fц ,имеют видn0 (z)n(z)n00 (z), m(z) = −, l(z) =,g(z) =n(z)2αn0 (z)d2f (z) = 1 − 3α − α3zm(z) − 2(1 − z 2 )m0 (z)n(z)zl(z) − (1 − z 2 )l0 (z)+n(z)для некоторого d ∈ R.Теорема А.В.Цыганова показывает, что случай Горячева-Чаплыгина и Дуллина -Матвеева лежат в одном семействе интегрируемых гамильтоновых систем.

Действительно, частное решение системы (2.1.2) n(z) = cz, α = ±1, c ∈R соответствует интегрируемому случаю Горячева-Чаплыгина, а частное ре√шение n(z) = c z + s, α = ±1, s > 1, c ∈ R соответствует случаю ДуллинаМатвеева.Во избежание громоздкости формул этой главы вместо выражений G(r3 ),G0 (r3 ) и W (r3 ) иногда будем просто писать G, G0 и W .2.2Топология изоэнергетических поверхностейОдним из результатов данной работы является следующее утверждение44ТЕОРЕМА 2.2.1 Множество критических точек гамильтониана H случая Дуллина-Матвеева на многообразии M4 можно представить в видеr2 = 0,S1 = S2 = S3 = 0,2cr12pr+2rW(r)−= 0.33 1W (r3 )В случае c = 0 система Дуллина-Матвеева сильно упрощается, и поэтомупри c = 0 верно более сильное утверждение1) Интеграл энергии H на M4 имеет только два критических значенияq√h1 = − 2(s − s2 − 1),q√h2 = 2(s − s2 − 1).2) Критические точки ξ1 и ξ2 , отвечающие критическим значениям h1и h2 , обе невырождены, то есть интеграл энергии H на M4 являетсяфункцией Морса.3) Критические точки ξ1 и ξ2 являются точками ранга ноль отображения момента.4) Критическая точка, отвечающая значению h1 , — точка глобальногоминимума.5) Критическая точка, отвечающая значению h2 , — седловая точка индекса 2.6) Неособые изоэнергетические поверхности Q3h диффеоморфны трехмерной сфере S 3 при h ∈ (h1 , h2 ), и RP 3 при h > h2 .

При h < h1 Q3h пусто.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Точки многообразия M4 , где зависимы градиенты функций H, I1 и I2 как функций в объемлющем пространстве R6 (S, r),45являются критическими точками гамильтониана. Выпишем таблицу градиентов функций H, I1 и I2H : S1 S2 (1 + G)S3I1 :000I2 : r1r2r311r1c0 2√√−0G S3 +−2W2W W W 22r12r22r3S1S2(2.2.1)S3В предположении, что r2 6= 0, вычтем из третьей строчки вторую с коэффициентом S2 /2r2 , тогда зависимость строк таблицы (2.2.1) будет эквивалентазависимости строк таблицы (2.2.2)S1 S2 (1 + G)S3r1r2r3r1c11√ − 2−√G0 S32 +2W2W W Wr1r3S1 − S2S3 − S2r2r2(2.2.2)Определитель первого и второго столбцов последней таблицы должен равняться нулю, поскольку две строчки зависимы.

То есть S1 r2 − S2 r1 = 0. Следовательно, определитель 2-ого и 4-ого столбцов не равен нулю. При r2 6= 0получили противоречие с зависимостью строк.Если предположить, что r2 = 0, S2 6= 0, то из второго и пятого столбцатаблицы (2.2.1) видно, что вторая строчка должна быть нулевой. Что невозможно, так как r12 + r22 + r32 = 1.В случае r2 = 0, S2 = 0 из таблицы (2.2.1) можно выкинуть второй и пятыйстолбцы:1 0 22 G S3S1 (1 + G)S3 − √1W+r√12W W00r1r3r1r3S1S3−cW2(2.2.3)Если r1 = 0, тогда из равенств I1 = 0, I2 = 0 получаем r3 = ±1, S3 = 0.Из первого столбца таблицы (2.2.3) следует, что S1 = 0, поскольку вторая и46третья строчка таблицы (2.2.3), так же как и вторая и третья строчка таблицы (2.2.1), нигде не зависимы на всем фазовом пространстве. Определительвторого, третьего и четвертого столбцов таблицы (2.2.3) равенr32− √ 6= 0,Wт.е.

строчки не зависимы. Получили противоречие.Итак, остается следующее единственное допустимое соотношение на переменные: r2 = 0, S2 = 0, r1 6= 0. Упрощаем таблицу (2.2.3):G0 S32r3cr1√ + √ − 222W W r1 W Wr3r1r3S3 − S1r1Зависимость строк таблицы (2.2.4) эквивалентна системеS1 (1 + G)S3+(2.2.4)r12 + r32 = 1,r1 S1 + r3 S3 = 0, 1+ G S3 = 0,21 − r3r12r3cr1r1 G0 S32√ + √ − 2 + GS1 S3 = 0.+22W WW WИли уже в упрощенном виде:S1 = S2 = S3 = 0,r2 = 0,(2.2.5)2cr12r1 + 2r3 W − √ = 0.WТеперь разберемся только с частным случаем, когда c = 0. Получаем двекритические точкиξ1,2 = (0, 0, 0, ±r10 , 0, r30 ),47гдеp√2 + 2s s2 − 1 − 2s2 ,√r30 = −s + s2 − 1.r10 =Для обеих точек выполнено r2 = 0. Легко проверить, что в точках ξ1 и ξ2градиенты функций F, I1 и I2 линейно зависимы.

Следовательно,grad (H|M4 )|ξi = grad (F |M4 )|ξi = 0для обеих точек, и ранг отображения момента в этих точках равен нулю. Далее, подставляя точки в гамильтониан, получаем два критических значения.Следующая лемма полезна для поиска индексов критических точек. Подd2 K будем понимать гессиан функции K, то есть матрицу вторых частныхпроизводных.ЛЕММА 2.2.1 [21, том 2, лемма 5.1] Пусть для точки ξ0 ∈ M4 выполненоусловиеgrad H|ξ0 = λ1 grad (I1 )|ξ0 + λ2 grad (I2 )|ξ0 .Тогда квадратичная форма, определяемая гессианом функцииe = H|M4Hв точке ξ0 , является ограничением формы, определяемой матрицейG = d2 H − λ1 d2 I1 − λ2 d2 I2 ,на касательное пространство Tξ0 M4 .Продолжим доказательство теоремы.

В обеих критических точках выполнено следующее равенствоgrad (H) = λgrad (I1 ), где λ = −481p.2r1 W (r3 )Воспользуемся леммой 2.2.1. В координатах S1 , S2 , S3 , r1 , r2 , r3 получаем100d2 H = 000010000 1+G0000000000000001√02W W00 0 000 0 000 0 0 21 , d I1 = √0 0 02W W 0 0 003r1 0 0 0√−4W 2 W0 0 00 00 02 00 20 000.002В касательном пространстве к M4 в точках ξi векторыe(1)   0 0−r30 0   0 0 0 1     0 0 r1 0 (3)   (4)  =   , e(2) = ,,e =  ,e = −r 0 0 0 30      0 1 0 0    r1000e в этом базисе примет вид:можно взять за базис.

Тогда матрица d2 H000 112 0 r1 +G0021−r32ed H=(2.2.6).1√00 0r1 Wr1 √000WИтак, в точках ξ1 и ξ2 определитель матрицы (2.2.6) не равен нулю, значит, обе критические точки ξ1 и ξ2 невырождены. При этом, ξ1 — локальныйминимум, ξ2 — седло индекса 2. Следовательно, для любого h из (h1 , h2 ) изо49энергетическая поверхность Q3h диффеоморфна S 3 , как поверхность уровняфункции Морса вблизи точки локального минимума.Теперь рассмотрим Q3h при h > h2 . Заменим G(r3 ) на tG(r3 ), тем самымвведем еще один параметр t ∈ [0, 1].

Тогда критические значения новогогамильтониана будут те же — h1 и h2 . Потому что при подсчете критических значений исходного гамильтониана от функции G(r3 ) нам потребовалосьтолько одно свойство1+ G > 0,1 − r32а оно сохранится после введения параметра. Следовательно, неособые компактные поверхности в M4 ,{χ ∈ M4 |Ht (χ) = h},диффеоморфны при t ∈ [0, 1]. При t = 1 получаем Q3h , а при t = 0 новуюповерхность, которая задается системой уравнений:2r1222√=2h++S+SS,32 1Wr1 S1 + r2 S2 + r3 S3 = 0,r12 + r22 + r32 = 1.Если взятьh>rp 1max(),r12 +r22 +r32 =1W (r3 )то гладкой заменой→−S →h+ pr1W (r3 )→−Sh50получаем еще одну поверхностьS12 + S22 + S32 = 2h,r1 S1 + r2 S2 + r3 S3 = 0,r2 + r2 + r2 = 1.123Последняя поверхность уже диффеоморфна RP 3 , а значит, и изоэнергетическая поверхность Q3h при h > h2 диффеоморфна RP 3 .

Характеристики

Список файлов диссертации