Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем (1105046), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вместе с первым базисным цикломони образуют так называемую допустимую систему координат на гранич23ном торе 3-атома. Более точное определение можно найти в [21].Группа замен координат в классе допустимых имеет не сложную структуру.
Инвариантами действия этой группы на матрицы склейки являютсячисловыми метками r, ε и n. Они могут быть легко вычислены по этим матрицам. Метки r и ε расставляются на каждом ребре молекулы. Метка n ставится сразу на группе атомов, называемых семьей.Числовые метки имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Допустим, метка r ∈ {Q ∩ [0, 1) ∪ ∞} на ребре определяет беззнаковый индекспересечения однозначно определенных базисных циклов бифуркаций, которые соединяются этим ребром. Метка ε ∈ {1, −1} отвечает за ориентацию.Если r = ∞, то первые базисные циклы изотопны вдоль ребра с точностьюдо ориентации. Эти циклы сонаправлены, если ε = 1, и противоположно направлены, если ε = −1. Смысл метки n ∈ Z более сложный.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.5 Грубая молекула W , снабженная метками ri , εi иni называется инвариантом Фоменко-Цишанга или просто меченой молекулой.ТЕОРЕМА 1.2.2 (Фоменко, Цишанг [21, том 1, глава 4]) Две интегрируемые гамильтоновы системы (Q31 , v1 ) и (Q32 , v2 ) лиувиллево эквивалентны в том и только в том случае, когда их меченые молекулы совпадают.1.2.5Типы невырожденных точек ранга нольПо определению выше точка M4 называется критической, если в ней рангдифференциала отображения (1.2.1) меньше двух.
Среди таких точек особый интерес представляют те, где ранг этого дифференциала равен нулю. Вневырожденном случае (определение невырожденности будет дано ниже) с24точностью до гомеоморфизма существует лишь конечное число типов слоений Лиувилля 4-мерных окрестностей таких точек.Пусть на симплектическом многообразии M4 задана интегрируемая система с гамильтонианом H и дополнительным интегралом F , а точка ξ ∈ M4такая, чтоdH(ξ) = dF (ξ) = 0.Оператор A : Tξ M4 → Tξ M4 называется симплектическим, если он сохраняет форму ω|ξ .
В локальных координатах это эквивалентно условиюAT Ω + ΩA = 0,где Ω — матрица формы ω|ξ . Множество всех симплектических операторовобразует алгебру Ли sp(4, R). На Tξ M4 можно корректно определить двасимплектических оператораAH := Ω−1 d2 (H|ξ ), AF := Ω−1 d2 (F |ξ ),порождающих в sp(4, R) некоторую коммутативную подалгебру K(H, F ).ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.6 Точка ξ ранга ноль отображения момента называется невырожденным, если подалгебра K(H, F ) является картановскойподалгеброй в sp(4, R).Укажем эффективный способ проверки картановости подалгебры K(H, F ).Коммутативная подалгебра sp(4, R) является картановской тогда и толькотогда, когда она двумерна, и среди ее элементов найдется линейный оператор с попарно различными собственными значениями.
Итак, сначала надоубедиться, что операторы AH и AF линейно независимы, и затем проверить,что некоторая линейная комбинацияλAH + µAF25имеет попарно различные собственные значения (такой элемент называетсярегулярным элементом sp(4, R)).Собственные значения операторов из sp(4, R) разбиваются на пары видаλ, −λ. Поэтому невырожденные точки ранга ноль можно классифицироватьпо типу собственных значений регулярного элемента в подалгебре КартанаK(H, F ) :1) центр-центр — чисто мнимые корни iA, −iA, iB, −iB;2) центр-седло — два вещественных и два мнимых корня −A, A, iB, −iB;3) седло-седло — вещественные корни −A, A, −B, B;4) фокус-фокус — чисто комплексные A − iB, A + iB, −A + iB, −A − iB.Зная тип невырожденной точки ранга ноль, можно многое сказать о топологии слоения Лиувилля в его окрестности U 4 .ТЕОРЕМА 1.2.3 (Рюссман [24]) Пусть многообразие M4 , симплектическая структура ω и функции H и F являются вещественно - аналитическими.
Тогда в окрестности невырожденной особой точки ранга нольξ ∈ M4 всегда существуют канонические координаты (p1 , q1 , p2 , q2 ), в которых функции H и F одновременно приводятся к одному из следующихвидов:1) случай центр-центр:H = H(p21 + q12 , p22 + q22 ),F = F (p21 + q12 , p22 + q22 ),2) случай центр-седло:H = H(p1 q1 , p22 + q22 ),F = F (p1 q1 , p22 + q22 ),263) случай седло-седло:H = H(p1 q1 , p2 q2 ),F = F (p1 q1 , p2 q2 ),4) случай фокус-фокус:H = H(p1 q1 + p2 q2 , p1 q2 − p2 q1 ),F = F (p1 q1 + p2 q2 , p1 q2 − p2 q1 ).Теорему Рюссмана можно найти в [21, том 1, глава 1].Особенность центр-центр. Используем эту теорему для описания топологии слоений Лиувилля в окрестности точки центр-центр.
А именно, мыхотим найти естественно связанную с системой пару циклов на неособых торах Лиувилля в U 4 . Введем две функцииr1 = ±(p21 + q12 ), r2 = ±(p22 + q22 ).(1.2.2)Знаки ±1 зададим позже. Тогда H = H(r1 , r2 ), F = F (r1 , r2 ) иsgrad H =∂H∂Hsgrad r1 +sgrad r2∂r1∂r2(1.2.3)в окрестности U 4 . Множество критических точек — точек, где зависимы градиенты функций H и F — локально состоит из объединения пары двумерныхплоскостейr1 = 0 и r2 = 0.Векторные поля sgrad r1 и sgrad r2 коммутируют, независимы, их траектории периодичны — и поэтому задают циклы λ1 и λ2 на неособых торахЛиувилля.
При приближении к плоскости r2 = 0 поле sgrad r2 обнуляется, ацикл λ1 стягивается в точку. А при приближении к плоскости r1 = 0 обнуляется поле sgrad r1 , и цикл λ2 стягивается в точку. Так, на плоскости r2 = 0параллельными будут поля sgrad H и sgrad r1 , а на плоскости r1 = 0 — поляsgrad H и sgrad r2 .27Теперь сделаем предположение, что в U 4 всего одна неподвижная точкавекторного поля sgrad H, и она совпадает с точной центр-центр. Выберемзнаки ±1 в (1.2.2) так, что бы пары полей sgrad H, sgrad r1 и sgrad H, sgrad r2были сонаправленными на плоскостях r2 = 0 и r1 = 0 соответственно. Чтоэквивалентно условию∂H|r =0 > 0,∂r1 2(1.2.4)∂H|r =0 > 0.∂r2 1Итак, на неособых торах в U 4 выделена пара циклов λ1 , λ2 .
При этом,во-первых, циклы λ1 , λ2 образуют базис фундаментальной группы торов. Вовторых, цикл λ1 стягивается в точку при приближении к плоскости r2 = 0,цикл λ2 стягивается в точку при приближении к r1 = 0. И в-третьих, полеsgrad H задает ориентации циклов λ1 и λ2 на плоскостях r2 = 0 и r1 = 0соответственно. Пара циклов λ1 , λ2 в окрестности точки центр-центр с такимисвойствами определена однозначно.ЛЕММА 1.2.1 Пусть регулярный тор в U 4 резонансен.
Тогда траекторииполя sgrad H задают некоторый цикл λ. Этот цикл можно разложить поλ1 и λ2 .λ = a1 λ1 + a2 λ2 ,где a1 , a2 ∈ Z. Тогда либо a1 > 0, либо a2 > 0.Доказательство Леммы. Поскольку sgrad r1 и sgrad r2 оба периодичны с периодиом 2π, из (1.2.3) получаемλ=α∂H∂Hλ1 + αλ2 .∂r1∂r2Для некоторого α > 0. При этом должно получитьсяα∂H ∂H,α∈ Z.∂r1 ∂r228Поскольку точка центр-центр невырождена, значит∂H∂H|r1 =0,r2 =0 6= 0 либо|r =0,r =0 6= 0.∂r1∂r2 1 2Пусть для определенности верно первое неравенство.
Тогда ввиду (1.2.4)∂H|r =0,r =0 > 0.∂r1 1 2Значит, можно считать, что во всей окрестности U 4 имеет место∂H∂H> 0 =⇒ a1 = α> 0.∂r1∂r1Лемма доказана. Особенность фокус-фокус. Опишем слоение Лиувилля в окрестностиособого слоя типа фокус-фокус. Разберем самый простой случай, когда наособом слое лежит всего одна точка ранга ноль. В таком случае особый слойможно представить себе в виде тора с одной перетяжкой.На торах, проходящих вблизи особой точки фокус-фокус можно выделитьнекоторый замечательный цикл λ: этот цикл стягивается в точку при приближении к особому слою [21, том 1, глава 9] (см. рис.
1.4).Рис. 1.4: Стягивающийся цикл в окрестности точки фокус-фокусБифуркационная диаграмма отображения момента вблизи особого слояфокус-фокус состоит из одной точки. Выберем тор вблизи особой точки, идополним цикл λ до базиса некоторым циклом µ. Рассмотрим круговую молекулу особенности. При движении точки по плоскости R2 (h, f ) циклы течет29по торам. И обход вдоль круговой молекулы задает нетривиальный диффеоморфизм тора на себя, тем самым перестраивая циклы. Однако существуетунимодулярная целочисленная матрица перехода (матрица монодромии), выражающая образы циклов λ, µ через λ, µ.ТЕОРЕМА 1.2.4 [25] Пусть на особом слое лежит всего одна точка типафокус-фокус.
Тогда матрица монодромии имеет вид1 0,±1 1где знак ±1 зависит от направления обхода по круговой молекуле и выбораориентации на цикле λ.Доказательство теоремы можно найти в [21, том 1, глава 9]. Так, из теоремы можно сделать два наблюдения. Во-первых, цикл λ сохраняется примонодромии.
А во-вторых, если для некоторого цикла λ1 его индекс пересечения с λ равен одному, тогда при монодромии цикл λ1 перейдет в циклλ1 ± λ.1.31.3.1Гамильтоновы системы в механикеФазовое пространствоМногие задачи механики можно представить в виде гамильтоновых насимплектических многообразиях. При этом в качестве симплектических многообразий выступают орбиты коприсоединенного действия группы Ли надвойственном пространстве к их алгебре Ли.Рассмотрим произвольную конечномерную группу Ли G и ее алгебру Лиg. Двойственное пространство g∗ снабжено структурой Пуассона-Ли. Пусть30f, g : g∗ :→ R — произвольные гладкие функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
