Методы анализа и идентификации неопределенных моделей эксперимента (1103509), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Качество αA процесса синтеза охарактеризовано в терминах вероятности ошибочного решения при оценивании оператора A истинной модели измерений по методу максимальной надежности:Aα = sup Pr arg max αAe(ξ) 6= A ξ = Af + ν ≡ sup Pr A∗ (ξ) 6= A ξ = Af + νeA∈Af ,A∈Af ,A∈A(под ошибочным решением понимается оценка A∗ (ξ) оператора A истинной модели измерений такая, что A∗ (ξ) 6= A; качество тем выше, чем меньше указанная вероятность).Алгоритм анализа и идентификации неопределенной модели M измерений при известном параметре σ 2 , осуществляющий проверку адекватности класса M и синтез модели измерений, сводится к построению решения следующей задачи минимизации, осуществляемой по наблюдению реализации ξ = x :τ∗ (x) ≡ min ||(I − ΠAe)x||2 ,(6)eA∈Aа соответствующий алгоритм для неизвестного σ 2 , – к поиску решения следующей задачиоптимизации:||(I − ΠAe)x||2j∗ (x) = min,(7)||Π0 x||2eA∈Ae Π0 – ортогональный проектор на R(Ae0 ),где ΠAe – ортогональный проектор на R(A),e0 – оператор, элементы матрицы которого совпадают с координатами произвольногоAe Пусть τb (ε) и jb (ε) – решения следующих уравненийфиксированного вектора из R(A).при определенном значении εZ∞τb (ε)prk (y; 0)dy = αb (ε),Z∞jb (ε)prk⊥ , k0k⊥zk0k⊥2dz = ασb (ε),k0где prk (y; 0) – плотность центрального χ2 -распределения с k = rank (I − Π) степеня2ми свободы; αb (ε) и ασb (ε) являются константами, определяющими критические области соответствующих критериев проверки адекватности класса M моделей; значения132αb (ε), ασb (ε) выбираются так, чтобы уровень критериев был равен ε.

Процесс анализаи идентификации неопределенной модели M измерений можно осуществлять следующим образом. Если τ∗ (x) 6 τb (ε) (j∗ (x) 6 jb (ε)), то в случае известного (неизвестного)параметра σ 2 для данной реализации ξ = x можно считать уровень адекватности модели измерений, отвечающей оператору A∗ (x), приемлемым; т.е. можно признать классM адекватным наблюдаемым измерениям, а в качестве результата синтеза можно принять модель измерений, отвечающую оператору A∗ (x), доставляющему экстремум в (5).В противном случае, если τb (ε) < τ∗ (x) (jb (ε) < j∗ (x)), то следует признать модель, отвечающую оператору A∗ (x), неадекватной наблюдаемым измерениям. При этом класс Mследует признать неадекватным измерениям, а результат синтеза на основе класса M –неприемлемым.Анализ и идентификация объединенной неопределенной модели измерений.Построение объединенной неопределенной модели Mg измерений осуществляется наоснове T отдельных неопределенных моделей измерений Mt , t = 1, .

. . , T, с использованием дополнительной информации о их связи с целью создания алгоритма полученияновых знаний, возможно, обладающего более высоким качеством, чем в отсутствии связующей информации.Предположим, что каждая модель Mt отвечает различным сторонам/способам измерения одного и того же исследуемого объекта, каждой неопределенной модели Mtсопоставлена своя схема измерений(t)e (t)= At f + ν (t) ∈ Rи свой класс Mt = [At , Σt ], At ∈ At , Σt = σ 2 I моделей измерений, где At – параметрический класс операторов: At = {At (ct ), ct ∈ Ct }, t = 1, . . . , T.

Под дополнительнойсвязующей информацией понимается любая априорная информация вида C {ct } = 0 освязи параметров c1 , . . . , cT . Объединенная неопределенная модель Mg измерений строξ(1)ится на основе объединенной схемы измерений ξ , . . . , ξсвязующей информации:hT iξ= B(C)f + ν hT i ,гдеξhT iξ(1) . . = .

,(T )ξν hT iν (1)=  ...  ,ν (T )(T )с учетом дополнительнойA1 (c1 )B(C) =  ...  .AT (cT )Объединенной неопределенной модели Mg измерений сопоставляются класс моделей измерений2Mg = [B(C), Σg ] : C {ct } = 0, ct ∈ Ct , t = 1, . . .

, T, Σg = σ I .При заданных моделях измерений Mt , t = 1, . . . , T, роль связующей информации приинтерпретации данных эксперимента играет лишь та особенность, что каждая модельотвечает процессу измерений одно и того же фиксированного вектора f . В отсутствииданной связующей информации (когда предполагается, что разным отдельным моделямизмерений могут отвечать соответственно процессы измерений различных векторов f )14понятие качества интерпретации данных, производимой на основе соответствующей объединенной модели измерений, определяется в терминах следующей величины «общей»погрешности интерпретации: hhT i = supt ht , где ht – характеризует отвечающую заданноймодели Mt «среднеквадратичную погрешность» интерпретации.Для объединенной неопределенной модели Mg измерений в случае, когда не задана дополнительная связующая информация, введены понятия качества алгоритмов анализа и идентификации модели Mg , а именно понятие качества проверки адекватностиклассов Mt , t = 1, .

. . , T, наблюдаемым измерениям и понятие качества синтеза моделиизмерений. Для этого используются величины β hT i (ε) = inf t β At (ε) и αhT i = supt αAt ,соответственно, при фиксированном уровне ε; отмечается также роль категории «эмпирического качества» (качества, оцениваемого эмпирически, экспериментально, по одномурезультату наблюдения ξ = x на основе величины α∗ (ξ) : чем выше значение α∗ (ξ), темвыше эмпирическое качество процесса анализа неопределенной модели измерений).Алгоритмы анализа и идентификации объединенной неопределенной модели Mg измерений построены на основе естественного обобщения алгоритмов анализа и идентификации модели M как в случае известного, так и в случае неизвестного параметра σ 2 .Также на основе обобщения определено следующее: для заданной объединенной моделиMg при наличии связующей информации определена характеристика качества интерпретации (hg ; предполагается, что интерпретация осуществляется при определенной моделиизмерений), и для объединенной неопределенной модели Mg измерений при наличии дополнительной информации о связи в свою очередь определены характеристики качестваалгоритмов анализа и идентификации модели Mg , соответствующие процессу проверкиадекватности класса Mg (β g (ε)) и процессу синтеза модели измерений (αg ).Поставлена задача сравнительного анализа качества рассмотренных и разработанных в рамках объединенной модели Mg измерений алгоритмов анализа и интерпретацииданных эксперимента при наличии и отсутствии информации о связи (под анализомданных подразумевается анализ модели измерений).

Данная задача сводится к анализусоотношений величин hhT i , β hT i (ε), αhT i и hg , β g (ε), αg , соответственно.В [Пытьев, 2004] показано, что переход к использованию определенной объединенноймодели Mg с учетом связующей информации не может увеличить погрешность интерпретации (hg 6 hhT i ), а в реальных случаях, как правило, способствует уменьшению даннойпогрешности (hg < hhT i ). В диссертационной работе получено, что мощность (основанного на методе максимальной надежности) критерия проверки адекватности класса Mg неизменяется (β hT i (ε) = β g (ε)) при переходе к использованию объединенной неопределенной модели Mg с учетом дополнительной информации о связи как при известном, так ипри неизвестном параметре σ 2 .При сравнении качества синтеза модели измерений рассмотрен случай известногопараметра σ 2 .

Для решения этой задачи введено условие транзитивности связей отдельных неопределенных моделей измерений: условие считаетсявыполненным, если согласно дополнительной связующей информации C {ct } = 0 не допускается ситуация,когда часть параметров c1 , . . . , cT , отвечают истинным моделям измерений, а часть –ошибочным.Показано, что если условие транзитвиности связей выполнено, то вероятность ошибочного выбора модели измерений может как увеличиваться (αg > αhT i ), так и уменьшаться (αg < αhT i , приводятся конкретные примеры) при переходе к использованиюобъединенной неопределенной модели с учетом дополнительной информации о связи, взависимости от значений параметров объединенной неопределенной модели. Если усло-15вие транзитивности связей не выполнено, то при переходе к использованию объединеннойнеопределенной модели Mg измерений с учетом дополнительной связующей информациикачество синтеза модели измерений не увеличивается (αg > αhT i ).Вторая глава посвящена разработке методов идентификации нестационарных неопределенных моделей измерений.Под нестационарной неопределенной моделью M измерений понимается такая неопределенная модель измерений, в которой задан класс M множеств M возможных моделей формирования отдельного измерения в схеме (1) (здесь будем использовать обозначение класса M, как и в первой главе, только уже для обозначения нестационарнойнеопределенной модели измерений, отождествляя ее в известной степени с классом M иформальным описанием математических свойств и характеристик данного класса); приэтом считается, что каждое измерение ξi произведено в рамках некоторой модели изодного фиксированного, но неизвестного априори множества M∗ ∈ M, другими словами, M (i) ∈ M∗ , M∗ ∈ M, для любого i = 1, .

. . , N. Кроме того предполагается также,что неизвестно, какая именно модель из множества M∗ реализуется в измерении ξi сконкретным номером i. Таким образом, в отличие от рассмотренного в первой главе случая, отсутствует априорная информация о функции M (·) как отображении множества{1, . . . , N } на множество M∗ и неизвестно, какое именно множество M∗ ∈ M отвечает данному набору наблюдений.

Такую модель измерений мы называем нестационарнойнеопределенной моделью измерений. В работе предполагается, что класс M состоит из конечного набора V множеств Mv , v = 1, . . . , V, моделей, причем Mv1 ∩Mv2 = ∅, v1 6= v2 . Задача идентификации нестационарной неопределенной модели M измерений ставится какзадача определения по полученным в эксперименте наблюдениям ξ1 = x1 , .

. . , ξN = xNтакого номера v ∗ , который отвечает истинному множеству возможных моделей формирования отдельного измерения.Приведены постановки задач идентификации нестационарных неопределенных моделей измерений в различных областях научных исследований для того, чтобы продемонстрировать актуальность задачи построения методов идентификации таких моделей.Приведено изложение проблемы эмпирического восстановления возможности, сформулированной в [Пытьев, 2006]. Показано, что данную проблему можно понимать какзадачу идентификации нестационарной неопределенной модели M измерений, в которойкаждому номеру v сопоставлен свой «неприводимый» класс возможностей, однозначноопределяющий теоретико-возможностную модель эксперимента. По аналогии с [Пытьев,2006] данная задача сведена к задаче проверки нестационарных сложных гипотез, отличие которой от традиционных задач состоит в следующем.

В традиционных постановкахпредполагается, что по наблюдениям за реализациями случайной величины необходимопринять решение о том, какая из сложных гипотез о распределении данной величиныверна; при этом либо при каждом наблюдении верна всегда одна и та же простая гипотеза в составе неизвестной сложной, либо выбор простой гипотезы, отвечающей конкретнойреализации, осуществляется случайным образом (байесовский подход). В обоих случаяхимеет место статистическая устойчивость частоты конкретной реализации в бесконечнодлинном ряду наблюдений. Согласно [Пытьев, 2006] в задаче эмпирического восстановления возможности снимается требование устойчивости частот, и возникает задача проверки нестационарных сложных гипотез, для которой не задана (и, тем более, не известнааприори) какая-либо закономерность проявления простых гипотез в последовательности распределений наблюдений случайной величины, на распределения возможностейлишь накладывается требование «стохастической измеримости».

Характеристики

Список файлов диссертации