Методы анализа и идентификации неопределенных моделей эксперимента (1103509), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В диссертационной ра-16боте рассматривается постановка задачи эмпирического восстановления, совпадающая с«наиболее общей» постановкой, приведенной в [Пытьев, 2006]. Предложены новые методы решения этой задачи.Наряду с проблемой эмпирического восстановления возможности в главе рассмотренапроблема идентификации типа среды в игровой постановке задачи о случайных блужданиях частиц с взаимодействием (см.
[Кольцов, Сердобольская, 2006]). Приведено описание системы частиц и правил их перемещения и взаимодействия, а также постановка задачи идентификации типа среды по результатам наблюдения за одной частицей (с фиксированным номером), отмечена актуальность поставленной задачи в контексте известныхзадач идентификации типов сред. Характерной особенностью этой системы является то,что наряду с «внешним шумом» в ней может присутствовать также и «внутренний шум»,связанный с трудно устранимой аналитическими и вычислительными методами неопределенностью в правилах перемещения и взаимодействия частиц.
Согласно [Ван Кампен,1990] под внешним шумом понимаются флуктуации, возникающие в детерминированнойсистеме под действием случайной силы, стохастические свойства которой считаются известными исследователю; внутренний шум обусловлен такими характерными свойствамисистемы как дискретность, нелинейность динамической модели поведения системы (возможно наряду с относительно большой размерностью системы). В частности, внутреннийшум может быть обусловлен тем, что сама система состоит из дискретных частиц, он является неотъемлемым свойством самого механизма эволюции состояния системы и неможет быть отделен от ее уравнения движения. Приводится обзор наиболее глубоко идетально изученных методов, применяющихся для исследования различных систем взаимодействующих частиц, в том числе методов кинетической теории [Лифшиц, Питаевский, 2002]31 , [Балеску, 1978], [Ван Кампен, 1990], [Монин, Яглом, 1967]32 , [Кубо, 1967]33 ,[Кляцкин, 2001]34 , [Кляцкин, 2003]35 и теории ветвящихся процессов с взаимодействием [Калинкин, 1983]36 , [Калинкин, 2002а]37 , [Калинкин, 2002б]38 .
Указаны особенностии области применимости изложенных в методах подходов. Показано, что особенностипредлагаемой игровой задачи не позволяют исследовать ее с помощью известных традиционных методов анализа систем взаимодействующих частиц, в том числе с помощьюметодов кинетической теории и теории ветвящихся процессов с взаимодействием.Показано, что задача идентификации типа среды может быть сведена к задаче идентификации нестационарной неопределенной модели измерений.Кроме того, на основе рассмотренных подходов к анализу систем взаимодействующих частиц в применении к задаче идентификации типа среды подчеркнуты особенности контекста научных исследований, в котором может возникать задача идентификации31Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Физическая кинетика.
М.: Физматлит, 2002.Монин А.С., Яглом А.М., Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1967.33Кубо Р., Статистическая механика. М.: Мир, 1967.34Кляцкин В.И., Стохастические уравнения глазами физика (Основные положения, точные результатыи асимптотические приближения). М.: Физматлит, 2001.35Кляцкин В.И., Динамика стохастических систем. М.: Физматлит, 2003.36Калинкин А.В., Стационарное распределение системы взаимодействующих частиц с дискретнымисостояниями // Доклады АН СССР, 1983, т.
268, вып. 6, с. 1362-1364.37Калинкин А.В., Марковские ветвящиеся процессы со взаимодействием // УМН, 2002, т.56, №.2, с.23-84.38Калинкин А.В., Вероятность остановки на границе случайного блуждания в четверти плоскости иветвящийся процесс с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения, 2002, т. 47, вып.3, с. 452-474.3217нестационарных неопределенных моделей измерений; отмечено при этом, что одним изосновных признаков такого контекста является наличие «внутреннего шума» в исследуемой системе (о понятии «внутреннего шума» системы см. подробнее в [Ван Кампен,1990]).Идентификация нестационарной неопределенной модели измерений и проверка нестационарных сложных гипотез.Приведена формальная постановка задачи идентификации нестационарной неопределенной модели M измерений как задачи проверки нестационарных сложных гипотез.v , v = 1, . .
. , V, возможных моделей форПусть в модели M заданы множестваT vMv12мирования отдельного измерения, MM = ∅, v1 6= v2 . Будем считать, что данныемножества являются конечными и дискретными и, что каждый элемент любого из множеств Mv определяет стохастическую модель формирования отдельного измерения ξi ,т.е. каждому элементу сопоставлено некоторое фиксированное распределение вероятностей значений случайной величины ξi . Также будем рассматривать случай конечногодискретного множества элементарных исходов случайной величины ξi . В таком случае,если сопоставить каждому множеству Mv сложную гипотезу H v о распределении ξi , тозадача идентификации нестационарной неопределенной модели измерений может бытьпоставлена как следующая задача проверки нестационарных сложных гипотез.v }, v = 1, . .
. , V, — классы сложных гипотез о распределеПусть H v = {H1v , . . . , Hmvнии случайной величины, mv – число простых гипотез в составе v-й сложной. Первоначально рассматривается случай V = 2. Предполагается, что решение о том, какая изсложных гипотез верна, принимается на основании реализации N -мерного случайноговектора ξ = hξ1 , . . .
, ξN i, координаты которого независимы, и распределение каждой изних контролируется какой-либо (произвольной и, вообще говоря, меняющейся вместе сномером координаты) простой гипотезой в составе (фиксированной) сложной. Мы считаем, что любая реализация случайной величины принадлежит известному конечномумножеству элементарных исходов X = {x1 , .
. . , xS }. Пусть Pr(· | Hiv ), i = 1, 2, . . . , mv ,– распределения вероятностей, отвечающие простым гипотезам Hiv в составе сложныхH v , v = 1, 2. Относительно данных распределений известно, что они удовлетворяют лишьSPобщим условиям: Pr(· | Hiv ) : X → [0, 1],Pr(xs | Hiv ) = 1, и каких-либо дополнительs=1ных ограничений на них не накладывается.Изначально в главе поставленная задача рассматривается как традиционная задачапроверки двух сложных гипотезHv = (Hiv1 , .
. . , HivN ),Hivn ∈ H v ,n = 1, . . . , N, v = 1, 2,о распределении N -мерного вектора ξ. Сформулированы критерии качества решения задачи в такой постановке, а также понятие разрешимости задачи: задача проверки нестационарных сложных гипотез считается разрешимой, если существует состоятельный критерий для проверки данных гипотез. Условие разрешимости состоит в следующем. Пусть()mvXΓv = γ = (γ1 , . . . , γmv ) : γi > 0,γi = 1 , v = 1, 2.i=1Если существуют такиеγ̃ v∈m1Xi=1Γv ,что для каждого s = 1, 2, . . . , S,γ̃i1 Pr(xs|Hi1 )=m2Xj=1γ̃j2 Pr(xs | Hj2 ),(8)18то в данной постановке задача проверки H1 против H2 неразрешима, если это условие невыполнено, то задача проверки гипотез о распределении вектора является разрешимой.Отметим, что указанное условие разрешимости эквивалентно аналогичному условию,приведенному в [Пытьев, 2006].
Сформулированы общая минимаксная и общая байесовская постановки задачи. Показана эквивалентность оптимальных решений общей задачипроверки гипотез в указанных постановках при определенных условиях, согласованныхс условием разрешимости данной задачи.При этом показано, что построение оптимального критерия, основанного на случайном векторе ξ, и получение оценок качества этого критерия сопряжены со значительнымианалитическими и вычислительными трудностями.
Предложен следующий альтернативный алгоритм решения задачи проверки нестационарных сложных гипотез (критерийголосования).Шаг 1. Априори (т.е. независимо от полученной в эксперименте реализации случайного вектора ξ) ищется решение следующей «одномерной» минимаксной задачи: пустьпри π = π ∗ = hπ1∗ (·), π2∗ (·)i, достигается2 21 1L∗ = min max max L(π1 | H , γ ), max L(π2 | H , γ ) ,(9)πγ2γ1гдеL(πṽ | H v , γ v ) =SXs=1πṽ (xs )mvXliṽ γiv Pr(xs | Hiv ),γ v ∈ Γv ,(10)i=1где liṽ – потери, сопровождающие ошибочное решение в пользу сложной гипотезы H ṽпри том, что реализация получена в рамках распределения, соответствующего простойv ) характеризуетгипотезе Hiv , ṽ 6= v, i = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
