Геометрические свойства гармонических отображений римановых многообразий (1102751)
Текст из файла
ФВ 2 йв ЖДВРИИЕИ6+ Стр. компактннх мнса"ообраэий,......,..... 24 ~ 1 е ОСНОВКЯ6 ОПР8Д6Л8ИИВ а - ° ~~ а е е е е ° е е а е е 24 ~2 в Исследование фофъцГлы Второй зщыйЗции е э е а ю в 33 53 ПОНЯТИ6 СИЛЬНОЙ Е6УСТОЙЧИВОСТИ ~ СИЛЬНВЯ н67стойчивость пОДмнох"Ообразий с4е'р....... 47 Сильная неустойчивость некоторых изотропно И6 ПРИВОДИМЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРаБСТВ е в е е е е в 61 Класси~икаязя сильно ееустойчизнж локально симметрических пространств ..., . ° ° ° ° ° ° 68 Вторые вариации 4ункционалов Дирихйе и Объема длн вполне х"еод63ических Влоиений е е е в е е в е Ж х ~Цжоническом расЩ)остранении а е а ° е е + е э 97 Критерий регулярности и ех'О следстВМЯ...... 97 Априорные Оценки для однородных гармонических Отобрамений а 1 е е е е е е э а э е е е е а е в ЖХ ЗжЖча Лирихле Длн отображеиий В пОДиногообрВЗИЯ сфе ры е е в а в в е ф ° а е е в е + в е е е е «Ю9 Ванча Лирихле ДЯЯ Отобрзйений В гиперпоьерхности евклидова пространства....
ЛХб Априорные оценки Для устОЙчивых отобраиениМ В ОДЫОРОДНЫ6 ПРОСТРаНСТЗВ ° е э ° е е е е ° е ° 126 ВВ9Д9ие» ЦФ е '.е них уравнений с частными производннми. Функцйонаа Дирккле, Относяп~ийся и чйс~~ простейших ф~~нкционалов геометяичесйой ПРИРОДЫ е ИСПОЛЬЩГ9тСЯ тВКЖ9 И З фИЗИЧ9 СВИХ МОД8 ЙЯХ и В ОСКОЗ9 еоторых лВжат жфиацжонные принципы ~см., еэЩжмер, обзор С.П.Еоаекока ~24 и статью ч.миеиера ~541 1. По~~биый обзор теории гармоничесйих отображений и Обжирнан библиогра4ак шеютсн в работах Дж.Иаиа и Л.Лэмера ~а,еа) .
В первой глав9 диссертации рассматриаавтск вопроси СУЖестионзВзй ~стойчиВих ГзрмоезЯЮсжих ОтобраВВеий ззмйнутих ~ Т е 6 е КОМПЯЕНЫХ И БВ ИМВЮЩИХ ЩММ ) РИМЙБОВНХ МНСУООбРазййе Напомним, что тармоничеокое отоорекение ~: ~1 — ь.,ф дцук эаааЯгтнх римановых многообразий назыааетск устойчиаым, если положительно подуопр9дедеца форщ~ второй вариации функционала Дирихле, амчиоленнаи и "точке" ~~ ~' ~'Я,,1/"~. Отметим.
3Ю 6 ФВФ СемзооВВ (40( ( случай,:зогда многоОбреяве.~К знает вевсяснвтель вув оеююовннв ярюнюну1, л.ламара (62( (случай, негде Йота 2, %- ~ф О~, теоРема ЛнАезса з й тулезбез (Вф о РеелввУемоотз обраяуянзх гйувнв %~ ф гармОзвчесВю1В отобренензюю орер -е р~1 (случай. нагла 4 ~ «4~(Г Ц, результат Алнхзеровзча (64( о том, что голоморфвое зяз антвголоморфве Отобраиекие Ззиеиутих кзлеРОиих мнОУООбРазий феайизует миниМум функционала-ДиРихле з сзоем ГОмо~опическом кассе. ОООН% Роль В исслеДОВакии хЩВ$окических Ой'Обфшений иУрэмй Р8ОИВмрические и аналитические метОДМ построекиЯ х%фмонических ОтобРаз(екий з Р.Т.Оютом (66~.
Прв отер, раеработаянне А.Т.Фомевно (34,2( помона этих методов А.Т.Фомезно (34,2~ вполне ~6ОДезических О~обрайений ( Важкох'О чаСЙЕОУО случаЯ лтйР- зозччеонях отобрезеняй~ сйер Я, реелнеунннх зетрнвнальнне цяялн в сязввтрзчесннх нроотраяствах, а Р.Т.Смят (661 дозаеаз тВОРейцГ О Рщййнической Реализации елеменжОВ 2Омомопических гРувс Я ~ ст- 5' яя я~с ~) . Отметим, ганзе, цоявзвнвесн В послеДК66 иреми метОДК посЩОВкиЯ йармокическжх Отоб~ижеекй РиманОВих поверхнос78Й Я н кОмплексеые храссманОВы мкохООбреязя ( см. (43~, (4ф. ТО, чтО упомЯнуйие мши Общие теоремк РезлизВЦии ДОказакы ДЛЯ МНОРООбрвЗИЙ е ТОПОВЮИН КОТОРКХ УДОВЛ8ТЗОРЯВТ СП8ЦИЖЛЬЕНМ УСЛОЗИЯМе ЯВЗЯВТСЯ Не СЛУЧВЙКИМ.
ЕЗК ПОКавал Н6ДЗВНО А.И.ПЩ~Ж- нззоя ~27~ э нрн выцозненнн одного зе услсянй Фт Я 5н Я = () нлз ~~~ ЛГ= я Л/= О минимум фуннцнснала Дврзхле Я в любом нетрзвнельзом гомотоцзчеозои классе не доствгеется. Уайт ~711 обобщил мот Результат, доказав, что минимум Ц в нетризшиьнем гомотснзчесном злассе ~ ~ ~ стобрааеяня ~ не достигается прз ФВ. "~! 4М. условии, что ограниченее ~ ва некоторый ~а, Оледователъпо, любой) 2-сотов многообразия у") гснотопичеокн трнвиалвио.
мы покВзнваем В х'лан8 УЙ что, более того, сущ8ствужФ целые с8Рии таких замкнутых многообразий ф н метрвк ва инх, что любое непостоянное гармонячесл06 Отобравенве ~:Я Фф любого сняепсгс замкнутох"О РимВЯОВВ многообразий Я ЯВЛЯ8тсЯ н8устойчизнм Й т. е. любое непостоянное гарыонвчеокое отобракение Д С ~М,А/) является селлювсй критической тОчкОЙ для функпвскала Я Заметем, что постояныне отобреиввня в Л~ всегда явчяются Вбсолютныме функционала Дирихле.
В перВОМ пВрагрЗфе диссертациж мн ВВОдим Оснозны8 Ощю деления и пОнятия т9ории ~линейной связности В римановом РВс СЛОЕНИИ „фУНКЦИОНВЛВ ДИРИХЛ8, ГВРМОНЕЧ8СКОХ'О ОтобРВИВНИЙ в оператора Якоби, устойчивости и И8устойчизости гармонического ОТОб~ЖЖ8НИЯ е ИНДВКСВ ХЩЭМОНИЧЕСКОРО ОТОбрВЖ8НИЯ ) В 12 выводятся НРстоянно используемые 3 дальнейш8ИЙ В том числ8 и В Глэз9 2, фо~эули вторОЙ НВриВции функционВЛВ дирижл8 ДЛЯ ИНфИНИТЕЗИМЗЛЬНЫХ НВРИВЦИИ СП8ЦИВЛЬНОГО ВИДВТ ОПР8Д9ЛЯВМИХ векторными полями на Я/ и гяедкимв Йтнкцвямн с компектнвмв по- 2 сителями на 4 .
далее оыределяется С -метрвка )О на пространстве всех гллнкых метрик на компактном ыногсобраекн /т н доказнвается Важное дяде дальнеииех'О и носящ88 т8хническии хВ- ректер предлскенпе Й.й, в котором для Любых двух метрнк ~ ы х на ч' ы гармонического отобреления ~: Я вЂ” э Я~Й) опенивается модуль разности вторОЙ вариации функционала 2 для отОбракенвя ~ по отношению к метрике 1 н выражения, $ормально соотавленного по формуле второй вариедии по отновению к метрике я. ° Третий парВх'раф ИВчинВетсЯ с Опр8Дел8ниЯ понЯТИЯ сильнОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ.
ЗВМКЩГТО6 РИМЗНОВО МЦОГООбРаЗИ8 ФИМВВ6ТСЯ СИЛЬНО Н8УСТОЙЧИВИМ, 6СЛЕ Айбоб ИЕПОаТОЯВНО8 ГВРМОИИВСКО6 ОТОбрЗЖ8ЕИ8 " -Ф' ХЦИМЗВОЯЬБОГО СВЯЗНОГО ЗВМИЦгТОГО ФФНОГООбрЗЭИЯ Я ЯВЛЯ6ТСЯ Н8УСМ4~ЧМВИМ. ЕЗ ИЗВ8СТБНХ Т8ОР8М Р8ЭЛИЗВЦКВ ВИТ8ЕЙ6Т СЛ8ДЯРЩИЙ Р83$УЛЬТЗТ ПР8ЛЛОЖ8НИ6 Эв1» СИЛЬНО НЩ~ОТОЙЧИВО6 СВЯЗНО8 ЗИМКН7ТО6 раманово мяогообраввв ~К двуовявно, т.в.
его первая я вторая гомотопвчв окав группы трвввааьвы, Огя Я~ ~~» Л~= О . Отметим, что если Л7 скаьво неустойчиво, то ваобявв- Т8ЛЬНО 'М~ Я/ = О а БЗЩЙВНЦ3 я Сф6Р8 Ф~~ СО СТЗНДЩ)ТНОЙ М6ТРИКОЙ л а т.~~ СИЛЬНО Н67СТОЙЧИВ8, ( СМа СЛ6ДСТВ36 ьла2» в С ДР7ГОЙ СТОРОНЫ, УСЛОВИ8 СИЛЬНОЙ Н8УСТОЙЧИВОСТИ Н6ПОС Редственно вавксят от метрики ыа /К, я утверздвняе, обратное К Щ)6ДЛОЖЮНИЮ 3.1 Н8В6РНО. Л9УЕО БОКЗЭЮТЬй ЧТО АйбО6 ХЛЭДКО9 многообравве Лl виет быть наделено метрикой К, для кото- РОЙ НайДЕТСИ УСТОМЧИВОЕ ОТОбРвжеНИЕ ОКРУЖНОСТИ ('ГЕОД8ЗИЧескаЯ~ .,5',~ДГ~ ) .
Заметим талке, что лля лвбого гармонвческого отобраканкя ~: Я -в„,~~ компактных многообравнй мак- СЗМВЛЬНЗЯ РЗЗМ8РНОСТЬ Щ)ОСТРВНСТВЗ, ИНфИНИТЗЗИМЗЛЬНЫХ ВЗРИЗХ~ИЙ отобраяянвя,т р вв котором Форма второй варнацнн Функднонала Й~ стрвдатяльно опрадалана, конвчыа. ста Равмвряость называется вндвксом мс~® отобрвнення ~ ОСНОВННМ РЕЗУДЬТатои 53 ЯВЛЯ6ТСЯ Т8ОРЕМа З.Х, ФаИНВЯ,ПОС- таточное условие санькой неустойчивости для подмыогообравяй ЛГ сФеры ~ ~ оо стандартной метрикой с ограниченной нормой 0 В Н второй Фундамеытааьной Формы Я влокенвя А~с ,5' 1' Творема 3.1. Првдполоввм, что ~Я~ , д ~ являетсн ывометРкческк ваокеыным подмыогообравыем сФеры ф со стащартной 9 меч|акой.
пусть Х ыроиеисаьиаа па»диев метрика аа/«г: ° Обо»вечам ~о-)ССд, ~,) ~' мжх ИФ + «Г, К Ж) =(Зу Бут~гр3+рр+уыу~+2жедуц'у~С' .I Тогдеь еоаи Втсреа ффадемеатеаьиеа Форма 8 аиоаеыаа (Л', Щ ~ ~,5' ~ удоваетаорает иереиевстау ( .+1)Я1 + КХ)(м+й) < и.-2, то рамеиово ииогообрееае ~~К, К) сачьыо а»устойчиво. С тошхиогической тОчки $феи$я ~олозие на ВложВБКЮ кэ $орм3~- Л2$ЮЗВИ ТЕОРЕМЫ ЯВЛЯ6ТСЯ ЗВСЫйй СИЛЬЕййМ: ИЗ ЕЕХФ СЛ9Д~УЕт ~СИ сам»чапае 3.1 ), что мыогообрееа»Я~ яияяется гомоаогжческой СФЕРОЙ» ПРИВ6ДЕМ ДЗ8 СЛЕДСТВЗЕ ЕЭ ТЕОРЕМ 3»1» Си»дотике 3.1. Предпоммим, что выпояваетса условие ( 1 тб.)ЦВЯ < К-2 И. И. иа иясаеыие ~'/1/' Щ ) С,Д Р .
тогда ~Ф', ~~ сильыо и»устойчиво и, более того, иайдютоа такое число Я>О, что для любой метрики К ие Е-окрестаости(~:~оф,ф)~Е~ метрики К рамаыоао ~'м аеогообрезие ~Я~, К) тека» яваается скеьыо а»устойчивым. Следствие 3.2. СФ»ра,5~ со стевдартыой метрикой я. сыяьыо неустойчим при и ~» Я . Кроме того, для .шбой рзманозой метрики 4 И й- ВЭ «5 е ЯДОЗЛВТВОРЯЮЩЕЙ УСЛОВИЮ 6('у у)- 2у~< — ~ ~ъ ~м.+~) где ~о=~оЫ, ©, римапово многообразие (~ ~) яваяется оилъыо КВУСТОЙЧЕВИМ » 4ЭВ Д) ВВВ бнльнум юустсйчивость сфер ~~ ес стеанаргннми метрниэми прийг3 .доливал ренее йеуигф31 бенетам, что:оаруиаость ф и сфере Я ие двуониеам,и ноевому не аииивтси сиеьио иеустойчи 1, вами.
бнеаиу см~Др и+~ ив иииеис любого иепоотоавнию гармонпчеоиого отобреаеиаи .ф -ф н ь3,сйерн со .стандартной метриюй в проиеиольиое рименово многообразие деи А.й.йлуанвиов ~36~. о $4 мн иеречодим и расомотревю гермонвчесиии отобрваеивй В кбмпзктние иЗОтрОпеО-неприВОдимце ОдБОРОдные прОстрзБстБЗ ~ ф - исмпаитаеи группе йв, ~ - ее еемипутеи подгруппе~.
ула тенин щюстравств ф ~ииариеативи метрике К Опредеженз ОдеОзнзчнО с тОчБОстьВ дО умнОлэшя на пОлОзительщж МОНСТЗНТ~Г ВЗЖИЦМИ ПРИМЩМЭ4И ИЭОТРОПНО НЗПРИВОДВМЦХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРЗНСТВ ЯВЛ:ШТСЯ Н9~~~ВОДИИЫ9 СИММ9ТРИЧЗСКИ9 ПРОСТРЗНСТВав РзссматриВаеине В с,хеДУ®~9~~ пзрз~рзфее КизссификзП®Я ®сех несим- И9ТРИЧ6СКИХ КОМПЗКТННХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРЗНСТВе,'~ КОТОРЫХ Н9ПРИ 1 ВОДИМО УЖ9 ПфеДФТЗВйеЕИ9 ИЗОТРОПИИ СВЯЗНОЙ КОМПОН9НТЫ 9ДИНИЦЫ ГРУПП ИЗОТРОПИИ, ПОЛУЧЕНа О.В.МЗНТУРОВШ 24 Няп следующий Р937льтат пОкззиВзет кзкую Взжнум РОль агрвет неустойчивость тоаиестпеннсго отобреаевии 2с~ Теорема е.1. пусть ф= ф/ф — иовеатиов йвотропноНЗПРИВОДИМО9 ОДЕОРОДНО9 ПРО СТРЗН СТВО С -ЮПЖ~ПМНТНОЙ МВТРИКОЖ Г .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
