Геометрические свойства гармонических отображений римановых многообразий (1102751), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пу Я,р~ .~У",К3 многообразия с метрщзме ц, щж%ем еиеет, Возмсж ,~„„~,"~' .~~, вб::непуетув грепзпу ЭМ:,,а::;Я~: пе нМзот:крап пусть я б )-,Щ~~::. с гладкое отобрекенве - дмйаРенпная * ф~ ' 'ф' с~~ етобрнкепкя могло раоематрнкать как .С главное оечеще ~~ йзвккого расолоепкя Ьп1 ~~у з у%у ~~чщЭ~ 'Пу петрзкк к е„к ~ з к 'Г у кккупнрупт нетрьлу и расолоензк т„,~У -4Гь,; НОРНУ йИЬбзпта-бЗГЗЛта ДЯ,4ЕРзнппата 4 в зтон метрике нн обозначнм ~с~Д Еслн ~М в ф кальнпе кпорпкиатн в окрестности точек хМ в ~~ЖЫ.ЛГ у то И~'=~ ~~'~Ч„.
где ~. — д~/ЯХ' . Осознанны через о~п~~ племене рмлмопа объема на /~, кпдупнропанный ветряной ф пусть Д С Я вЂ” компактное ннокеотзо. ОЩ~646Л6НЙ6 Хе1» ФУНКЦКОВЗЛОМ ДЫРНХЛ6 НЬЗИВй67СЯ Н6ИРО~НВ кое отобракенне „б; ~ Я ~,7 ) — + ф у~у~ 34ЩВВЗЭМОВ ИНЙВЩЗЛОМ и ®=-' ~МИ'-~;, ЗЙМ6ЧЙИИ6 1еЬ» О~БКЦЬОБЗ,Ж ДЬДИХЛ6 ЧИСТО НВЗЫЗИ62~СЯ ТНЕУ ~$3ЯЩЗИНЙЛОМ ЗН(фНЙ$, нз определенна 1.1 сразу следует, что ф ® Отогда к только тогда, когда / постоянно на нпутренноотз М У мнокестпа Д .
Если ф коьлактно н Д Щ , то мы будем исеть 2 ф) ~(' ) . в зтон случае Я ®=0 тогда н только тогда, когда = сорб'~ КНМ 7Ж6 ОТЫ'ьЧЯГЛ)СЬ БО ВЬ6Д6БИК» РЕфКОБИ~ЖОКЬ6 С'УббДВЫОНИЯ . ОЩ'646ВПФСЯ КИ~ ЭКСТР6ИИзй ЯуйЖЦЬОННИВ ДЩ)ИЖЛО ~ОТНОСЙТ6ЛЬНО ~аРНацйй С НОИПаатИЬЗК НОСИтеЛзаа) . ДЛа ~ОГО, Чтобн П1,ИЗЕСтН 4Ф~ Д$ фФФ ~3~/Н$ ='ф' . иовлввуя овойотза свавввотай на ° иннам гЬ 'у~~аРф Га Рр+аГЙ®, ру~и~- Ь ~~ К ~Т 'т', М1 )) Ц60~- = абь ~~ +Ш .~Ф, Ф~гщ~ ~~~г)~ = иф~~ф, ~'„;~йМ=~~Ь~ ~жР~~='~'М =~~р'И~. йсдставиея вти Формула в й. Г) и ~~. 6) получавм, соотватст- венно,~~ ~) н ~2,2) . Праилонвпва доказано. Предполоаам теперь, что Я компактно а 'ЭМ= ~ .
В ЭТОМ САУЧВ8 ИМ98Т СМЫСЛ РЗССМНТРИВВТЬ ЗЩНИЦИВ фуЕКЦИОЕйШ ДИ ритле ~ по направлении Ю= У~ . Жоли векторпое поле Иа Л~ ПОРОЖЛЭЕТ НЕКОТОРУЮ ОДЮПаРаМЕТРИЧЕСИУВ ГРУДИЩУ ДИф$9ОМОР$ИЗМОВ ~~ ., 9' =Жс~ ~ МНОУООбРВЗИЯ ЯУ и ТО В 1ИУИСТ- ве одвопарвметричвской вариации /~~ отобраиевия ~ = ~о с условием (ВД/И ~ р=-~ф юнво ваять вариацию Д~=ф '~ . Полагая 2 = ~ в Я.Х3 в й.2), мм получаем ~ — „я И~ ~ ~~,=~ р' ф - (р й~~),'® + Л.З) <~Фг ~ф ~~) ~ ЮЮ =~~"' ~Ф -<Ф~~~),у~з. ~ .ю ворьцлн Р.1)-Ж4) внпнсанм в терминал риманова рассдое- -Х.
'Т т со свявностьв Г~. 3 то ке время, для вариаций Р®:СМ~ТРИЗВЕМОГО БИ~И УЛСбно ИМЕТЬ ФОРМУЛИ, а ИОТОРЦж УЧастаУЕт Э9 Ф~ ""~ . Фр -.Х а~ ясли ~ гармоиикио и+: С» Яку~-» С фт~б) апаратор дтсбк отобрааакик у', то ~' ~~фй) «~я. )) дак дпбого г, ктяяатся иккаркактннВ кодпростракстксм Опаракора ф епркком ярсккчякяа ь~~> па это подйрсстракотао сопкадаат с спаратором Якоба ~~3 ~'~ ) г) если ~ гармокктио и М аапактко, то 'яс~ ® .
~„- сь„~ ~~с ~'у ~ ь Доийзйтюльстзо. б) непосредстзенес зытекает из а~, э г) кв в~ . Докваам утааркдакка пупкта а) . Пусть Г„~T~'~- ипцщимувмыа сакаысста ка ~ кф ) г . ° т тогда Ыс~ 1 4 ~7=,® 'д"' ~ . По определению средней жрнэнзни Н~ =1 М~=~. 6'~Г, Ч~'~=~ ф~'Й ~~"~)- = яж-~ г" 4"=2 И~а Ф а) доказано. «6,) ДОКажЕМ В~ . ПфЕаДЕ ВСЕГО, ПОСКОЛЬКУ Г= ~~ ~" ТОа 4.=~ как ьто вытекает кв опрсдолопкя ф Я.Ф~ . оператор ф распадается в пряяуп суьму опаратсроа фИ~ - Выбирая аокруг произвольной точка Ж ~ Я нормальную ~геодезическую) систему коордккат ~'~ «~ и полагая ф~ = 3,/Э ж, мы получаем з точке а) докааапо.
Првддокакиа докавако. ПРОследим теперь зазисимость фО~Щ~ЯН ВТОРОЙ ждризЦик От н норма%кого и ~К ионой 1 У~„,. -~ +У'. (3.Я Полонна ~~ = ~~~: УЕ!Г~ . 5~ ость щвстрвнство градаентов ограничений лннейаа ййннпмй в я р аа 3~ „ РФХ ЦОСНСЛЬ3ф 8СВГЯЙ НЙЙДИ'СИ ТЮКАЯ ВЯОЛНВ Х'ВОД633РЮСИВИ Ффбрй ~Р'с „ДР р'~р, что У с,~Р' а Ф ие ланит ни в ланой вполне гсодеааческой с$ере коравмараоотк л в ф И 3ЮСКОЛЬИУ НОРМВ ~3 И ЕВ ЗВЗИСИТ ОТ ТОХчОй КЭЕОВ ЗЖЖВНИВ ~з Я~ или ф~ ) нн рассматриваем, то мокво с самого БЭЧВЛЙ С%ИТЙТЪв ЧТО ф 36 ЛВЖИТ НК Э НИКОЙ ИЙОЙНВ ХлЭОДВИЯВО- кой с$ере ~ ~ коравмерностк ~ в,5' Р .
и оная ЗТОХ'О ЩИЮХОЛОФВНИЯ ИМВЮТ МВСТО ЕЗНОБИЧВСКИВ КЗОМОРфИШЫ ~~=-Т= — И" ~З. 6„) БЗОМЯЩИВ В ~~ ВВВЛЗЩОЭУ' СТЯ~КТ~Я~, пусть ~: Я ~~~/ - кепостоннное гармонкчвскоа отобраланне овнвного накинутого равном многообразии /~ вкладам длн ~/С 7у внракаакс Р~7; ~® Фажлой Р. 9), в которой й =~ . Р Д,~/ ~ аалаетсн кввдра- ТИЧНОЙ ФОРМОЙ НВ СЛВДУЮЩЗЯ ЛВММВ ЯВЛЯВТСЯ КЛЮЧВВНЖ ТВЖНИЧВСЕИМ МОМВЕТОМ ДИЧИНТВЛЬСТВ8 ТВОРВМН е Ленка 3.1. След 4ормы Р® ф по 9~/ ЭдовЛВТВСРЯВТ НВРВЗВНСТЩ~ Р%~ф(,~ц "' '+~~1~щ~ ~+а)!4~! . М Ы б 'Ю'®~1~~~ +~)Ю! -И+я+ЬМИ((Г))14А . (ЗИ ~у р;зк змцсциаетои ~чяойже ~'3,ф за ВВИ$6юю мэ 46$66зиРозкж доиавзаеюй теоремн ° то крввеа часть в ('3.
24~ ве больно иуиаэ врмвве ревеиотво кули иоввоиио вайль в случаев юьма 1Оф'-Ъ О ш Я, т.е. оюбракевке ~ доввко бить юстсвикаю,у=семеФ блачовательво, сола ф~сюб~, то ва Л М) К ЕЪ®~~~<О, К~ коттону вейлетоа такое ~» У~, что К~Я ф;~ф)(О, т,е. иъ~® > О . следовательно, (Ф ', К) сильно Бе)устойчзпю е Теоремам 3» 1 доказаиае Из теореми З.Х очемдйа образом вникают сладук6Ра Скелетике З.Х. Пусть (Я/, К~- амимтрвчесли влокеваое замкнутое юдмюгообраеие обери „ДР со ооввдвртиой метрикой а о второй 4ундаментазьиой формой влоанщя 8 .
Предаоюшм, ~ — "' + б'. ) !1 В1 ~ У -г ка влоиекве .4/ С Я/ . Тогда (Л~, К~ сальво йеуотойчиво и, более тохой иайдеток такое число Е>О, что длл любой гладвой ютрикв Д ва Я1 ва Е -окрестности : ~(а, К)<Е~ метрики Д рвмвново мыогообрвэие Я~ К ) ' таама яааеетса социо иеуотойчивим. Лойэжйельстзо ожедотзии зитеежет хВ соооРВВВВенм неиР9 ' рк<оств вв ввмечанил, что КЯ)-+О ирк ~о Я,К )-ъ0. ». $$ ЮФ ЗЗНЭМ ЩаИВЗЕТФЖ .КОМ ЗАНОЮ . $6ВФИОИО МНОЖОбРавИЭ: ПОЖМИСЬ НОУ РЗЭМЭРНОСТН, ОбШЩМЩЭЭ 34ФФНЙИВНО Н ТУРНЗНТНИНО ФФФИФЮЩЮф УЯЯЯОЙ ИЗОМЭТУНЙ» грузна звон»трай ф э»ното мвэс»орвана Я янняэтсн нснэщствсй 1",Душой Лв, а ~р двйвмомщ4во одворолещГ мнотоолраэнн ф / $, яо»уча»мону 4мяторзээцней ф яо врачоЮ ДЮЙСТЯШ ЭЭ 3636ИфТОЖ НОЩРЯЧШИ в ЖЗОМОРфНОН СТВЦВОБЩ~ ной нодтрдюе 3,' ® точка у ЮК' для лабота у .
Пря ЭТОМ ДЭЙСТВИЭ Щу ИПН ЯВ ИНЩЩ$Ц~УЭТСЯ ДЭЙСТЗИЭМ ИЗ ОЭб8 ЛЭЗММИ СДЗИХЧВМВ. Будвм считать, что мэтрзяа д яа Я/ ввнаряазтнв отяосвтельно естеств»нного действия ф на Л~ . суоть %': — Ъ - КЗНОВКЧЕСКЗЯ ПРОЭКЦИН, ~У - ЕАИННЧНИЙ ЗЛЭМЮНТ ЕДУ'ППИ СТЯЦИОНЗРНЗЯ БОДХ$Я7НПЗ ТОЧКИ % ~я~ Е ф/ф естеств»наш обраэсм действует ва васатальном ярсотрелстзе ( ч.р ~р., я точна ~~'а~ 0НРЭЛЭЛЭННЮ 4е 2 е КОМПЗКТНОЭ ОДНОРОДНОЮ ЩН>СТРЗНСТВО ~К- ф/ф яаэмзается вэотронво веврнзодвмш, есян неирнзсяямо естеств»нное эр»дотанлевзе ~ з ~'сг);-® ВЗИНЮЙПЯМН НРИМЭРЗМН НЗОТРОПЕО ВЮЩЖВОДИМЫХ ОДНОРОДНЫХ НРОСТРЗНСТВ ЯНЛЮПТСК НЭЩавОДИММЕ СНММЭТРИЧЕСжИЭ НРОСТРЗКСТва, ЗЭРВЧИСЙЭИБЫЭ В КЛЙССИЧЭСКИХ РЗбОТЗХ ЗэКВРТЗВВ» ЗТВ ЕЛЙС(йфйяаиня яэлояеаа, нанрщэр, и ~10~, ф. Жеется таяна волвая ЖШССИФИКЗЦНЯ КОМНАТНЫХ НЭСИММЭТ~ПЯЭСКИЖ ОДНОРОДНЫХ ПРООТРЗНСТВт 7 КОТОРЫХ НЮЩ>ИВОДИМО 7ЖЭ ЭСТЭСТЗЭННОЭ ЩМДСТЗВЙЭШЭ связной номнонэятн эдвянвн ~, труняв ~~~ В ('су~й-~ ~ врэнечлэямчая 0.3.дантурозу Я, позднее яередояаэавная з ~72~.
с»мотям, что если ~= ф~ф вэотронво вэярзводнмо ущедИМ 9 ОТДМВНУФ'ИФЮф е демме 4 3, йуоть ~=:Р Ф ф компаытлое ЗВФгропно 9®~~ииоищуое Оищуцр~щ щцмтреиство с -инВ$фийнтной звериной К, а $ — вроыеволънан ф ~кзарыавзыан кванра- тудщЯ фЩИЖ На ге~~~~' е УОРДАМ СЯЩ8СТЩГет ТЗЖО9 ЧЖСИО ~ б ~Р р чт ~~т~ = 1 1~т,г~ дзв б т'~ Ргчт)~, убФ Дйй дожйзэтелъсямВ леммы достаточно щп5мВнжть щмФЙдT- щи6 расс)пВкеЯиж к -юймЦжэктной симмЮтрической билинейеой йорма ф (Р.,~) = ®Я) ~$(и~-ф~-~~Ъ~ -~~сЦ~ и ееыетнть, что б,~ г, тт) = ~~с ~ теорема 4.1. Пусть А~ = фЩ - компактное веотропес нВприводимое Однщодное щюстранстзо с ие3$фй9нтной нетрвкой К . Тогда, если тоздестзевное отобраконне Ж~ ~ неустойчиво, то Я/' й') синько неустойчиво. Кроме того, и этом случае существует таксе число Я >О, что дла,шбой метрики К ве с.
-окрестности ~ К:~о Я, К,) ( я $ метрики К ркыевово многообразие (Ф, К~ окзьво неустойчзно. Ее~ми словами, для жоющктицх изотропно непризодимнх риыенозых однородных юространотв Я/ вопрос о неустойчкзоыгк всех непостоянных гармонических отобракеынй /~ ь (Л~, ~ ) сводится к Вицюсу" О Беустой%ивости Однох'О лишь ТОздестзеннОГО отобрвхекик .Хо~ ~ по откованны к Д~ -зввариентной метрике на Л~ Доказательство Уеореми 4.1 идейно аналогично доказательюВу теоремы З.Х с той разницей, что вместо взятия сиеда будет раосметризатьсз усредкеиие во дейотввв группы иеометрнй Д( . Пусть У - прокеволъное векторное поле на ЯГ, Д ~ тенеор призывны метрики ~ ка ф .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
