Геометрические свойства гармонических отображений римановых многообразий (1102751), страница 6
Текст из файла (страница 6)
рассмотрим в качестве меогообреевк ( у~/', ф) еемтлутое Мщогообразкв евклидовой сферы Д Г с вылущкровевыой третей к второй Фядемектакьыой форвй влокевкк В (в пареграре ыы будем использовать обоевачевиа ие тй2,3) ф6ДЛОЖВНЕ8 Ве 1 е ПУСТлчь ф. ЩХЖЗчльлОЛЬБВЯ ХИОДКЯЯ ~НЙИ ье ыетрека ыа Я~, М вЂ” гладкое рвмаковс мвсгссбревие, Ц. - ЩК)ЙЗВОЛЬИВЯ Х'ЛВДКИЯ ф~ИКЦИЯ О КОМПВКТННМ НОСИТ9ЛВМ В Я, ~": Я -+ (А~ ф ) гармоиическое отоб, устойчввое ва комсактвых подывскествак М (~М )с =)с(й',,б ) ~' = жаг1Щ+ ~~~' =(6М')' ~У "(~У+У)9+2 ~~~~ ))С, (9 4МВ ' П:о 4$Ф ффда дим 'Г' нмеит мйоио:овеина ~ я 'щ " '1им шщ~ " ', бивня ие % ревю К-~ б)КЯ) и.
+ ~ и~+4) /(' ~ Я ) ДоквзжФльсйВО РЭООЫОЩЗВ нв, ф~ црцщрщ~~щ~~ ои ф=Ы ~Я ): ~- еиЫЬ~ ~ем Р~ ° Оаенна ~Аб~0 будет получена иван ве „':: убиоиии 'РЖ~Г;акр) >О дин лабота ~~ ~', вне К ~ ~ Ь ) виорел Вйрвадна фичационаиа да риале Я К~~ ° д :,,,:, Я и 'тонне" ~ но нааРевлевао Й ~~ отноониельно К ш Ь ° Одределвм Р~Г; а ~ф ~ по форнуде .Ц ( о евниной в обоеваненннх ~ ва Г) .
Наловим ~и М - ~ 1 Га 4 ! ~Я л.З 1.Я=~ ~1~у~я~ -(у,~~,м~), 7,( У)=~ 2<[7а. У~-,аГ Ур.) ::-::~ РГ'М=х ~~~'1 ~~'т,Я. «,'.ИФ3еиюнРвм олед квеДРатнчнни Щорм .Та,,Х у в 2. ~ на :' а) 6. Х'б = К ~ ~ Га.1 ~, ~ 6~ Хд ~ - ~ к~У~ Г)а МГ1, ~9,Я $ '3:$, ,ь еелаетеа $брмулбй ~ 9,,Ц у~ й4=0 . фЯ~ф393~9ЯЬ СИЗО 4ЮИМН 8м Х е ЦЯЩф ф~), Я~Щ ~ (~~ Я ~~ Г~ж~ <Ф ~Р., Р~'~.~ =<'~,Ч'п~ ~1: вой ' ~ У~В' ~а®~~а ЮЮЮ '~ ь ф.: ~~~ ~У~~ ~ ~ ~/ ) . Тогда У ' ~.ь .~ = и.. Лейотвительио.
олад ивеиратичиой 4оРв уу ЭВИКЩМ 6%' ЗмбОДЙ бИЗИСВе ВйбеРВМ бй$ВО ебрььомаиии ортоиормвровапамй бозио в ~ '7'Ьг), и ~~. ' '"' ".У 4 $~ ьри ~ Ь М, были ортотоааЛЬИМ И ~'ГД~ ~ т Е Резва Иузи й етом баеиое требуемий результат очеиадеи. но ив ~3.3) ~'ь ~б. = ~ ! ГМ ~Й Ы = Ьь ~ У~ ~ й М Гс~-') ,„=~ ~~ ~7 < ~~, У > =~л Г Бг,~ = а, ЫваЕт з) . Рейдем и доиаеательотду пулата б) .Нв ламии 2.1 и $ор- . 5 ~ юи получаем, что .';: д~ю ~2 лелем в) . Очевддио, что доотатючио доказать олвдумиее: ~ б Я/ и лабота ЧГ~ ('С'~~Д олед по ой форма й ~~т) ~д 'у'Гу'~~ .
Ии имеем Я,ЮсЯ~рьк ° батай В=О, 0, 4 Я. ~ р '=ф~, иввтввйг ~3,йО~ и зеравеиотит М-йМ~т л~ М-2~/Ж УИИИООИЛЬИОи '8 ~ И,ф~+~ Ощ~® ~ОИЭЗЗИОе йвИИ6 9а 1 ЭЙО 3"ЙЗФЯЖДЬИК6 ФОТЬ ЧВАН ФЦЩЗЙ ФВ орели Р.бека и Е.рлеибви ~631: дли афера Я' ~ ~) зой мвтрииой ща ~(И/й+й ииаолииетои уело;„~~ й~), адла сФ ри Д' ~~ иниолеаето ~С ) . Слрчви Ы,~1, Г=З, и (7~~8), Г=6, змие неиим оледствием, дозезыиеотоа в Я о ИОЙОЛЬЭОЭВВФЭМ СЗОЙСЙВ ОТЮНДЩУФИОИ ИНВ~фИВИТИОИ иа дотвзе 9.2.
Пуотъ ~,Ф, л ~ ~ К - изометратеоЕИ6 КОМПЙИМВОРО ~Н$МИБОВЙ МНОХ'ООб~ЮЗЖК б93 Зфэй О ЗЙО ИЛЬМОЙ фО~ИЮЙ ВЛОВЭНИЯ 8 И фГНЕЦИВЙ 3ИИОЧВЧИОГО 1': оеициоииыи дрзмизи 4 1~-2 Ф:х Д. +й ув~ ф Г-Я и. И.-2 и-~ 2 :,:Ж-моораиеивй и ''',:":::,Ж Ймй ( юмах Я :8«)=, ч~4=в " 2ЫМн(~' М " ф воегда равреиима задача рдривле ,Б~ г"~ раоомвтривеемом олгчае К и олвдотиав затевает .Я;:;*' и йорнуле у на ~ ) ' 'Оареиелкм ~ ф) ~у'; ~у:,~: н $ ~'~/) во йоРФиам ЖЗ)~ Йч) и ~Д,~),.фщиа Р~Й'''М=) (6+Т Ф3+ТМ рщ у ммстрш свел квалраткчкнк форм ь' Щ 1 ~~~) Яемыа 10.1.
Имейт место соотнощекищ и) ~ч 1 = к.) /Га~ щц ~~ задается формулой Яб. 2~ 4) 1ч 1~ =О . Локавательство леммы 10.1. Пункты а) и в) устававлква у~оя сомршенно аналогично соответствующим цуещщ лещщ 8.1, йсвааем б) . По леюв 2.1 2 ~'Ц равно — (Рб, ЯГй;~, ~/)~; 9'ЩЯ~ тие 1б;~ - кроиевокьннй ортонормнроваиный бккис в канной тине .с6 я . Но ~см. фс1) след ка ф вырааенва вчк~7Рюк скобкак не больна, чем ~- 4 ~д 1),,ц ) ~о~~'1 Фт - Фуккыкн поточечного мкнкьщма секнконвых кравика :; и Х Ле,ащ ь0.2. Для гпнерпоВЕРниоотн ~/ и епкнпдб~не ,трепотне Д,. 4,, Д,=4 в где 4 ебеВначает ~~ууууЕЧ',НОХтО МВКОИ$фМВ С63щИОКИНХ Кравищ' ущ ф Д>~УЭУВЛЬСТВО ЛВММЦ ИЛе РВООМОЙРЗМ ЩККЩМИЦЖВО бИ- р „тороп Ею Д ( ~~71«) э наделенное еетестненнмм ока 'Ф- ~ прдщз8~6ниВм ПУСИ у~, ... ~у и (фтбнщ)мщювВнний ~т.,), в котором вторая Фуедаыентаньще форма пион, ф™,с ф ~по отновекев к едпвнчноер полн ыормамФ ррщщмввт еВКОничюсеий диВГОнвльний Вид ця„"-'з-;, Яуу .
1=Е.", ~. ж'у', - главные крапивня ф~ в точке ~, т.е, ~ танные м~ы~ фо~ Я . Т~гл~ ~б'; ° =ъ„лтг ° ~ ~ ~ ~,~ ~ ~, И. ОРТОНОРМЩЮВВННИЙ бЖЗИС 3 Е е ВВВД9М бмщщунув квацратнчвув форму 9: Е ~ Е-. Д, еаназэа~ую на раЗложимых бивектсрах формулой б~'млп,ь 'лп',)=- <' ~ ~и,чгЪ-',и ) Ф ЩОЛО4изэ~~ю пО линюйнОсти пО емЩОЩГ ВРЩНВ3ЩГ ив, ~- х ~ ~Ьмейа8 3.3, поскол~э:У тонэор кривизны Рищцщ Д = ~"~ для ф = Я, банно ~ 8ф; ' янляетсн собственным диа тммн 9 в прпчем ~с~~а~ '~ '( ' яплнется набором собст 36НКЫХ ЧИСВЛ Хек хорово нелестно (см., напр~щер, ~Хб1 ~12 ), секднон- крлпнзпа 4 ~'и,гг) ло напрепленнв плоскости, предстан- ~®®~~й Р~алоаииж би~актором и ~ ъ-„-Ф О, равна 4~и,ъ~ = 9~'тлям,и.тг,)/~ илщ ' "лелопательно, 3б ф) ~соответственно, Й ф)) равно мнннжм~ Г -оЩР6 б емма седана лврихве Я1)-Яф ййНВНИИ» прн етом т"с„,б (1(М,,фЕ„ е удюлкяются и Фм любОЙ метрики ствоотн 1 1;)с~и, К) < Е~ ной нлоневием,с' в Я О жРййй:чайки .
Ц1, Априорные Охюннж жуя 70тойчеиа >~~фр„дщНИЙ В ОдНОРОЯНИ6 аерОСТ~ИБСТВВе пусть фу = ®l $ компактное нестранно напри ое однородное кфОст~инстВО с ин38риштеой ~щтр„щой , тэнэор Рнччн Исс. метрики К санаев о ней ривэотэон Я~с = с К, с = сосна, б - мвншальиое ээбэтэенное значение оператора Лапласа-седьтремв ~-д) на ,ф~, б - ообственнан фукюЗВЯ оператора ~-ф с ссб мээющн значением б, У= Я'гЫ Ф, .ах ~ сг ~У1, ° сг~Гц ~ Ф",ф ~~,„Я~ Д~ = со„б~ где оф~ - ивварнентмэ нэ)а Хвора на ф в этом параграфе нн будем иопольэо- зйъ обозначения кэ ~4., Предимевне 11.1. Пуоть К - ироиевольван глкнкен метрэею 4', ~>=~сЯ,К) 1~ 1) = Я (р+р~)+яр1 дутую)б) ~ ухе нюбого рименова многообраеин М, любого гармонимсюго отсбренение у-,д1 — ъ (я~ К) устойчивого на комэмнни подннокествах я ~ ЗМ и произвольной гладкой Й.
с компактным носителем на М ~~Я 1-1 "~. ~„,., ~~~ . ,4~' ВЙОТЗИВ в ИО4фЧВ9И у.И ~у=~'а'й~ ~ ~г~.~~ М ееллется рлвевотвом Й. Л,) . т екаеж из леммы 4.3. Лемма ХХ.Х до им бОЯ99 зним876лькО 3'ФОЩ~В 3$$жЯ ~) . Еев аевество (ом. ~67 Г~~„У)-~ <<-аН-2с) Л~ сиОж ХОДКО АюйстЩЯЩий нй Д ~„ЖВЙсйз79т Обжймм ~ с~") д дла лаьл ~ = — 6 У .
Аействатемько а Дф — -а-ф . Поетоцу дла вевествого равевстш сМ и"~М= ы ~ же ЯФ)=-е- О 133 у ~Ф" „Т ~"~М~Ф ~л,у)а Ма Ми рЕМа й 2 л ДОКске Внае „„, что справедливость утверищеник теореми Х2.Х следует кэ ре 37льтатоэ клВссического Вари~- .;:- ~рого ис ~счисдеция, а прк О~й ри М~ -- Я - ие работм Лема ';" ф, венеце отобракения и изометрические миншмьиие едст~цуццуу собой щастейцЯе щ)кмерн гармоничесззх ~ж~~т~~ ~~~юсть~ М Г 1= ~М1 , повию также удовлетворяют проекции известиех Расслоеу,й Г: Кй'" ~Р', Г:У'"'й ЯР" ° ~рзин нз сщозетрнческвх пространствах с ~фи уЦ~ и- стандартяце ицэариантнне. доказательство Этого ~~~~~~ры дру~йи~ прим~ры ~грмоничы~ от'ображвний, рмзизтворнмиих условна ~ с~ Г ~ =сойер см в И * В заключение покакем, что одновременности выпоанения условий гармоничности и постоянства плотности 1А Г ~= й)и~ ~ ЗВУКОВ ЫОЖНО ДОбИТЬСЯ КОНфорМНЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ МЕТРИКИ ЕВ ОбрФЗЕе Теорема 12.2.
Предпоиолзм, зто Г; Я вЂ” ьЛ/ - кзометркиакое злскенне земкнутогс рнманова многообразна М в 3иивзсво многообразие ~7 . Существует талан метрика на Р заФ6инс зкввналентнзн исходной, дгл которой вдовенка г- :.'. ЗЗТаВМСЬ ИЗОМЕтрИЧЕСКИМ, яЫяЕТСЯ ГарЮОИИЧЕОКИМа Вжазательство. Поскольку средннк кркВизкВ злозюний Н~ ': зезизлезт со средней крввнзной подмногообразш ГРМ Ф0® Ъ» Яит8РаетЯЖе НОВИКОВ (;,Д. е ФОМ8НКО АЛе СОВР8М8ЕКЙЯ дффффЯ е е и ~цетщр~ и придсжеиияе-Ме . Н8Ячи, 1979. . ~жется ~ Т Эари8Хдц)ИВЫе МетОЯЫ В тОБОеиОХеИИе М, ' ЬфКаи р фдВнко 1982. ~~лдц ецберГ 3, М8Й8р Ве РимВБОВВ Г8Ом8триЯ В ~р~Иой ° ° .„у,: Мир, 1971- у,, Яодудзу К, Осиовы Дифф8ренЦи8льБОЙ Г8сметрии М; цщ'Яае 1981 е ~ ~анси ф, КомиДВУ К Основйй ДиффереВЯКВльнсй Г8Ометрии ,2, М„: Бвука, 1981.
-' ~ оооо О, Сраиетрические прсстранства- - М.: Н~Ц'каи 198б. ~, Мидцор Д~. Теория Морса. - М.: Мир, 1965. 8, '„~ддаНКО А.С., Фомеико АеТ» Бурс Лй~фер8БЦИЗЛЬИОЙ Г8ОМ8трИИ а тоаолотии. - М.: Изд-ВО Моск. Ув-та, БВО, ДШОЛНЙтЭЛЬИЫ8 ХЯЗЗЫ е М е ' ЕВД ВО МОСК е УВ та и 1 983е иространства. - М.: Мир, 1964. Б.
Барут А., Рончка Р. Теория аредставл8ний ГРупп и 88 приложения. т.1. - М.: Мир, 198О. ~. Вмо М. Основы классической теории потенанла. - М.: Наука, 1964. »П Пурбаии Н. »рупии и алгебры у»и.»лавы Я вЂ” Й И.: Щ, ж2. 4' Переели Н. Группы и алгебры Ли. Главы Д вЂ” Щ М,: 1,пцр, 1сщ 1978. ХЯ~ МЕЗОхата Се ТеориЯ уравнений с частннми ЩФМВВОДними~ ' и.: Мир, Х977. 19. Госида К. Фушциональнмй анализ. - М,: Мир, Х967. 3О. Ц~бин И~А ПсеВДОДифференЦиальные операторы и спектралькм, теориЯ. - М.: Еауиа, Х976. 31» Альбер С.И» 0 Щюстракствах Отображений В мнсх'Ообрвзие отрицательной жривизнн.
- ЬЯ СССР, ХЭ68, т. Х70, ЮХ,О.ХЗ-Х6" „=:-". 22. Альбер С.И. Тополотин фУнкпиональнш, мно~ообравий и вар шционнО8 исчис ' ение В целому УЪБ р ХЭ7О у т е 2б ~ вин» 4,» двумерные 3юдели теории пОля, интех"рируемке методом обратной задачи..- ЖЗЯ, Х978, т. 74, М6, с. Х953-Х973. Мантуров О.В. Однороднне раааовм пространства с неприво- ЛИМОЙ ХР7ППОЙ ВРЭЩЕНИйа — В КН~; ТЕДИ СЮМэ ПО В9КТ» Ж тена.
анализу. - М.: йщ-во Моск ун-тж, ХЭ66, вип. ХЗ, 26. ПдУкников А.И. Нежоторце свойства Рармоническех Отобрююний в случае сфер и групп Ли. - Д4Е ССОР, 1983. т. 268,М6, 27» Плукников ~ И Задача ' »еимимц»ии Фужкционада енар~чщ»- М,, 1984, 4О с. — Рукопись нреДстВВйеиа институтом проблем управлении, Москва. Деп. и ЗИБИГБ 1 аи. 1964, $ 5584-84» ~8. длужников А.И. Некоторие х"еоиетржческие свОЙства хармощческих, Отображений. — В ке». Труды сем» ]о вект~ и текз анализуе М» Изд ЗО Моск» ун тй» 1ИЬ» вып, 22» с» 132 147 28, Тырин- А.З. О свойстве отсутствик локальных минимумов у многомерного Функционала Дирихле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
