Геометрические свойства гармонических отображений римановых многообразий (1102751), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Длн любой точки у 63/ кого юо отиоаеивм И Метрике й отобраиВИМ Г По креи ,. О®~НИй ЗеЗ ~Ъу;~у)~Р%ф гк МФ, где ~ =,~~Я ~ ведаетол Формулой Я. ьх ) ° меметлмв что ~- 0 юри,РЯ,Й-' О ° ИнтегриРуя аолученное керааекстзо до естестэенноцу дейотвви грувюи Сф и коюольвул (Ф.
6 ) ° иы юозучаем ~ г'басф.Уф) ~у ~~О Иу,г~р'д) ~~ р~ Преиюолозвм, что отобрваевие ~ ие иоотовыыо. Тогда 3 ® )О. рыбарем Е)О ыаотолько маювм, чтобы ив ~3ф,~~ <.г оледоввло Я ~ 14 г ф . 2~'(О . тогда ив Я. 7) юолучаем 1 ~'~ И; ф~ Й~ 1 ~р < о . Следовательно, оуиеотвует техов ф. б ф, что У~Я Д~ ~~еУ3~) с'О поетоиу ьиб~ф)>о ТеоремВ 4. 1 ДокззВБ8,. ОтМЕтИИт Что УтВЕРИДЕНИЕ НЕРВОЙ ~~~И ТЕОРЕМЫ 4е1 йия З6ПРИВОДИдбМХ СИддМ6ТДИЧ8СКИХ ПРОСтРЗНСТВ ОлдЛО ПОЗДН66 ДОКВ.ЗехЯО в ~681 . ВОВРОс О Вн~~сиееии ивтекс~ тож~естВениого Отоб~~жеиия кааактного риманом многообразия иа себя рассматриввдса Р.Т. Скитом ~бт1 . Сюит юокавел ~67~ ° что дли юроотрвиотв Эйиитвйиа (т.е. таких ркмаковых мкогообрвевй ~, длв которвх теивор рлччи йс, равный юо оюределеыюи И~с ~и, ь,) = ~ и ~я ~м ) о) ° краток метрике К на Л~ ь ~ ХЫ~- шрв аойрб С Ы.Ы.Р3).
биркделмио б.х'. бвявноа ршмвво «Йогообрввзв я~ иаэниаетсж ложйльйб сзмм8тЯЯВскзжр емй ФЯ ЙэжВЙ Фрачки ~~ дГ сумаствувт такая окрвотиооть И точки ф и такая инркцрщизиая изометрая -Ь: У р У,-3 =,~~~, ФЯ ВотоРОи Ж иэойирозинняя неподВижнзж точкВ' Свквноа рванозс ыногообрааке Л~ называется ошмотрвчаским есной' оно «иокалъко симмещическое и 96ли д4я жэмдой точки убЯl и качестве окрастности У юино внять У "Ф Хорсаю иззестно, что поиное одиосзяеное локально сиим8трачоское вроотравство авняется шааетрзчаским ~101. Отматш.
что связная компактная груаиа Лж с ишариантной метРикой пРез- фаЩВЭТСЯ В СИМЗветРИЧ9СЙО9 'Щ)ОСТРИЯСТВО Симметрические пространстйэ дощижзйт щюдстзВЙееие В зиле ~= Щ~ф, гда ф - связная грунин Лв о няволвтив- рр О совпадает со связной компонентой единицы подхруппй ° Пусть ,ТМ вЂ” груана всал квонотрий свивтрячоского щюотравства 3~ . 2ТЛ~~- груша Ун. обозначим через ф=.2" Я~~ озлвйую компоненту единицы етой группы. Тогда ксеаиктное односаяэвоо симютрвчэоноа Пространство ./~ зродотавнзю в видо Л~=ф/$, где $ =~ф 6: Оф)=й у - стяциоварвая нолгрунна. Пусть О =('а~ ), - соотватотвумлкй 9 зввслвтязний автсморфявм ялгабрв Лн Я = ~чбтр . Тогда нод~~лгабра и = ~'Гм.) являатся мяокоствсм яояолввинык точек автоыорфизма д Я- ~ Я- л змоат мостс равлокезяа 5. =Н+ Н „ ьмо Я =~~~Я: ЯЯ)=-~ ~ воино отокностввть с ~бататовым щоотревотвом ~чф )у - ~ ~ едеов: В 1 ф-еф ф- вавоввчеОВВП 3ЮО9ММП» м — едввВЕВПП Вдемевт йррпвм Я» дрвщ тото мшоипввтов ооотвопеыев ~Д ф~сЯ Я.Я~ сЯ ~ Б, 8~ с Й ° в еотеотвеввое предотввиевве отациоварвоп ВОДВРРВПВ Я~ В ~ ~~ 3~~а~ ОтомваотВВВетОВ О ПРВОООДВИОЫВЫМ предотаввеввем Ф ~ ва ввоовоотв К бииметратеовое цроотрввотво Аl= ф/ ~~~ вевываетов КЕНУИИОДИ$аМП ЕОЛИ ПРИООЕЛИК6ННОЕ НРЕДОТаМЕЯИЕ а~~ На Я (Воровдеввое ооотвовеввем ~Ц,Я~ сЯ ~ Вепрввпдвш.
бтва- ТИМ, ЧТО Н8НРИВОЛИМОЭ ОИММВТРИ%9СКОЮ ЩЮСТРВКСТВО НВШЕТСК Веотропво иеприводюым, поововицГ еоли бы Я~ быво ыриВодвмо, то ос~~~ - с~Я~ш.) тевве бпло бы првводвывм, в что ЕСЛИ НЕПРИВОДИМО8 СИММВТРИИХЭСЖО8 ЩЮОТРЗНСТВО ОПРЮД6ЛЯВТОЯ ХРУХПХОЙ ИЗОМ6%7ИЙ, ПОЛУЩЮСТОЙ И ОДНОСВИЗНОЙ, И ИНВОЛВТИВИЦМ ВВТОМОрфИЗМОМ б р ДЕЙСТВ)ЧМЦИМ В 6ЛХ'9брв ЛИ Я е ТО ЭТИ УР7ППЭ ЯВЛЮТСЯ МНКСИ$6ИЪНОИ ОВНЗНОЙ Хор,'~ППОЙ ИЗОМВТРИЙ ЗТОХ'О проотревотва ~ ом. ~10~, ~16Д ввпомввм, вто еаывв7тот рвыавово ывотообраеве,ф ыаеы- ~йТОН НЕУОТОЙХИВНМВ ЕО,ИИ НЕ~~ОТОЙЧИВО ТОИДЕОТВВННОЕ ОТОбРНИЕНИЕ .Ыр.:ЛГ,Ф' ПРВДЛОИЕНИЕ 5.1. КОМЩЦКТНОЕ ЛОКаЛЪНО СИММВТРИЧЕОКОЕ еы 73 4~» в перово вевеотвмвв ~ам„вепршер, Я, фб1,Щ йв опусвеем ик Одисапие» носколъщ' Они нам ВО сущестщ» не нотРеф3йчж Пусть Л~ ф~ф - простревстло тяпа 1; тогда опростав вомвавтвея группа дв.
пусть (~, Х ) м-~ ф,~ас~ оа~ )- полоаительно ОНР646ленная Форма Картана-Каллинх а иа 6»- Я- = Б + Н - реалаеевве алгебры Я, определяемое ввлолю- ТИХИМ аллТОМОРфИЗМОМ 6' е ВОЗЬМем ОХчРВНИЧ6НИ6 ФОРМЫ льаРТЭНВ яидлинГВ на 8 и Разнес6м ех'О щж ноэкици естественнох'О действвя ф ва все мвогообраеве Л/ .
В овщ Яс~~, ввеарвевтвоств термы Картава-Евллввга ыы получим ф-ввверлеятвую метрвлу ва Л~. ббоевачш ее череп 1 . По явнее 4.2 лпбан друх'аа -инвариентнае метрика на получается из умножением на оложительное число. жслв Л' = С~~ - проотравотво типа И, т.е. проотея лоыпевтвея группа дв, то в качестве мегрелы К ва ф воеьмем мет~йпЯГ Картена-ВУ$лиех'ав заджВВемфь Щи хОИОВи левнх сдвигов ыа елеыевты ф Форме Еартева-лплллвга ва Й.
° 1руппа представляет собой непрнводимое Симметрическое щюстран- СТВО ", ХД6 ВЛОЗ6НИ8 является деаговальввм, Я~ — > Сф, ф), а внвалюпвя Ы ведается простой переотевоввой 9:~~,фя )~ г~~ф ял~ ° По лема 4.2 метрика ~ является едввствеввой с точвостью до УмнозениЯ на число бижнзахпинтной метРикОЙ на Поскольку тензор Риччи ~~~ на пространствах типа Х и П такие -инзариантене тО по лемме 4 2 эти пространства яммютсв простревствавв зйввтейва, т.е. Ю» = с а, с = бове~, ~снстанту С моано указать явно. лемма 5.1. В внбрзВИОЙ нЗми метрике ЕВРтана-Киллинх'а „Э„РУ ЗО, С~'Х~Й е .ВВЮа ЩЯЦИажае ф~ру.р)щ(Я ТЩИфЪ 3, '36ДЭЯ9 3НЧИОМ6ЯЗЯ ОЯВХЩЖ ОИЩМйЩ~В лапласе йельтрамп 1 Д) Рассмотрен сначала ачуеай: прост ц~ур узаа ХХ ( Т$ф33п Зе,,у- ~у~тЬ - И~О<йаа аОМааИИ~Я ЮЗИЗИВИ ОЖВОСВЯЗйийдь ~РУ~~ Дв, Я- — ее алгебРа Лп, Ы 1 - опепвтор Дюхчаоа-Ваш~ рмм метрппп лаРтена-Ппаинга 4 на ф .
Пех хороне зевестнс ~ом р напрзмерр ~2$~ р гзльбертсво сространство ~ й (ф ) комплехспо-впачных 4увщай ла ф, Ь -п~ ~ВРРДРУВМЦХ ПО М8Д8 ХВЙ$Ж ВВ е ДВЗЛЖХВЮТСЕ В ЩЖМУО Ю~®У сссствепвнх псдпростревств Оператора ~ 3 ~ в оостслмпх , Д фУ Цвка Щ,~ДЩ)=фЕб-,6~4 ~'-Ю. Согласно Результату Р.Т.Санта ~67~ ~см. понед $4) и лемме б.й ь' ~ ~Я.( ~ Л «'-Е.- .
оке с м~й ущипа ф действует на ~,й ~ф) ща помощи левых сдвигов ветс представзенпе гячшВ ф навнзаетсп 'Фвпнм РегуларшаВу он 111~). Поскольку Й» — групва пвометрвй метрнхп К на р тО Е~; — ииЯВЙОЯ ООбстВВнБими пбдЩюсй~жкстВЭий Щ)и л83Ом ~ЙЩ"лЩ)БОм ЩЯДО$'3ВЯОЯщ, Т3кЯм Оф330м Ящзщ~О9 в слов очередь, равлегаетсн з прямую сунну непрнводпмнх вредОтйВл9еий х$ф2пи, БОЛЛИ тОщ, пО 36кОЕЯ' 339,имнОсти ф Фросенвуоа кепдое неприводвмое предстазленве груша ф 1 сОЮРийса В левом регулириом нредстаздееки с краткостью, Резной его размерности «см., пепрзмер, ~11~, ~Гф.
Евх хороно лэвестно ° паздому пепрввспзмсму представленпв ~; ф — ъ ~ А1 (Е) груша С~~ ооответстпует непрнводзмое Щ представление ее алгебры ~у , 'Д. ~' Еис~ ф~, првчем 11иьрй ФВ фф::$5В ~щуэеуаФЯВВ: ЯВЯВФФчзй ээииинФ «ЩзщэмФщдзЦ."-Щй-:.,3~~~.'': . ' ~рюа~ЭИВПусть ~ 64. ч чан ~ ортоиорчийочмамй бааио' в Ы ° уляч провавочьиого щюдотаваепяв ~у: Ы -"~ Бы~Ге,) опредачтся оператор Мааимира С ~'Мг~ а Яма~ ~Ц по йорвуле СМ =-,Е г'йд~йО . и ~' щр и тс ~см„пащявюрр ~1ф опвратор Сф~ Отвлврсвв т Вт ПВ=' у'~ ~ы Мсима 6.2 (см., яаирпмар, 1бф.
Моли преаотавтэвио ф — Ь Яш1 ~'Е) Е ~ ~я- яазаегоа падпредотавяввиом лчвого рчгулхриогс прсдотввлаввя, то (-Л~~~ = СМ3~ ~, СЛЕДОВатМЬВОт б = С ~ Тахзм образом, спектр оператора ~-Л,~ па компахтной сдпсспяэной группа Ли ф совпаяаот с инохсотвом ~ с,: (у'- яепрзводямос предстапаеиие алтэбрм ~з- ~, а хратпость соботзчиаого зваяеяия б 6 Дэнс ~'-Л) раааа сумме ивадратов резмчр- ВОСПОЙ НВщЭИЗОдИМНХ щЮдОТЗЗЛ9НЖЙ ф~ т дЛЙ 3КФСфНХ С уу — 'у е Пусть Т - подаагсбра Мартана в Я- ~ хасательпсе 1ОДВРОСтраиотпо х мсхоимальвоиу тору и ф ) . Рассмотрим хомазчпспйикепип ~~ алгебра Р . Папомхям хороио известные ФОЙЕ из тВЩи$и Щ)6дстВВЮЮкий Щх)бмых кбмпзВВОВнх 6лР8бД Ле ~си, папрвмер, 1153~.
Рассмотрим сиотчму хорвей К отпоовтачьис Г . Эломеитм К являются лввейвямя формами па (Г Т с чжсто мнимимк значенащи, аоэтоцу их удобно рассмвтРивмь 3ак элементы сонряаеиною иростраастза ~~ Г Фиксируем мнсаеотю щ~рстщ~ ~ррнеа а ощ~ецу цодожтельщи корача Й+ отиоситаяьмо хааоторого лохсаиогрв$аяаохогс упоря- ф$»» йо втой аивв и даме о.й,ьр вс»-Д ) оампьявв о ~аояпстмяя ~ с~у: у' нварвппжвмпв нрадопавпввво б» ~ вхо дпаоп в ~х ~ ф/ф ) ~ ° По шве»ямой те»рома взавмвоств проб»пну»а ~ см ° яапрямарв Ь7~ .) маарвводвмоо вродопавааяво груням $~ мподвт в и',и' ®,/ф,) тогда в топав» тогда, яогда в промпрапства прадотвзаавв щяпоствует Р» ф) ИЕПОИВИИЕИЙ ВЕКТОрп ПРИЧЕМ ИратИОФХЪ ЖХЩЦЕНЕЕ Раина ЧИСЛ7 ТаИШ ЛИНЕЙНО ИЕЗИВИСИММХ Векторов» КРОМЕ ТОХ О и ИЗВ6СТЕО ~ СМ» и яппршор, ГПЦ.
что»опм Л~ = ф/$ - яоавяятаое сямметрическое пространство в тО эта кратность Резиа йтпх, для пвчясловяя ди~ Ю~» г ) яям нообходямо аэ всех яопряпояпмых продстааяовнй т' группа 6~~ вндюлють т», у погорят соть т' ~ $) — внвараавтвмй ненулевой вектор ~тапво называются сФерическими представлениями ) и затем отобрать из них те, у которых Су< ~ . фмма их размерностей и будет равна ~ "и~ ~ХЫ ~,г) . Задача нахоядоввя ойорвчосхвх представяоняй рассматряваяась ощо З.Картавом ~И~ ~см.
таяна ф) . Донно считать, что яартаяовсяая водапгобра Г в 6' сбде9иит нееотОРУВ фиксированщж максимальщ% абелеву подзлГебРу Ортогонального Дополнекик Н в Я пО метрике КартанаИижлинГа В этом с4учае старпие веса сферических прейставлеиии Обраэуют пОДРюшетку в Решетке всех ВесОв алгебры бг с ЯВКО пшвснпаомнм базисом ~ом.
9ф), элемента вспорото напмввютса ФУЙВментальными весами симметрического пространства, а их число Разно Рангу симметрического пространства. Чтобы уменыить ьячясдонвя мн воспользуемся памечанм»м А.И.Плувнвхова Я ! иэ всех неособых компактных иеприводимю~ связних и односвнэных ~иыметРичесеих ПРостранств типа 1 дюусвазнцми Являются в точ- Имих Оимметр~6Оиих ЩОЩинФтВ © 3йфчиОйчйВым ФМВФОЙВеииФФ огобразвнвем ~без точного недочета смет Щ ~) ) бина ввонсвровена в И ИЗ %"8ОРЕМ 4е Х К 5» Х БЬйЕЕВ6Т ТИИО9 блевотине 5.1. Пусть ~ — одвс из пространств пуввтов теоремы 5.~ с ввварваитвои метривод мл .
тогда Оуиеспует тэеО6 число Я>О, что ддн двбОЙ глщкой метРиий нв 3/ вз с -окрестности ~К: ~'Я,Ф,) ( Е ~ ветрввв Д рвмевово юогообразве ~С~, К ) лвлнетсв оивьно иеустсйчизым РОЗУЛЬТВТзавз Об ОДНОМ ИЗ ЭТИХ ф)ЧПЩИОНВЛОВ Д 66 ИЗУЧЕНИЯ ДРУУОХ~О е Пусть у': Я -+Я'" - взометрвчесное влоневне нозмвит- НО~О РИМВНОВВ МНО~ООбрйЭИИе ТО~Дй ИМЕЕТСЯ ТРИ ~СИНТИЯ ИИДЕИОй: ввдевс товдественного отобравенив Я ~«млДЯ з) ° нвдевс ЙЫ® влонення ~: Я <-~, ~7 н индекс подмногообрззвз ГДМ~ сЛ~ в смысле Щуннцвсваза обьема. Обозначим воследввй индекс через й4'ч- ~® . Нвпомивм его определение (см., например, ~64Ц, Пусть Д' - ОВяэность Леви-ЧИВита раеяоюй метрики иа .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
