Геометрические свойства гармонических отображений римановых многообразий (1102751), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если тоадестюеное отобреиевае .~ЦО: ~Ф, д.' )-е ~ ~~~) неустойчаю, то римвиово многообразие (~~ К) оазью неуотойчвВОе и, крОме тОх'О» нзйДетсн тзкО9 Е "О е чтО Длн лвбОЙ м6тРики ие ~ -оирестности Я :рЯ „ К ) ( Е ~ метриии К ременово многообразие ~я~ К~ такие сально неустойчиво. ОТМ9ТИМ, ЧТО СОКРЗЩЯПЩЗЯ ~УМ9НЬЙЗЮЩЗЯ ПРИ 3йИ,ИЫХ ~. ЭНЗ%9- еие Фуепционелв) иаривяии ~б .' Я -г(Я~~ К ) отсбраиениа Щ й$В я~у МИФ, иапвзвкс матрзисй, по Отзомаззв е которси. ОтобрВзвмва .Та~ ЯВЛЯежсЯ иеустойчизим Отмвтзм~ что псзозитазьибсть зидвкба 4~и~~ Ь~ ~Д дзи простраиств ф- 3) .Зв форыузирсзек творвм 6.1 м 5.2 утавша О.Т. Смитом ~673 ° приведем некоторые примерк гармоеических отобуажеай сш- МЕТРИЧЕСКИХ П~ОСТ~аНСТВЗ КОТОВЕ В СИЛУ теорем ба2 ОК9ЗИВйМЙСЯ нщ"стойчмВими: Отображения Вложения кщй'ажозских МОдЭлей Одиос- вявиых воприводимых сааютричвоких проотрппствф' Щ -О ф, где Ду=„5'Р~и),й>х, изи ф=Дэ( к~; впозка гаодвзз- ческие втокепип торов в пространства Ц- 7~ ~см.
Звие), петраззвзьииа гсмомср4камм зсмпаеткмх групп зз в группы зз фр(ю) и ~Ц~и.~ ц )2; гарыозкчеокио реализации Озаыеитов гомото- ПИЧОСКЗХ Груии ~З~ „Ь ~П= З,~ ...,Ц~,'р Ц'"т~ рп ч ~,р~ иостроевкые Р.Т.Смитом ~661 . Б $6 устанавжаается слазь между Вторыми вариациимн функ- ционйлОВ Дириию и Объема для 3июлне Рюодееическйх иЗОметфических вложений. Теорема 6.Х.
Пусть ~: Я ~ф вполне гаодаввчвопоа изометрическое вложение компактного риманова многообразик М- Тогда три ипдакса - ИВДОКС тсцкаствавпогс отобракапвп Ы~7О~„~), ивдвкс ~~и~® взоаапзп ~Т и видоке Ы„г ~'я~ подыпо- гообраззп ~~/фС~ в смысле ббвздиоиача обьамв - свивввм СООТНОЙЮНИЮМ ,',,р~® = ~'ы.с~ ('2с~ ) ~. ~~ь:~,„.
~'/Ч ) Инт999сним щммошнием ЗтогО результи'.й яВляются Возыо3~ ность устанаВливать неустойчиВость В смысле 47нецион9лй Объибй НЮКОТОРЫХ ВПОЛН9 ГЮОДЮЗИЧЮСКИХ .ПОДМНОГООбфаЭИЙО ~ПУСТЬ, БЗЩИВВР, ~С ЮЗКЛЖК ОЮМЮЖСИЮ О ЗАРЮ.ГОСЯ А ТеФОМЮНК взй ~/ 21,22 ИЮНИИ ДЛЯ ОТ ' РЮЗ)ЧПзТЮТ ЧЮРЮЗ Х4 ч,моррв ~663 в его аосаазовзммзх по двумерной задаче Винто. В 1971 г. А.т.йомемно ~331 дзл монсе доназатвльстао взвеотной ТЩКЦФХзИЧЮСКОЙ ТЮОРЮММ ~НЖТЩЗНОЙ ИЮРИЩДРВЙОСТИ ВМ~ТВй ВЮЗИфй РОЛЬ и позором пгрело Янно ВОстроевнсз в ~331 гомеоморфное Ц ~ьъ) СЮМЮЙСТЗО ЗПОШЮ Х'ЮОДЮЗИЧЮСКИХ ОТОб~МйИВИЙ ДЖфЪ|ЮРЖОГО ДИСК Д) оной матреной) в группу Ип Ь'И' ~2ю. ) ~пь Т') . Это ТОбРИЙЮЯИЙ РЮВЮЕТ 34ЩВЧ~ ДИРИХЛЮ ДЯЯ ВПОЛИЮ Х'ЮОДЮЗИ- нна оирунвоств ~/ .' 3З вЂ” тЯ Й ('2 л~ ), нродоздо мопоюр$взма Щ ~Я ~-т 5'Д~Ит).
Иах повевал О, ЭТО ХЮ СЮМЮЙСТВО ОТОбРШЮНИЙ СОВПЮДВЮТ ТЮКВЮ С М МИНИМУМОВ фЯЧИЩИОНЗЛЯ (Я Н9 ЩЮСТ'РЗНСТВЮ ОТОбра; ЕС~(2~,~уф )):~~ т.=М~. 6 г. Р.Гемнльтон ~46~ обобщил результата С.И.лльбера Ид.Власа н Дн.Семссона ~40~ ва многообразен с краем в РЮШИМОСТЬ 38ДИЧВ Д$фЖХЛЮ О ХЩВКИЯЯЮСКОМ РЙСПРОСТРЙ обревеннй в ззмннутой емогообразве Яl венололнонной нрню~звм прн любом М, '3/Ч ть~Р ° Вевнмй получнлп йиьдебранд, Иеул н Вндмзв ~47~ . Обозначим (~~ геодезнчеснвй вар в ~К вокруг некоторой ючкн "Р' И' А~ Редвуса ~ >1 в лазаний н нормальной охре стюств лнбой вз оновх точек. Пусть О' ~ЭЯ ~ С ~~~~ в ~<%Я Д где юстоннвен Ф >О мзворврует функцию двумерной крвнвзнн ва Л~ . Тогда в пространстве ~~6СИЯ ~/) ° ~~,И -~у~ С~~ЮСТЗУЮТ МИНИМИЭИРУЮ6ЖЮ Ф)ЧПа~иОБЮМ Я ХВРМОНКЧЮСКОЮ ОТОбРаювне Г, првчем ф(Я) ~ Я~'~) В 1332-33 гг. Р.Ион в И.улембек ~61,63~ цостроаи теорнв, йиОЗЗОЛЯХ%® РЮШВТЬ ЗЮ_#_аЧУ ЛИРИХЛЮ МЛН ПРОИЗВОЛЬНЫХ КОМПажТВЫХ Рнмзновмх многообразпй Я~ * Их метод, кратко нзлоневнзй в ЗТ, таерЕМН 9.1 Окадуат, тте дпв тап НЕЛКК Р~ З~Фт;5 Ф д!ПИ ~ъ | Ф- ~/Я ) ° ° '~Х .
р Я~ рэащащазеетаи олучвй, юща эеенУ~Оэ Фм~©з~ мкогообраеке ~Я~ ф,~ пеометрвпеопв пленено в отеРУ тъ и в качеотве метрики К па Лу беретоп ~рокевоиеваи главнее цщрщщ 3 ЩФДжцщкВЖ 9 1 ДОжззэий ЙЩЙВОЗжйя ~ОФн~~в Р~©:~®Ф ваеного вида, притек ооответотвутпиае Фтмпние ~~ е УтаотвУв- а и етой опенке, опраиелиетои оледумпим обратом. Пупа В ууорак фунДамэетйльнЭЯ фО$жй зж$Вэник ~к ~- р3 ° Й~©з~~" у=рС4,К~, С= у !!ЯН+ ~к, кк)=иаир) 2У ~т'Г)й'2Р"!!в!! Яс, ~ =", — ~1/'~т'. к То~~~ ~- =0 ~~-<"СИЯ))/~"~'~)КИ3) . Отметим, тто прв К = К Теорема 9.1. Предполовим, что при векотором Е>3 з Г-г 'у Ъ И+2 !!8!! +р)— Тогда длп римапова мвогообраени ! Я1 К ) выполнкеток уолоппе ~С„,„;,~р 1 !~ и, оледопателъво, при ~и < т!а !Е, Ы ~ дли ,Д Щ, любого компактного рвманова многообравпк / "1 о краем воегда 36зРВшию 36ДвчВ Д3Ц)Мха О УЩВюнич8ОкОи ДВОЩюстрВКОнии ДАВ отобракевпй в (А,~~~ ) Следствие 9.1.
ллл оперы Я Г) со отакиартмой метрикой ээдвчэ Рдрввчв зсэтйи Рээрэвзю зри с~мт~Мбэчшф, йтй~. сйЭдбйзйф 9Л» Пфй' 3ЙЙРмнфниж ~'сЯ0зий 2 ~~4;Г/Я+й ~ ГЯ 111 у~ ~-;Я К "1 ~ ~р ~у для отобрвнэвзй з (Я~К~ всегда Рввремвв эвдвчв Дзрзкяэ щ>з с~ьсч /Ч. ( мчи 4 Г ~~ . Ояэдстззе 9.4. при ~4'~п+фЯ ~ ч ф 5' ддя сйерв ф Д со ствдвэртной ютрпкой К ивйдэтоя тозов чзсзо К )а что ддя дэбой ютрзк Е зэ я -окрэстзостн~ф:рМ,Е~сй~ ддя отсбрвкэпвй зЩ в' ) прк яо'ю~б~ воэтдв рвэрвиию ЗВФИа ЛЙРИХИЕ О РаРМОНаЧЕСжа РаСПРОСтуаКЕИ1Щэ ОТМЗТИМв ЧТО ЗОЩЮО О ~аЗРЕЦЦЩРРУ® ЩЩУР~ ДПШИЦЩ ДДЦ стсбрвчэвзй в сФэРТ ~5' со ствнквртвой метрзкой д рвсоют Рвввкся Р.роном з Е Тлэкбэк ~63~ . Имн докээвзс, что эявввв Пэрзкдэ РвэрвниВВ прз ЙРп Я ( ~уц ц~ ~/ ~П +~ д ~ в ддд сйэрв (Ф, ~3 - Рвэрэмвмв з Рввмэрности сйт М = 3 СЮЭЯОТВзк9 9э1 ЯЗМИВТСЯ %ВСЙКНИ О~ЦГЧВЮМ ВТОРО ДВЗ~ЧПЮЭЙЖ С эдучщзй зрзкэр Кгэрв з Кэуза 1481 пошнвввт, что ддз с$еры Д ~ со отввДэРтвой метРвкой зв выполпнэтсв Усзсэиэ ~СР,) .
Прочь ~~=(хЩ: ~х~<Ц в>З,А1=,5'~ ~~ ~у,и.): ~~~.т. =1~с%, Г:3.~о~-ф ГЯ,~ф,о~ ~И~"В",~"~ ПРа И- ~ 7 отобрааеиае ~Г яалкетоа маамызируиКам з Я ©~Я~ Г~, ) о особой точкой н 063 ~см. ~481) ° В $1О ~9з~зьтйтм, йБййОУичные мзлОмэнным В $9, дОВззмймФ- ся дзя счучвя, когдвф К)япдвэтсв замкнутой зэомвтрзчэскв : ззс*эвпой гзпэрповэрпвостэм з эзвзвдсэсм пространство К""' Ф$в и ,фф, фф Я,Ф "+~ ~ а а вреыеиия ь~~=1Ф - ум,б )е Ж: у~/~ +уде..+у ц~, ~ >О, с иядуыаровеияой метрикой К Пусть Г -. иаяое число ° рцЦР~В 3 ~ 3ЦЗМ 5 . ПОЛОМЗМ бтемтим, что а у=б.
при к=21-2,2„~с1 пра Й>28-2 и убывает, стремясь к (Г-2)Я'И) ври ~-е с'о и йаксвровеиком ~' . Мм доказываем в предлюаеаяв 1бЛ» что при ~ ( Д ~ ~/П ~ у~> ~~-Я всегда Разреивма еакача Пкракле для стсбреаений в с~ю при Й1и Я ь 1. ° причем прк микол ~-'Ъ невка строгого неравенства Е „, Р ( д ( с/Е „ УТВВ~ИЩВНИВ О Р83~38ЖИМОСТИ ВЗДВЧИ ДЗЦИПЛВ ЩЮЛО4ИЗВТ ВЫ ОЗНЯТЬСЯ для любой метраяи ь из некоторой П -окрестности ~ К: ~Я, К) < Я ~ метрики В $11 ВЩЖОРНИВ ОЦВЕВИ ДОКЖВИЭЗЖСЯ ДЛЯ УСТОЙЧИВЫХ ОТОбРеаевий ~ ° /1 -ьф в компактные изотроыио-непрвводимые ОЛ~О~~ЛННВ НРОСТРВЯСТЗЯ С НВУСТОЙЧНЗЫМ ТО®ДВСТНВНБШ ОТОбДШВНИВМ 2,С~.
е ПРОВВРЕЯ ПОЕЯЗИНЖВТ е ОДНВКО т ЧТО ДЛЯ НВЩИПЮЛНМЫЖ ксмяектяех симметрических щ|сстраыств, отличных от сфер,.~ И,>з . Усяовие ~) 4~Г-2 Я~-М), необходимое для ПРИМВНВНИЯ ТВОРВМИ 8» 1 И ДОКЗЗВТВЛЬСТЗВ $ФЗРВБИМОСТИ 36ДВЧИ Лирвкяей не вывслняетоа ни при кОВОм 8>Я Хем ие менее ° из ПОЩГЧВНБОЙ 8НРИОРИОЙ ОЦВНЖИ СЛЩЦГВТ ~(Же Щ)ВДЗОМВНИВ ПеЗ) ЯБНЙЯ оценка сверху на значение ~® дли любого гармонического ОТОб~МИВНИЯ; =-;р, ОДБО$КЩНОВ $ИСЩОСТ~ИНВНЙВ Р~) ~(М~!) которого уотойчиво иа мишактных подыноаествах Я~'~ (0~ .
а такие следущий результат. Предлоаение 11.3. Пусть ( Я~ К) - одыо кз непркводимых ЧМТО ВСТРВЧЯИ$ИВСК ОбОЗН3%6ЕИЯе К ЙОЛВ 36ЩВСТВВВНИХ ЧИСВЙ$, воинственное к мерное линейное прсстранотвоь СИВбЖВННОВ СТЗНДЙРТНЫМ 8.8КЛИДОВНМ ОКВЛЯ~ЖЫМ ЩЮИЗВВДВИИВМе уь1 ф — гяаикне бесконечно ди$$ерекцеруемые МСЕВЧБОМВРНБВ МНОХ'ООб~ИЗИЯ. (М,~) - римааово многообразие с метрикой ОХ ВРЗХ~ИЯ СКЗАЩ>НОТО ЩЮИВВВДВЙИЯ - КЗСВТВЛЬБОВ РВССЛОВКИВ МНОХ"ООб~ИЗКЯ Я ° ~) - нормальное расслоение подмвогообраеин /~ в СбЬЕМЛЮЩВМ РжмаНОВСМ МБОГОООРаЗИИ. С ~Л,Ф- Жостры отобрые ме многосбраенами М и Я~ Я 'à — ЛИНВЙНОВ ~ЖССЛОВЫИВ НЯД МНОРООбр83ИВМ М в ющупированное отобрекениеи ~~ С ~Я, ф ) (см. 11) . Ц) - пространство глаккнх сечений конечномервого РаССЛСВНКЯ 1у ° ~ Д~) т~' (~- "р) ) - оператор линейной связности в линейном конечиомерн(ю рассяоенвн / над многообразием Я 2 — функпвонал Дирихле ~аь $1 ) .
Гй,~® ~~/) — вторая вариапия у ддя отобракениа ~ ~ ~ ' (уь1 ф) по ваправхеиип векторного пола Ю вдоль 1" ~см. т1) . ~кс~ ф — индекс гармонического отобракения ~ ~ем. $Ц. )о - функция расстояния на мнокестве гладких ветряк на КСВйаКТНОМ МНОГООбРаЭИИ, ИНЩЦИРУЮЩан ~ -ТОЬОЛОГИ)0(' Сме $2~. 2 - 36.- Сб~ц ~~~. ® ' Ва танином нроввводавий ~Ф~ мтьтрИКа щщ®ЕтСя тЕНЗОрцНМ.ЩЮРРЭЗЕЯЕНИЕМ МЕтРНЖ~ Ф Оцц®цестЬ Д' оцредедяется щж Бомощй фщэфли ЙейбюВ~а Г ~'аг®г~)= ~Г Фх)Ф~+ балт®~~7 Я) дочи смивооти Ф и Г1 согдаоовим о матрвканп в / В ь то (см., ванрвмср ° ~41~421)тоиьнс что Опрсиаививна Оиии'. ности и~у 7Е ~ и ~З ~ таивс согнасовани с ооотмтотщчж$имж метриками Ваанув роль з теории гарюцических отображений цхрает следующая конструкция.
Боли задано ~ -гладкое ~для 1=2,Я ... 4..ж) отобраиавио гиадиии Многообразий ~: я гяlг и гдадиоа Раосиоснио ~ ЯЯИ ./~1 со сииввостьв ~7, то ~ см., падримар. ~421 ~2~)оуноствуот и сдннстиенна тмаи овввнооть ~уг на гдадпон рассдоонви ~т ~~, что ддя ивбих Х~ я,у=/~~~~ т~ б ~'г1) в дди любого осчовви д б С ® ~' (РЮ=Р(~~р, %), (~.ц ЛФ Л-~ Г А=1о - инзц%йруюмое сечение расслоения ~~ Боди Рассяосма ~ риммово, то, яосиодьиу отой (~ 4~) Остоствсвннм обравом Отодисотвтиотсн со сиоан (у) „ Гйе) метрика ца ццдуцнРует метрику ца, ар~этом если сманость Д на ~' рвмянова, то овявнооть ГР на та3ае рнюноца. Иэлоаенцая конструкция будет исаользоватьсц НИМИ ДЯЯ ОДУЧВЯ» ИОГДВ ~ 'Г~у Перейдем к определецш 4уцкциоцала Дирихле ц гармокшццх 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
