Геометрические свойства гармонических отображений римановых многообразий (1102751), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Сввзвость Р индуцирует овнзвость в расолоении 5г А~~ М ОбОЗНЗЯВВМ~ЛО СИМВОЛОМ Д" Г ' свззвость ~ в нормальном расслоении де~ в Я щцццаЕТФЮ ОЙФРВЙОРОМ ЯЙОбй ИМЖ ОййфбйОРОМ МЙОРОЙ ЗВРКВЦВй жззогеобразкк М <-гЯ/ . Ов действует ва ароотрзиотва С Я~ ~ оечекзй вореьзьвоьо раоозсезик к М, обра- ЮЗИРЗХЖ З 0 Ка ЗЯ . ЖЖО 6ГО ОТРМЩЮВЗЬНИХ ООббймззвз звачеввй ~с учетом краткостей) везмваеток ввдексом М„~ М,) водюмогообразш Я ~ см. 16е1 ) .
1еоревв 6.1. Пусть ~: К < г ~ - вполве геодееичеоЖО9 ЙЭОМВЩМИВСК09 ВЙОИЯВИЭ ЕОИВОЖЙВОХО УКМЭКОЗВ МВОУООбРЭЗЖК М . тогда ' '®='"'~Ямб,)+й ~ У~) доказательство. Раосмотркм оиерзтор йвобк "«» дзя туппюозаза Лдркгле (см. М ) ~~: ~. О „;) с:У ъ-3 . ';: рммзоевве ф г ~ = '~~~ раелагазтсв в ирззрм сумму !; ~ЛГ~дй = 'г;зй Ю 1~~~ каоатазьвого к воралького к М :;": УВСОЛОЕПжВ, СаЕДОВаЗ9ЛЬКО, Ф1 41 ~'чг) = Й~ ~~л-ь И ('сг,маггу.~ эщнну утиерадекке лемми очеиадкнм обраэж аИеВеей МВ ФИЭМУВ- фИ $6ЗВКО'ЙВ Й1 ° ~ ~=с3 Л~ =Л, ~~ с,"~„~= ~ Ф~-~ ":4вопвиензй Я,~), Я.Е) .
Жеаю 6.1 и теорема 6.1 доказакк. РййОй(~~ИМ Нй~йО~Ьйй ~й~ййфйй ВИЧй '.-,,' ЭМЬЗОВИНИЭМ Ф10$ФМЫ бе 1» ПРЭЖасаекае 8.1. Индекс акана хво ,"„."'~: Х с~ ~ ~ епкащавкс оФвр юо 1$в»а й»л4 1 .Щ:. ьзвта (ж 96 и во~ад $4.~ авМувв, что ццс яЩ ) Псла ф - ЖВЮипа ив вувита е), то либо лиосивпа. и тодди»а4~.,ГЫ ° ) О пс теорема 4.1 аввмпзип В.Х, либо»б»$~~Я ~" — ищ~:'.-:Я~: гяа ЯО~~( с ь и:ВИН (~с~»»» ) ='0 по "И 9МЕ 5 Ха Поскольку зо псах олучави йьс~ ~2с~,б~) О, то и меаемэе УтзеРзЖюние ежшж жэ мщам 6.Х. а $.1. феджианме доказано. Пуоть /Ч = Щ/ф — вомиаатыое свимитрическсе сйравстзо» ~ вввсйаипливй взтоморфввм щупш ввсмст » врачам ф сдвосвавва Хсрсио ивзэстио ~~И.
° Ва.- р Я) что М моав втопить в группу ф иаи ивртазсвув модель И с ф, где,А~ = 1~ 9~у л) - вполве гсодеавчеоиое подииогообравие. Тогда 1р у:о~р=~~ слвдуе*. что ф свивав, а,Я-~'~~ф:9ф~=~ '~ Иваном метрика ва Ш, иидувирозанввв влолввзсм . Язлкайм -мнварае,ммой относительно ого дейотвии ф ва,К ~вии Я) . и з олучае, НВХЦЖВОКИМОв ЙО МЮЙЮ 4а2 СОЗИЩ9%6Т О ТОЧЯОСХЪВ ДО па константу о пслодиой мстривой ыа М ОВВЯи6 6.4. 3 ФВЮДЯМЩих слЦ~чййх Дмк ЖОмйэктнОГО го свммвтричесвого проотравеева Я = ЩУф модель Я С ф ивииетсв неустойчивым рввиеи в ф в смысле бй»вкцвовава объема: Кр~'п) /У~к), И> 2,' к в ГЖ~ 2в ВтЩМВЖ МЩММЩИЙ фф~ЩВОЖЯ$, ДфМХЖ® зй' ~ юю":---'ви-- "-':ю-'----:-- .- О ХЩФЮИЗИФСВОМ фйСЩМХФРЭЯФЯИИв 3 этой хиба 3щФИ и ИФЛИ ТВЭЛ Х щщмВмйжВСк дйя исФФЭ- зтОДОЙ 3$фйиЗЙВ 45унещюжииВ ДмфихлФ дик Мяиюничюсеих ений БВЙОюиетнйх ЙВОжобфизмй.
В ВЯФстж6 жфиВОзийЯВ юа РУ~Ю 'Ийу~ ° ЗааазР39ВЮВ» ДирижлФ ОтббуВВФБий ж 0 фФЩЯЯймбсти В~Щэчи ЯиРмжйФ ФШОМ ~ЖСЩЮСтрЭЖФИИИ ЙМДЕЗХ Отоб~ИЫВЭВИЙ в ЭФДВИНЕХ ВОИ663Фнох с мнохообр636и О крйФмэ $7» Ж~>ИЙЩ)МЙ РФХф;ВЦЖОСТЖ Ж ФУО СЛФДСТВИЯ» Этом пщмщм46 мн иэжиим ОсеозииФ рбзуяьтзтн тФОРиж оатк змпипзирузщзк Я отобрвпвивй Р.йвив п К.улвпк айорцулзрувм критерий рвтулярзоати ~СД е которого в риличиах случаях и будет состоять„ю сОДЮ~МФВБФ ЗтОЙ глазы йрвдпокоизм, что Я кваавктпо.
в Л» иваметрзчвакк 0 З ФБВлоМОЗО ЩЮСтрФЗСЙЗО ДОСтйтОЧИО бОЯЬШОЙ РФЗМФРНОСИо с. Я . Введем, оквдул 161,63~, ооболввакав отво Фй Я, Л~3, полозив зо определвпза (~,я~)-И~~'М,й ~: ~ж~~~ завк х~ Я ~ . апваь ф~б~Я, Д~б) — аобав проатрвкатзо обобпвпкпк вектор-4увкпяй пв /Ч но НВтФГРир76мых с имМЦмюОм змФстФ сО сВОиме сбббЩФеиивзадкыми пврвото порлдкв, С ( М~ф,~ звлзвтак под- ,3 у зом з Ц~ ~'4, Л~ ~ з йупппзоивп дирпклв Я ру етая зо првкввй Формула (ам.
аарвделвипв Х.Х~ до с'! стиует гармовачеовое рзоироотреаеию .у:иа .Щ % 1гго ь иротвиоречат условии аетривзмиьиоств еиемевта Щ ~ ~ ~: % Я~~ мОйэнав ДОЖВЗййКО. 3 аротжюоюлОйааФйь Мок®эаиноМУ, 4уждимев~ааыаа хруапа ~1 ве обизательво раева. О, йзк вроззиольиого земи,цо ремезова мвогообразии Я/ аеволоиитазьвой иривизим гармоническое отобраизше Я ц-ь ф оФерм,5' 2 м,отзвдартиой метрввой постсавве ~ам. Щ .
Поэтому лозие (® вннолзаетоа пРи лабом б" Ь3 . МагДУ тем, чг /~ б ° С другой стсроии, из работа йгера и лаула ~4В~ затекает, что дли сФери ф " со отавдартиой метрикой зе иииолииетси ус.зовие ~ЯЯ ~ см., тезиз, ~51~, Я) . $8. АЩжОРны6 ойекки для щцюродицх Г~Ц3$ЮКВЧВСЕИХ ОТОбРЙВ8ВИЙ е Повезем, что ировериу условии Щ) мозно свести при к аолучеиив авриорвой сцежи оиределевиого зйдВ НВ ОлеОРОЯЯЫФ минимизеЯчпЩЙ6 хЩжжичВскиэ ОМОбфзжйкки Г'Р1'Я вЂ” '~Я~ . Обозаачвмчерез 4 $уикцив ш Я/ ° дли иоторой Ф® равно меиоииуму двумериыи сеицюиивх ирввизв в точке у 6~1l ТЮОРэмВ 8 1 ПР6ДпОлОлжм, чтО ЩИВестзуВФ тбкаВ $уз сук у иа Л~, что длв любой глвдиой фрикции Й о иаааитвмм ;,"::,"::::,.""'::,:::-:;:-:~фВЖ ВВ Д ~ ® ~~ ХЧ~МФВВВ 4УЗЙИЗЙФ Ф ММВВВФКММ !'::: ~цаиаеи з Ф„~©~ ° Жмийнв 1~4 ~ . ТюМв да$$ауен ;;."'.".
авиа й. Раве~ ~'Ф "ЯРД + ~ ву" . Жак аж иовевюрн .:.;::.""':,",:,:::.-."'.:::.Д Д ' Ж ф~ ЩИОХ'ОН4И$ЬНИ~ ФО ~г~~~ ~,м~1$% + 1~~р,'~~ ,',!:.' фуу~ц~ иа О.В ы волрщем, що ~ К ~~""~+" ~~ "),Мж> ~ й'ГД~ '~~Д~ рр~ ь О Леююа 8.2. ~Ив. ~63~ ) . Июеи ивово ревввщзр ~~,~,й-~~.„ Х%® 4,И.~ беУВ~аИ Ро Всем Бе37лежим Гмаюнм Фующкнм с . МЮИПНЖТВНМВ НОСИ764КМИ В ~О, О'О) ВкЗ, ~ИФ ДЛЯ ЛЮбОРО Я.:~О ~,Я ° ~'~ ~)й.р)>,а, ажяа Я к нулю, мц Волучаем Требуеюе нерелеастао. ЛЮМЬЕР В.1 даазана. ЛЮЮИ 3,3.
ЕСЛИ ° ~~ ЯЮВООТОЯЗН06 ХЩМО;;-":; ФВЭСЕО8 0%" ОбДИВВЯВ9, ТО Ф 'с, е (РЯ 1' )~~ С 3н% ЯК. ( ~)/Яобан)4-~Ф2 . ~ ю цдС~~ ДаКЭЗЖЭЛЬОМЗО 4ВММК ЭеЭ. 36ЕИОЛЬЭУВМж ЩМЮаОЙ фаудмс Л !се, 'вие Д - оиеравор Лвиввоа Певьврвма Оо Овавиартиой меврввой (ом. ~фц~ ° овр, Йс) сйл1 4 =/ГМя +ф-2)~ф' - с'.-.Л ~("Ь0,4В ))сну) оф„,)) ,'! ще Д - веввср врививив Ремиса иа 4/, ~Г;~ - всео;!-' ЧВЧВВЙ ОРВОВОРССВРОВаиаий баево в ('С' ) ;-:-:.;. ф» ©щищ6_#_эю$В сэкцеОЕБОЙ 3фзпщзищ' .;: <~ Я~в;)Яй ))А~(в~), фее)= ';,:, =64(Й;),45))~0с~ЬЙ'Ф(дМ'-~А~СЙ),АДд)~) ., ':::, Йевш ~(с~~Щ а~~(Й~)) - оевцвовиав кривизна ввоокоо- ~ ЙЙ о бевиоом ( с~~(е;), ссре~) ~ . Подомам у„= с®Й;) ~ ~«:", и (Т~~~р сю~ ... ~-Й .
Правов чаовыоовеиие1'О ВирВ ':,~ оцешваетов вверху чарва 4(~у,~ ~у ~Й ~у. у.~~) / ,'< Лж,у ) >я ~у~, ~в" ,Щ~~ = Д:,' ф ~ во ио иерввеиотву мекву оредвим с ',":~фФ$$ИФ3%6ОИЖМ Ф СРФДКИМ ИВЩфВИИЭОЕЗМ Х: В'/(~-Ю > ФФ(~;Й)'. ~~~с омввс, из (Р.З) ми надуваем, чво :::1~ ~411 Иг(йй~'+(~-ЙМ4~'-4.фЫ ~ фч (г.сд) ИД Иф~в+ К ' ®мб,им ° ~ 1г~~О'> 8, ~ -18. Л1, + ~ ~;4И .- -~, ю,-й.д~ 1 -1~ б~~ Ж Ф), солучив вч 4$ ~Р.
9) (-®~)~ +К~~-2)- Г$ Д ~,~сф'~ е~йсвоилу ~=соаб~ э то ~ ~ ~~8 1~~~ ~т 1 4Д =соиа1 ~ О ;",лврв ввтегрвл по ~$ ~ от обвал частей ф,ф, дела полу'чая Веревееотзо еа Я о ( Д~) в уотремлвв Е к кулю ° ;";,'-.';4% ЗяфЧ98М ~сТЭщщдВБИ9 Л6ММИ 8 3 ~ЙЩЯМВ Зебр ВНВОДИТСЯ %%ПЩ)Ь .СЛОЩЮЩММ Об~ЮЗОМ ИЗ ЛЮМИ ':.;::::,:,::::::::,8.1 и 8.8. Йслв ~~ й ~~-2)~ф-~), то кв опрелеле Я ~ к Яй ораву затекает, что Я Д) л Я~ Й~) ',":::"::;:::;::,::,'~ любого 1 8 ~ йД $ ) . Слевоввтелько, если е . у тсосс~, то пс лемевм 8.1 к 8.3 найпетсв ллв любого е Р~ ~ С~бЯ1'~, ~~0 Й.ОЯ О)4Яй~Й)46д®б ~-Р2+фЯ.о('Я бт,киа Я~-2)/4 Ъ $ 2-Е двв лвбого Е >О ° кви, то Равновелико, $ а 6 'Г9ОР9ма 8 1 доеаэбли. ~ераввнство Ж ф особенно иитересво в олучае, ЮГпа ~~~ ~~ >О ЦрВДЛОЖВНИВ 6 е 1 ПрЩ$ПОЛОЖИМ» ЧТО ХДЯ уОТО~ЧИВОХто Йа вщщввтввл додмиоавстввл Я ~0~ гврмоиичвского отобрваеввв ~"; Я ~ ~0~ -эф (нв обявательио однородного) и лвбой гладкой Фуиющи 0.
с компактщщ носителем в Я ~~ о~ ивеет место соотнсшвиив Я1), кричев 'Г'а о "О Рсглв ~ =сом-ь1. ДОКаааТ8ЛЬСТВО. ПУСТЬ О ~ К ч ~~ Д . ОПр938ЛИМ Нейрерцвнуй фунзщиВ Я~ ~~ еа Я по формулам 2 О ПРИ 1аа~6Е, ~ж~> Д Я ~.~Я ~Яж~~/Ж Я ири Е а'~х~с я ПРИ ~~ ~ЭЕ~~ Я Оч%'~~що,В~И дри И ~~-1» Р'. МЕ ММОЕМ РИ ~ ~::Е~ Я ~~ Р ~ .с~ — ~~ц 2 дЯ ~ .1,'» 6~,с ~ж~ ' ~~~1 ~ПРИ Й ~ 1зС.1 ~ Й "3 с~ ж' — — — ~ TЙ Я. 1ж1 ЕрР «~ Х~ Я йчввщщо, что Й ~с 6 ф~'~ Я ~ . как хороио известно ~ см,, Яъ ",~' ввврвиер Я, стр. 90), лвбвя фрикции ив Ф~ Я ) устремияя Е' О, получаем ~ ~ ~ р'~ ~ ~ «ЭсЛ ~~ ~ гс о + 0 пря Р.-~ + ~ . следозатаяъно, ~" = СОИ".~ ~ ПР6ДЛИЕВНЕ9 ДОЛИЗЭНО ПР~~~ЛОжОБИ~ 8.2. КОЛИ ~~ЛЕ ~~ВДЕТО~"О ОТОб~ИВ~ВЕИ вЂ” пр СООТВЙТСТЩЧЗЦ96 6Щ' ОДНО~ИДНО6 ОТОбрй ясене ~: Я%~ /'О~ -ъ у' удоплеткоряет неравенощу ('Р.1), прячем ~> 3~0 ТО Л®» ДОКВ ЗВТВЛЬ СТВО е ДОСТИТО'ЯК$,ПОД(Щ~ИЬ Д ~ В Л8ММ9 8» 1 е В следуящях параграрах мы покекем, что оценка веда фД у'е'пеяоторвм ~ >0 имеет место длн любого яе рассмотрен- В®~ В ГЛВЗ8 1 СИЛЬНО НЮУСТОЙЧИВЫЖ РИМЯКОВЫЖ ЫЕОГООбРЙЗЖВ ЭФИ ~9 ЗЙДЙЧЗ ДКРИЖЛ8 ДЛЯ ОФМфЮВ9НКЙ 3 ццРЯОХ'ООбРЗВМЯ Сф(фИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
