Адаптация, устойчивость, фронтогенез в геофизической гидродинамике (1098011), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Стационарный вариант системы (1.4) дает u = 0 и уравнениециклострофического балансафункцииM 2 / r 3 = g∂h / ∂r ,M , h . Для получения недостающего соотношения, уравнение баланса массы за-писывается в форме лагранжева закона сохранения:ненийкоторое связывает две неизвестныеrdI / dt = 0 , I = g ∫ hrdr . Из урав0dI / dt = 0 , dM / dt = 0 следует, что в процессе эволюции сохраняется функ-циональная связьM = F (I ) , конкретный вид которой получается исключением коорди-11натыrиз начальных условий дляM , I . С учетом данной связи и соотношенияgh = r −1∂I / ∂r , стационарное состояние определяется однозначно из уравнения∂ 1 ∂I F 2 (I )=∂r r ∂rr3в соответствии с заданными начальными условиями (зависимостьF (I ) ).В случае осесимметричных движений стратифицированной жидкости (f = 0 ) ста-ционарный вариант системы (1.2) дает два уравненияρM2r3=∂p,∂rρg = −∂p,∂zкоторые связывают три неизвестных функции -(1.5)ρ , M , p .
Для однозначного определениястационарного состояния используются законы сохранения трех лагранжевых инвариантов:угловогоM,моментаq = r −1∂ (M , ρ ) / ∂(r , z ) .плотностиρ,потенциальнойзавихренностиВ процессе эволюции сохраняется функциональная связьq = F (M , ρ ) , конкретный вид которой получается исключением координат r, zчальных условий дляиз на-M , ρ , q . С учетом этой связи, имеем замкнутую систему уравне-ний для определения стационарного состояния:()∂ρ1 ∂2M+gρ= 0,∂rr 3 ∂z1 ∂ (M , ρ )= F (M , ρ ) .r ∂ (r , z )(1.6)Первое уравнение в системе (1.6) получено исключением давления из (1.5).Приведенное рассмотрение распространяется на случай плоских (не зависящих отгоризонтальной координатыy ) движений вращающейся(f≠ 0)стратифицированнойжидкости.
В этом случае, формирующееся в процессе приспособления стационарное геострофическое состояние находится с использованием лагранжевых законов сохранения геострофического моментаm = v + fx , плотности ρ , потенциальной завихренностиq = ∂(m, ρ ) / ∂( x, z ) и функциональной связи q = F (m, ρ ) .В работе приведены примеры точных решений сформулированных нелинейныхуравнений для стационарных состояний. В рамках модели мелкой воды построено точноерешение, описывающее геострофическую струю, сформировавшуюся на месте первоначального разрыва уровня. Показано, что в кинетическую энергию струи переходит ровно12одна треть реализованной потенциальной энергии, а остальные две трети идут на генерацию волн.В параграфе 1.3 для горизонтально-однородных движений сжимаемой полубесконечной атмосферы развита линейная и нелинейная теория гидростатического приспособления.
Система уравнений динамики имеет видdw 1 ∂p++ g = 0,dt ρ ∂zгдеw∂ρ ∂+ ( ρw) = 0 ,∂t ∂z- вертикальная скорость,γ = c p cvdθ= 0,dtθ=pργ,(1.7)- отношение теплоемкостей (для воздухаγ = 7 5 ), d / dt = ∂ / ∂t + w∂ / ∂z . Стационарный вариант системы (1.7) дает w = 0уравнение гидростатики∂p / ∂z = − gρ , связывающее две неизвестные функции ρ , p .С использованием лагранжевых законов сохранения энтропииzI = ∫ ρdz0иθи интегральной массыв работе сформулировано замкнутое нелинейное уравнение для однозначногоопределения стационарных состояний по начальным данным.
Показано, что установлениеэтих состояний происходит за счет излучения акустико-гравитационных волн. Сформулирован вариационный принцип, утверждающий, что стационарным состояниям отвечает абсолютный минимум функционала полной энергии. Этот принцип позволяет дать физическую интерпретацию процессу гидростатического приспособления как процессу достижения системой состояния с минимумом полной энергии.В заключительном параграфе 1.4 главы решена задача о приспособлении вихревыхдвижений идеального газа к состояниям циклострофического баланса.
Показано, что процесс приспособления носит нестационарный волновой характер и при начальных скоростяхвращения, близких к скорости звука, сопровождается значительным падением температурыгаза в приосевой зоне (до − 50 ÷ −100 0С). Этот результат приложен к объяснению вихревого эффекта Ранка – интенсивного охлаждения приосевой области закрученного газовогопотока в вихревой трубе.Теоретическое исследование процесса приспособления выполнено в рамках системыуравнений газовой динамики, описывающей осесимметричные движения идеального политропного газа.
Для этой системы рассмотрена задача с начальными данными, отвечающими ситуации, когда в газе, находящемся при постоянных температуре T0 , давленииплотностиp0 ,ρ 0 , мгновенно создан вихрь с тангенциальной скоростью Vv 0 (r / L) , где V, L– заданные амплитуда и масштаб начального вихря. Как и в теории геострофической адап-13тации, решение задачи представлено суммой стационарного (сбалансированного) и нестационарного (волнового) компонентов, где волновой компонент описывает акустическиеколебания, возбуждаемые в процессе приспособления. Сформулирована нелинейная краевая задача для определения стационарного компонента по начальным данным, изученаструктура сбалансированных состояний для различных типов начальных распределенийтангенциальной скорости и различных значений квадрата числа Махаε = (V / c )2 .В качестве примера на рис.
1 представлены радиальные распределения тангенциальной скоростиv/V (а) и температуры T / T0 (б) в сбалансированном состоянии, фор-мирующемся приε =1гебраическому закону:в случае начального неограниченного вихря, спадающего по ал-v 0 (r ) ~ 1 / r1− λ .Кривым 1 – 3 отвечают значенияλ = 0.3,0.5, 0.7 , пример начального распределения скорости показан пунктиром. При λ = 0.5ooи начальной комнатной температуре T0=300 K (~27 C) температура на оси вихря падаетна 720 К и достигает -450 С. Для достижения такого падения температуры нужна начальнаяскорость немного превышающая половину скорости звука. В случае начального ограниченного вихря (задача в трубе радиусаL ) температура на оси вихря падает, в то время какна периферии у стенки происходит нагрев.
Нагревание периферийных слоев связано исключительно с условием сохранения полной массы, а не с эффектом трения о стенки, какэто обычно предполагается.Рис. 1.Теоретический анализ дополнен результатами специальных экспериментов с трубкой Ранка, выполненных К.Н. Вишератиным. В этих экспериментах показано, что максимальное падение температуры наблюдается непосредственно вблизи выхода закрученногопотока из завихрителя, где и происходит процесс циклострофического приспособления.Глава 2.
Фронтогенез в непрерывно стратифицированной жидкости.В главе рассмотрены гидродинамические модели формирования атмосферных иокеанических фронтов. В параграфе 2.1 развита теория несбалансированного фронтогенеза, связывающая образование фронтов с процессом нелинейного геострофического приспо-14собления в непрерывно стратифицированной вращающейся жидкости. Основной физический результат состоит в том, что даже в случае гладких начальных несбалансированныхраспределений формирующиеся финальные геострофические состояния могут содержатьповерхности разрыва типа фронтальных.
Поскольку несбалансированные распределения ватмосфере и океане возникают достаточно часто (например, при внезапных охлажденияхили нагревах), этот результат показывает, что процесс геострофического приспособленияесть один из важнейших механизмов природного фронтогенеза.В теоретическом исследовании рассматриваются плоские (не зависящие от коорди-y ) движения вращающейся стратифицированной жидкости, с компонентами скоро-натыстиu, v, wx, yвдоль горизонтальных осейбесконечном горизонтальном слоеи вертикальной осиzсоответственно, в0 < z < H . Описание движений проводится в рамкахсистемы уравнений (1.2), записанной в приближении Буссинеска.
Для этой системы рассматриваетсязадачасρ = ∆ρ [− z / H + ah( x / L )],начальнымиt = 0:условиямиu=0 ,отвечающими ситуации, когда в покоящуюся линейностратифицированную жидкость внесено возмущение плотности вида с амплитудойгоризонтальным масштабомL (ρ- отклонение плотности от фонового значенияaиρ∗ ).Поскольку начальное состояние несбалансировано, в системе возникают волновые движения, и по истечении переходного периода адаптации устанавливается стационарное состояние геострофического равновесия. В этом состоянииудовлетворяют уравнению термического ветраu = w = 0 , а переменные ρ , vf∂m / ∂z + ( g / ρ∗ )∂ρ / ∂x = 0 ,гдеm = v + fx .Дляприведенныхначальныхусловийq = ∂(m, ρ ) / ∂( x, z ) = − f∆ρ / H = const .потенциальнаязавихренностьС учетом этого факта, в безразмерных пе-ременных для определения стационарного состояния имеем систему∂m ∂ρ= 0,+∂z ∂xв полосеЗдесь∂ (m, ρ )= −1∂ ( x, z )0 < z < 1, с краевыми условиями ρ z = 0 = ah(λm),(2.1)ρ z =1 = −1 + ah(λm) .λ = LR / L , LR = g∆ρH / ρ∗ / f - радиус деформации Россби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
