Адаптация, устойчивость, фронтогенез в геофизической гидродинамике (1098011), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Как показано в работе, совершенно иначе ведут себя возмущения в двухкомпонентной среде. Обозначим финальныеt → ∞ ) распределения возмущений температуры и концентрации примеси черезT f′ , s ′f . В рамках линейного приближения для этих распределений получены выражения(приT f′ =αηTi − βsi,α (η − 1)s′f =αηTi − βsiβ (η − 1),которые показывают, что в двухкомпонентной среде возмущения(3.2)T ′, s′не исчезают и нафинальной стадии процесса гидростатического приспособления. Эти возмущения компенсируют друг друга в поле плотности ( αT f′− βs′f = 0 ), формируя стационарный термоха-линный "след".Согласно (3.2), амплитуда финальных возмущений определяется значением пара-η . Так, при si = 0метра(начальное возмущение солености отсутствует) и0 <η <1(стратификация соли неустойчива, но систему стабилизирует устойчивая стратификациятемпературы:αγ T > βγ s > 0 ) финальное и начальное возмущения T ′имеют проти-воположные знаки; т.
е., например, в ответ на первоначальный нагрев в среде формируетсяхолодный след. Приη >1(температурная стратификация неустойчива, но систему ста-билизирует устойчивая стратификация примеси) амплитуда возмущения в финальном состоянии оказывается всегда больше начальной амплитуды. В работе представлен детальный анализ этих и ряда других нетривиальных особенностей, не имеющих аналогов в однокомпонентных средах.Наряду с линейной теорией, в диссертации также развита нелинейная теория приспособления, основанная на решении системы уравнений динамики (3.1) в лагранжевыхпеременных. Универсальная особенность структуры следа в этой теории состоит в формировании вертикальных разрывных распределений из гладких начальных возмущений.
Приsi = 0и начальном температурном возмущении видаTi = ∆T h( x / L ) τ ( z / H ) ,фи-21нальное распределениеT f (z )на оси симметрии возмущения описывается параметриче-скими ( z 0 - безразмерный параметр) выражениямиT f = γ T H [z0 + a(1 − η )τ ( z0 )] ,z = z0 + a ⋅ τ ( z0 ),гдеa = α∆T / γH . На рис. 4а представлена зависимость (3.3) в случае гладкого локали-зованного распределенияτ ( z0 ) > 0иη<0(рассматривается неограниченная по верти-кали среда). Этот рисунок иллюстрирует как с ростом параметрады(3.3)∆T ) на вертикальномпрофилеTfa(начальной амплиту-формируется разрыв. Аналогичный разрыв фор-мируется и на вертикальном профиле солености. Эти разрывы компенсируют друг другатак, что вертикальное распределение плотности остается гладким (линейным).
При характерных для океана значенияхвозмущение с амплитудойH = 10 м, α = 2 × 10 − 4 К-1, γ = 9 × 10 − 7 м-1 начальное∆T = 7 × 10 − 2К уже приводит к формированию разрыва.Рис. 4.В случае периодического по вертикали начального возмущенияτ ( z 0 ) = cos (λ z0 )(рис. 4б), вызванного, например, внутренней волной, формируется стационарный “пилообразный” профиль температуры, в котором слои с постоянными градиентами разделены резкими скачками (инверсиями).
Если начальное распределение апериодично (имеет положительные и отрицательные фазы), формируется профиль с нерегулярным распределениемскачков. Подобные профили характерны для тонкой структуры океана, которая, согласно22определению К.Н. Федорова (1978), “представляет собой неупорядоченное или систематическое чередование по глубине участков с низкими и высокими вертикальными градиентами того или иного свойства”.С гидродинамической точки зрения, формирование следа в двухкомпонентных средах связано с тем, что для адиабатических движений температура и концентрация примесиявляются лагранжевыми инвариантами. Векторное полеR = ∇T × ∇s , касательное к ли-ниям пересечения поверхностей равных значений этих инвариантов, при этом удовлетворяет уравнению вмороженностиdR/dt = ( R ⋅ ∇ )u . В случае возмущений малой ампли-туды из этого уравнения следует простой локальный закон сохранения∂r / ∂t = 0,r = γ s T ′ − γ T s′ , ответственный за формирование следа в линейной теории.
Из уравнениявмороженности вытекают два специфических для двухкомпонентных сред интегральныхзакона сохранения:гдеdI k / dt = 0,I1 = ∫ [∇ρ × ∇q ]u dx , I 2 = ∫ [∇T × ∇s ]u dx ,q = rot u ⋅ ∇ρ . Эти законы аналогичны законам сохранения Моффата и Вольтерра вобычной и магнитной гидродинамике и независимы от закона сохранения полной энергии.В параграфе 3.2 в рамках системы (3.1), дополненной учетом фонового вращения,изучены особенности процесса геострофического приспособления в двухкомпонентныхсредах.
Показано, что если первоначальная aгеострофичность связана с возмущениямитемпературы и (или) концентрации примеси, то структура финальных распределений этихсубстанций может качественно отличаться от классических решений задач адаптации. Например, первоначальный тепловой импульс может в процессе адаптации приводить к формированию стационарного температурного возмущения большей амплитуды и (или) противоположного знака. При эволюции сглаженной температурной "ступеньки" возможновозникновение немонотонных температурных распределений, с амплитудами, много большими начальной амплитуды.В случае достаточно больших амплитуд гладких начальных возмущений в процессеприспособления могут возникать поверхности разрыва.
Учет двухкомпонентного характерасреды делает качественные свойства таких поверхностей особенно разнообразными. Например, фронтальная поверхность может быть ярко выражена в поле одной из термодинамических компонент (температуры) и слабо в другой (солености). Подобные особенностипроявляются в распределениях термогидродинамических полей в океане.В параграфе 3.3 теоретические результаты сопоставлены с некоторыми даннымиокеанологических наблюдений. Подробно рассмотрена работа Rudnick, Ferrari ("Science",1999, v. 283, p.
526-529), в которой, на основании данных океанологических разрезов, вы-23полненных в верхнем квазиоднородном слое в северной части Тихого океана, сделан выводо практически полной скомпенсированности горизонтальных распределений температурыи солености в поле плотности. Подобная скомпенсированность на масштабах, меньших радиуса деформации Россби, объясняется развитой в диссертации теорией гидростатическогоприспособления. Приведены и проанализированы также данные К.Н. Федорова, свидетельствующие о наличии практически полной скомпенсированности и для вертикальных разрывных распределений (температурные интрузии, ступеньки).Глава 4. Вопросы теории гидродинамической устойчивости вращающихсясдвиговых течений.Теория гидродинамической устойчивости вращающихся сдвиговых течений развитагораздо менее полно, чем классическая теория сдвиговой неустойчивости.
При исследовании устойчивости вращающихся течений нельзя ограничиться рассмотрением только двумерных возмущений, поскольку нет аналога теоремы Сквайра. Устойчивость вращающихсятечений существенно зависит от взаимной ориентации сдвига и направления вращения.Кроме того, во вращающейся жидкости в поле силы тяжести существуют собственные волновые движения – инерционно-гравитационные волны, которые при наличии сдвиговыхтечений могут быть захвачены (локализованы) внутри слоя сдвига.Подавляющее большинство исследований устойчивости вращающихся сдвиговыхтечений выполнено в рамках упрощенных моделей, использующих квазигеострофическоеприближение. В данной главе исследование устойчивости выполнено в рамках полной линеаризованной системы уравнений динамики.В параграфе 4.1 исследована устойчивость течений вращающейся жидкости постоянной плотности с горизонтальными сдвигами:u = (U ( y ), 0, 0 ),p = P( y ),fU = −∂P / ∂y(4.1)( p - редуцированное давление).
Линеаризованная система уравнений динамики для возмущений сведена к одному уравнению для поперечной к потоку компоненты скорости:∂2v∂v ⎤D ⎡D2∆v − U ′′( y ) ⎥ + f [1 − R ( y )] 2 = 0 ,∂x ⎦Dt ⎢⎣ Dt∂zгде(4.2)D / Dt = ∂ / ∂t + U∂ / ∂x , R ( y ) = U ′( y ) / f - безразмерный параметр, характери-зующий взаимную ориентацию сдвига и направления вращения. ЕслиR( y) < 0нический сдвиг), фоновая и сдвиговая завихренности параллельны, еслициклонический сдвиг) – антипараллельны.R( y) > 0(цикло(анти-24По геометрическим характеристикам возмущения в сдвиговом потоке разделяютсяна три класса – двумерные (не зависящие от координатыричные (не зависящие от координатыxzвдоль оси вращения), симмет-вдоль потока), пространственные (ориентирован-ные под углом к потоку).
С использованием вытекающих из (4.2) квадратичных законовсохранения в работе сформулированы достаточные условия устойчивости относительновозмущений из каждого класса. В частности, показано, что относительно симметричныхвозмущений сдвиговый поток устойчив, еслиR ( y ) < 1 . Согласно этому критерию, тече-ния с циклоническим сдвигом всегда симметрично устойчивы.С использованием метода нормальных мод исследована устойчивость: 1) вращающихся тангенциальных разрывов; 2) свободных слоев сдвига; 3) струйных течений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
