Адаптация, устойчивость, фронтогенез в геофизической гидродинамике (1098011), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В качествемасштабов z , x, ρ , v приняты соответственно H , L R , ∆ρ , fL R . Краевые условия отража-15ют сохранение функциональной связи между инвариантамиρ, mна горизонтальныхграницах.Преобразование зависимых и независимых переменных – переход в системе (2.1) отнезависимых переменныхРимана:x, zк переменным m, z – сводит ее к линейной системе Коши-∂ρ / ∂m = ∂x / ∂z , ∂ρ / ∂z = −∂x / ∂m . Этот факт позволяет использовать в ана-лизе методы теории функций комплексного переменного. С использованием этих методовв работе построены точные решения краевой задачи для различных типов начальных распределенийтудыh(m ) .
Основная особенность связана с существованием критической ампли-a = acr , при превышении которой решения становятся многозначными (разрывны-ми). Критическая амплитуда пропорциональна квадрату масштаба начального возмущения.С ростомaразрывы впервые возникают на горизонтальных границах.На рис. 2 (верх) в вертикальной плоскости изображены изолинии поля плотности (а)и касательной к фронту компоненты скоростиzva(б) в финальном геострофическом состобРис.
2.16тоянии, формирующемся приa = acrиз гладкой начальной плотностной ступеньки(h(m) = th (λm)). Соответствующие картины изолиний в случае начального локализованного возмущения плотности(h(m) = 1/ ch 2 (λm)) для нижней половины слоя пред-ставлены на рис. 2 (низ). Точки сгущения изолиний отмечают положения формирующихсяфронтов. С каждым фронтом связано интенсивное струйное течение.Приa > acrмногозначные решения для финальных состояний преобразуются воднозначные разрывные путем проведения поверхностей разрываxb = xb ( z ) .
Как и в за-дачах газовой динамики, это осуществляется с использованием непрерывной части решения и соответствующего физического условия на разрыве. В качестве последнего принимается условие непрерывности давления при переходе через разрыв, которое выражается известной формулой Маргулеса (безразмерная форма):гдеρ 2 , ρ1 ...dxb / dz = ( ρ 2 − ρ1 ) / (m2 − m1 ) ,- значения величин соответственно справа и слева от разрыва. С использо-ванием этой формулы в работе сформулирована нелинейная система уравнений для определения поверхностей разрыва и показано, что ее можно точно проинтегрировать, благодаря наличию первого интеграла, аналогичного интегралу площадей в газовой динамике.Важный результат состоит в том, что при достаточно больших амплитудах геометрическиеконфигурации поверхностей разрыва носят универсальный характер, т.е.
не зависят от деталей начальных распределений. В случае начальной сглаженной ступеньки в верхней инижней половинах слоя формируются два наклонных фронта, имеющие параболическийпрофиль. В случае локализованного возмущения, наряду с наклонными фронтами, в верхней половине слоя формируется вертикальный фронт, на котором плотность непрерывна, акомпонента скорости терпит скачок [20, 29].Для описания нестационарных волновых процессов приспособления в работе разработаны численная гидростатическая модель и упрощенная аналитическая модель, основанная на уравнениях динамики в лагранжевых переменных.
Показано, что процесс установления разрывных геострофических состояний носит ярко выраженный волновой характер счередованием фаз гладкости и многозначности. На небольших временах эти фазы повторяются с инерционным периодом, т.е. формируется нестационарный пульсирующий фронт.В параграфе 2.2 рассмотрена исторически более ранняя теория деформационногофронтогенеза, связывающая образование атмосферных и океанических фронтов с наличиемспециального класса фоновых деформационных полей скорости, обостряющих начальныеградиенты.
Деформационный фронтогенез, как правило, исследуется в рамках достаточно17сложных численных моделей (Williams (1974), Ostdiek, Blumen (1995)). В работе впервыепостроен класс точных аналитических решений, описывающий процесс формирования холодного фронта в слое атмосферы конечной высотыH.В деформационной модели (Hoskins, Bretherton (1972)) исследуется эволюция двумерных (не зависящих от координатыполе типа седла:y)возмущений, помещенных в гиперболическоеu = −α ∗ x, v = α ∗ y . Описание эволюции проводится в рамках систе-мы уравнений динамики (1.2), в которой используется приближение геострофического баланса в направлении вдоль фронта. Использование закона сохранения потенциальной завихренности и переход к полугеострофическим координатамm, zпозволяют свести этусистему к системе линейных диагностических уравнений, не содержащих временных производных.
В ситуации с однородно распределенной потенциальной завихренностью эволюция поля безразмерной плотности (потенциальной температуры) описывается решениемуравненияЛапласа∆ρ = 0 с краевыми условиями, зависящими от времени:ρ z = 0 = ah(τm), ρ z =1 = −1 + ah(τm) . Здесь τ = L−1eαt , h(m ) - граничная функция,задающая структуру начального распределениямасштабомL.Функция токанаходится из уравненияс безразмерными амплитудойaиψ , описывающая циркуляцию в вертикальной плоскости,∆ψ = −2α∂ρ / ∂m . В качестве горизонтального и вертикально-го масштабов приняты соответственноАналитическиеρрешенияHизадачиLR .построеныдляграничнойфункцииh(m ) = 0.5(1 − thm ) , описывающей плавный переход от более плотной (слева) к болеелегкой жидкости в начальный момент времени. Процедура построения решений включаетконформное отображение полосы0 < z < 1 на полуплоскость с последующим применени-ем формулы Шварца.
Распределение плотности в дискретные моменты времениτ = L−1eαt = πn, n = 1, 2... ,описывается параметрическими ( m - параметр) выраже-ниями⎤sin(πz − γ k )a n ⎡shπma nxm,=−,ρ = − z + ∑ ⎢1 −∑⎥2n k =1 chπm + cos(πz − γ k )2n k =1⎣ chπm + cos(πz − γ k ) ⎦гдеγ k = (2k − 1) / 2n ,k = 1, 2, ..., n .ляется обращением зависимостиПереход к физическим переменным осуществ-x = x ( m, z , τ ) → m = m ( x , z , τ ) .18На рис. 3 представлены изолинии поля плотности для двух моментов времени:n = 1 (а) и n = 2 (б). В момент времени t = tcr , зависящий от амплитуды a и размерной ширины переходной зоны(фронт).
ПриL∗ ,на горизонтальных границах возникает разрывa = 1 , α ∗ = 10 −5 c −1 , L∗ = 500 км , разрыв формируется в моментtcr ≈ 12.5 часа, на расстоянии 730км от начала координат.xРис. 3.С использованием аналитического решения для функции тока ψ в работе показано,что впереди перемещающегося фронта имеют место восходящие движения теплого (легкого) воздуха, позади – нисходящие движения холодного. Именно такая структура вертикальной циркуляции характерна для холодных атмосферных фронтов.Заключительный параграф 2.3 главы посвящен сопоставлению теоретических результатов с наблюдениями. Вытекающий из теории несбалансированного фронтогенезаважный практический вывод состоит в том, что появление в атмосфере и океане областей сдостаточно интенсивными горизонтальными градиентами плотности (температуры) неизбежно должно сопровождаться формированием фронтов и сопутствующих им струйныхтечений.
Такого рода фронты действительно повсеместно наблюдаются. В качестве примеров можно привести шельфовые фронты в океане, бризовые фронты, крупномасштабныеатмосферные фронты, разделяющие воздушные массы с различными термическими характеристиками. Развитая теория описывает следующие особенности структуры крупномасштабных фронтов: а) максимальные градиенты в области фронтальной зоны наблюдаютсявблизи подстилающей поверхности и тропопаузы, а в основной толще тропосферы они выражены слабо, б) фронтальная зона образована единой системой, состоящей из приземного19и верхнетропосферного фронтов, в) с каждым из фронтов связано интенсивное струйноетечение, причем его ось смещена относительно фронта.В данном параграфе представлено также прямое количественное сравнение с результатами лабораторных экспериментов (Stegner et al (2004)), в которых моделировалсяплотностной фронт в двухслойной системе.
Полученное в работе аналитическое решениехорошо описывает структуру фронта.Глава 3. Адаптация в стратифицированных двухкомпонентных средах.Многочисленными измерениями распределений температуры и солёности в океанеобнаружено существование ярко выраженных горизонтальных и вертикальных неоднородностей (Федоров (1976), Монин (1988)). Распространены, в частности, ситуации с многочисленными скачками (ступеньками) на вертикальных профилях этих переменных (тонкаяструктура океана). Основными механизмами формирования неоднородностей считаютсяпроцесс обрушения внутренних гравитационных волн, а также конвекция, обусловленнаядвойной диффузией.
В данной главе изучены новые механизмы, связанные с процессамигидростатического и геострофического приспособления в стратифицированных двухкомпонентных средах, т. е. средах, плотность которых зависит как от температуры, так и отконцентрации некоторой примеси.Примерами двухкомпонентных сред являются соленая морская вода и влажный воздух. Уравнение состояния для соленой морской воды с большой точностью записывается ввидеρ = ρ∗ (1 − α T + βs ) , где ρ∗температуры T∗ и солёности s∗ ;- значениеρпри постоянных средних значенияхT , s - соответствующие отклонения от средних, α - ко-эффициент термического расширения,β - коэффициент соленостного сжатия. Адиабати-ческие движения среды описываются системой уравненийdu1= − ∇ p − gk ,dtρdiv u = 0 ,dT=0 ,dtds= 0.dt(3.1)В параграфе 3.1 исследовано поведение возмущений, внесенных в устойчиво стратифицированную двухкомпонентную среду (процесс гидростатического приспособления).Соответствующиеначальныеусловиядлясистемыt = 0 : u = 0, T = γ T z + Ti ( x ), s = γ s z + si ( x ) ,возмущения,γT , γ sгде(3.1)Ti , siзаписываютсяввиде- заданные начальные- постоянные фоновые значения вертикальных градиентов каждойиз субстанций.
Фоновое состояние считается конвективно устойчивым, чему отвечает убывание фоновой плотности с высотой:ρ ( z ) = ρ ∗ (1 − γz ) , γ =αγ T − βγ s > 0 . Отно-20сительный вклад температуры и концентрации примеси в фоновую стратификацию плотности характеризуется безразмерным параметром η= βγ s αγ T.В безграничной устойчиво стратифицированной среде начальные горизонтальныенеоднородности поля плотностиρ i = − ρ ∗ (α Ti − βsi ) приводят к возникновению вол-новых движений, которые сглаживают плотностные неоднородности и на больших временах затухают. В однокомпонентной среде (плотность зависит только отT ) вместе с воз-мущением плотности затухает также возмущение температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
