Адаптация, устойчивость, фронтогенез в геофизической гидродинамике (1098011), страница 7
Текст из файла (страница 7)
фактически полное решение задачи с начальнымиданными. Для неограниченных течений с постоянными (или почти постоянными) сдвигамирешение начальной задачи легко построить, переходя в динамических уравнениях из лабораторной в движущуюся с потоком систему координат, и рассматривая поведение отдельной пространственной фурье-гармоники возмущения. Подобный подход, восходящий кКельвину, в последние годы получил широкое распространение в задачах гидродинамики,физики плазмы, астрофизики и приобрел специальное название – немодальный подход(Farrel (1993), Chagelishvili et al.
(1997), Schmid, Henningson (2001)). В данной главе этотподход применяется к исследованию устойчивости некоторых важных классов сдвиговыхтечений.В параграфе 5.1 с использованием немодального подхода исследована устойчивость течений мелкой воды и несжимаемой стратифицированной жидкости с постояннымгоризонтальным сдвигом в отсутствие фонового вращения. Остановимся подробнее на те-29чении мелкой воды: u = ( Ay , 0 ),h = H = const . Соответствующая линеаризованнаясистема уравнений (1.1) записывается в видеDu∂η+ Av + c 2= 0,Dt∂xгде c =Dv∂η+ c2= 0,Dt∂yDη ∂u ∂v++= 0,Dt ∂x ∂y(5.1)gH - скорость длинных волн, D / Dt = ∂ / ∂t + Ay∂ / ∂x . Из (5.1) вытекаетлагранжев закон сохранения:Dq / Dt = 0 , q = ∂v/∂x − ∂u/∂y + Aη .Следуя общей схеме немодального подхода, отыскиваются решения системы (5.1) вида(u, v ) = (u(t ), v(t )) cos Θ, η = η (t ) sin Θ,Θ = kx + (l − Akt ) y ,описывающие гармонические возмущения с переменными амплитудамии волновым числом(5.2)u (t ), v(t ), η (t )l (t ) = l − Akt .
Подстановка (5.2) в (5.1) приводит к системе обыкно-венных дифференциальных уравнений для амплитуд:гдеdudvdη(5.3)= − v − Rη ,= − Rp(t )η ,= R(u + p (t )v ) ,dtdtdtR = ck / A - безразмерный параметр, характеризующий влияние сдвига,p(t ) = t∗ − t ,t∗ = l / k .В качестве масштабовt , u, vприняты соответственноA −1 , c, c .Важная особенность состоит в том, что система (5.3) имеет первый интегралv − p(t )u − R −1η = q = const ,отражающий закон сохранения потенциальной завих-ренности.
С использованием этого интеграла, система сводится к одному уравнению второго порядка, описывающему колебания математического маятника с переменной частотойω (t ) = 1 + (t − t∗ )2. По значению потенциальной завихренности возмущения в сдвиго-вом потоке разделяются на два класса - быстроосциллирующие волновые возмущения снулевой потенциальной завихренностью(q = 0) и медленные вихревые возмущения с по-тенциальной завихренностью отличной от нуля.В случаеR >> 1(слабые сдвиги) асимптотические решения для амплитуд волно-вых и вихревых возмущений находятся методом ВКБ (рис. 5). На больших временах энергия вихревых возмущений затухает, а волновых изменяется пропорционально частоте, т.
е.нарастает по линейному закону. Неограниченный рост энергии свидетельствует об алгебраической неустойчивости сдвигового потока относительно быстрых волновых возмущений (модифицированных сдвигом гравитационных волн).30Рис. 5. Зависимость от времени амплитуды волнового компонентадля отклонения уровня.В случаеR << 1в динамике возмущений появляется ряд новых особенностей, од-на из которых связана с эффектом внезапного (скачкообразного) излучения волн вихревыми возмущениями.
Для акустических возмущений аналогичный эффект впервые обнаруженЧагелишвили и др. (1997).Представленный анализ распространяется на случай сдвигового течения стратифицированной жидкости. Решение соответствующей линеаризованной системы уравненийдинамики представляется рядом по вертикальным модам. Динамика каждой моды при этомописывается системой уравнений мелкой воды (5.1), где вместоскоростьcncтеперь стоит фазоваясоответствующей моды внутренних волн. В рамках этой модели легко учиты-ваются эффекты вязкости.
Вязкость приводит к затуханию энергии волновых возмущенийна больших временах, однако при малой вязкости участок алгебраического роста достаточно велик.В параграфе 5.2 исследована устойчивость потока стратифицированной жидкости спостоянным горизонтальным сдвигом в присутствии фонового вращения (геострофическийпоток).
По отношению к симметричным возмущениям с волновым числомl в направле-нии перпендикулярном потоку, такой поток неустойчив, если аналог числа РоссбиRo = A/f > 1 и l 2 < (Ro − 1) f 2 / cn2 . С привлечением немодального подхода, исследована динамика пространственных возмущений, ориентированных под углом к потоку.Сформулирована система уравнений для амплитуд фурье-гармоник возмущений, проведено разделение возмущений на два класса (волновые, вихревые) по значению потенциальной завихренности. Установлено, что неустойчивость имеет место и приRo < 1, причемона связана с алгебраическим нарастанием волновых возмущений, которые обычно фильтруют в традиционных квазигеострофических моделях.
Этот результат иллюстрирует ограниченность возможностей квазигеострофических моделей в задачах теории гидродинамической устойчивости.31Принципиально новое поведение обнаружено в случаеRo > 1 . В этом случае уча-стки линейного роста энергии волновых возмущений перемежаются участками экспоненциального (взрывного) роста конечной продолжительности. Подобное поведение представляет собой новый, экспоненциально-алгебраический тип гидродинамической неустойчивости, ранее не изученный в геофизической гидродинамике. В математическом плане данныйтип описывается дифференциальным уравнением второго порядка для амплитуды компоненты скорости в направлении вдоль потока:F Ro22d 2udt22 2+ ω 2 (t )u = − p (t )q ,где F = f / cn k .
Приточки, в которыхω 2 (t ) = 1 + F (1 − Ro ) + p 2 (t ) ,Ro > 1 это уравнение содержит точки поворота или возврата, т. е.ω 2 (t ) = 0 . При переходе через эти точки меняется тип решения (осцил-лирующее, экспоненциальное). Причина появления точек поворота в данной задаче связанас зависимостью от времени волнового числаl (t ) и попаданием его в интервал симмет-ричной неустойчивости. В случае достаточно длинных волн в зональном направлении(F >> 1) в работе построены асимптотические решения в терминах функций Эйри.В параграфе 5.3 обнаружен и исследован эффект временного экспоненциальногороста пространственных возмущений в геострофическом течении с постоянным вертикальным сдвигом. Как известно (Bennets, Hoskins (1979)), по отношению к симметричным возмущениям такое течение неустойчиво, если число РичардсонаRi < 1 .
На плоскости вол-новых чисел волновой вектор двумерных неустойчивых возмущений при этом лежит внутри сектора (угла), c границами, зависящими отRi .В сдвиговом течении вертикальноеволновое число пространственного возмущения зависит от времени. Эта зависимость приводит к вращению волнового вектора в вертикальной плоскости и прохождению его черезсектор симметричной неустойчивости.
Находясь внутри этого сектора, возмущение экспоненциально растет, вне его – осциллирует. Как и ранее, подобное поведение описываетсяуравнением, содержащим точки поворота (в данной задаче – для амплитуды тороидальногопотенциала скорости). Поскольку значения точек поворота определяются значениями волновых чисел, при суперпозиции возмущений с различными волновыми числами происходит чередование экспоненциальных стадий (вспышек) со стадиями гладкого осциллирующего поведения.
Эта динамика может иметь прямое отношение к наблюдаемым внезапнымвспышкам турбулентности в стратифицированных сдвиговых течениях.32В параграфе 5.4 изучен новый линейный механизм генерации поверхностных гравитационных волн. В отличие от традиционных ветровых механизмов, он не требует энергообмена между ветром и волнами и связан с наличием в слое жидкости со свободной поверхностью течения с постоянным горизонтальным сдвигом скорости. Показано, что в присутствии свободной поверхности такое течение гидродинамически неустойчиво, причемнеустойчивость носит алгебраический характер. Развитие неустойчивости приводит к образованию на поверхности жидкости гравитационных волн, амплитуда которых нарастает постепенному закону.Теоретическое исследование неустойчивости выполнено в рамках линеаризованнойсистемы уравнений гидродинамики для однородной жидкости с соответствующими кинематическим и динамическим граничными условиями на свободной поверхностиусловием непротекания на днеz=0 иz = − H .
С использованием немодального подхода описа-на динамика волновых и вихревых возмущений. Установлено, что на глубокой воде(H = ∞ ) энергия волновых возмущений нарастает по корневому закону, а энергия вихревых возмущений с течением времени затухает. Показано, что неограниченный рост энергииволновых возмущений следует также из основных уравнений лучевой теории волн (геометрической оптики) – уравнения сохранения волнового действия и уравнения, описывающегоэволюцию волнового числа. Наряду с волнами на глубокой воде исследованы также волныв слое жидкости конечной глубины. Показано, что в присутствии горизонтального сдвигаволновые возмущения с течением времени концентрируются у свободной поверхности ипрактически не испытывают влияния дна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
