Адаптация, устойчивость, фронтогенез в геофизической гидродинамике (1098011), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Основной результат связан с описанием эффекта циклон-антициклонной асимметрии, которыйсостоит в том, что течения с циклоническим сдвигом всегда более устойчивы, чем с антициклоническим. Наиболее ярко этот эффект выражен в устойчивости вращающихся тангенциальных разрывов:U ( y ) = U 0 , y > 0 ; U ( y ) = −U 0 , y < 0 . Как показано в ра-боте, циклонический скачок скоростиклонический(U 0 < 0)всегда симметрично устойчив, антици-(U 0 > 0) - неустойчив. Эта асимметрия проявляется и в устойчивости отно-сительно пространственных возмущений, где при циклоническом скачке всегда существуеткривая нейтральной устойчивости. Для инкрементов нарастанияκsсимметричных иκпространственных возмущений получены выраженияfκs =2где2⎛ 2mU 0 ⎞1 + ⎜⎜⎟⎟ − 1 ,f⎝⎠κ=fm 22m +k2U 0 + U 02 k 2 ,k →∞,k, m - соответственно горизонтальное и вертикальное волновые числа.
Из второго вы-ражения следует, что для коротких волн учет вращения приводит к увеличению инкремента неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в случаеU0 > 0и к уменьшению в случаеU 0 < 0 . В рамках лабораторного моделирования эффект циклон-антициклонной асимметрии исследовался Незлиным, Снежкиным (1990).В связи с геофизическими приложениями особый интерес представляют струйныетечения, где одновременно существуют области с циклоническим и антициклоническимсдвигами.
В работе подробно исследована задача о неустойчивости вращающейся "треугольной" струи (с кусочно-постоянными сдвигами). Показано, что в этом течении неустойчивые симметричные возмущения локализованы в области антициклонического сдвига.25Подобная "односторонняя" неустойчивость наблюдалась в известных экспериментах Хайдапо моделированию общей циркуляции атмосферы.В параграфе 4.2 исследована структура захваченных симметричных возмущений вспектрально-устойчивых сдвиговых течениях. Рассмотрено баротропное сдвиговое течение(4.1) в слое0 < z < H несжимаемой стратифицированной жидкости с постоянной часто-той БрентаN .
Для функции тока ψ ( y, z ) симметричных возмущений из линеаризован-ной системы уравнений динамики (1.2) следует уравнение2∂ 2ψ∂ 2 ⎡ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ⎤2∂ ψ2= 0,+⎥ + f [1 − R ( y )] 2 + N⎢∂z∂y 2∂t 2 ⎣ ∂y 2 ∂z 2 ⎦которое рассматривается в устойчивом случаеда(4.3)R ( y ) < 1 . Отыскиваются решения (4.3) ви-ψ = ϕ ( y ) exp(iωt ) sin (πkz / H ) , где ω > 0- частота колебаний, k = 1, 2,... - номервертикальной моды колебаний. Подстановка последнего выражения в (4.3) приводит куравнениюd 2ϕdy2+m22N −ω2[f2(R ( y ) − 1) + ω 2 ]ϕ = 0,m=которое, вместе с краевыми условиями ограниченностиспектральную задачу для нахождения частот колебанийϕπkH,при(4.4)y → ∞ , определяетω.При качественном анализе спектральной задачи, уравнение (4.4) записывается вформе уравнения Шредингера, однако, с более сложной зависимостью от спектральногопараметра.
При такой записи захваченные волны аналогичны связанным состояниям вквантовой механике; им отвечает дискретный спектр уравнения Шредингера. Из проведенного анализа следует, что расположение области захвата возмущений определяется ориентацией сдвига и стратификацией. Так, если частота Брента больше инерционной частотыf , захват происходит в области антициклонического сдвига, если меньше – в области циклонического сдвига. Соответственно, в первом случае частоты захваченных волн меньшеинерционной частоты, во втором – больше.В работе получены точные аналитические решения спектральной задачи для треугольной струи и гиперболического слоя сдвигаU ( y ) = U 0 th ( y / L ) .Представленычисленные оценки, иллюстрирующие сильную зависимость числа захваченных волн отчастоты БрентаN .
Так при L = 500 км, H = 10 км, U 0 = 10 м/с, f = 10− 4 с-1,26k = 1, N = 10 − 2с-1 (атмосфера) существует ровно одна захваченная волна с периодомколебаний около 18 часов. При том же наборе параметров и нейтральной стратификацииN = 0 существует уже ровно 70 захваченных волн. Результаты сопоставлены с наблюдениями волновой деятельности в районах атмосферных струйных течений (Plougonven et al.(2003)).В параграфе 4.3 установлены достаточные условия симметричной устойчивости состояний циклострофического (геострофического) баланса в стратифицированной жидкости, т.
е. устойчивости относительно осесимметричных (плоских) возмущений. В исследовании устойчивости использован вариационный или энергетический метод (Арнольд(1965), Владимиров (1989)), основанный на построении сохраняющегося на решениях системы функционала Ляпунова (как правило, это энергия плюс дополнительный интегралдвижения).В случае состояния циклострофического баланса (1.5) для построения функционалаЛяпунова используется полная энергияняющихся (в силу того, что()E = ∫∫ ρu 2 / 2 + ρgz rdrdz и семейство сохра-M,ρ- лагранжевы инварианты) функционаловI Φ = ∫∫ Φ (M , ρ )rdrdz , зависящих от произвольной функции Φ(M , ρ ) . Следуя общейпроцедуре (связка интегралов), в рассмотрение вводится функционалфункцияδLδ 2LΦ (M , ρ )L = E + IΦ ,иподбирается так, чтобы на стационарном решении первая вариацияобратилась в ноль.
В соответствии с общей теорией, если при этом вторая вариациястрого положительна, стационарное решение устойчиво по Ляпунову в норме, экви-валентнойδ 2L .Из условий положительности второй вариации вытекают достаточныеусловия нелинейной симметричной устойчивости∂ρ< 0,∂z()∂ M 2, ρ< 0,∂ (r , z )обобщающие известный критерий устойчивости Рэлея для осесимметричных течений однородной жидкости.Аналогичным образом, исследуется устойчивость состояния геострофического баланса, описывающего зональное (вдоль осиx)геострофическое течение стратифициро-ванной жидкости.
Достаточные условия симметричной устойчивости записываются в виде:27∂(m, ρ ) / ∂( y, z ) < 0 ,∂ρ / ∂z < 0,гдеm = f ( fy − u ). Если используется прибли-жение Буссинеска, последние условия сводятся к условиям положительной определенностиматрицы ЯкобиΠ∗для переменныхm, σ , где σ = − gρ / ρ∗- размерная плавучесть.Из этих условий следует, что в устойчивом случае угол наклона поверхностейm = constдолжен превышать угол наклона поверхностейσ = const .В заключительном параграфе 4.4 главы в рамках линейного приближения исследована проблема общей (несимметричной) устойчивости зональных геострофических течений со скоростьюu ( y, z ) .
Анализ проблемы ограничен рассмотрением низкочастотных идлинноволновых (медленно меняющихся по координатеx ) возмущений. Для описания ди-намики таких возмущений в работе сформулировано уравнение относительно возмущениядавленияP:⎤∂PD ⎡ N 2 ∂2P()()div+,= 0,+Π∇PRyz⎢⎥22∂xDt ⎣ f q ∂x 2⎦гдеq- потенциальная завихренность течения,Π = Π ∗−1 , ∇ 2R( y, z ) = q − 2 ∂ (q , σ ) / ∂ ( y, z ) ,y, z . При асимптотическом выводе- оператор градиента по переменным(4.5) накладывались лишь ограничения на характерную частотувозмущений:(4.5)ωи волновое числоkxω << f , k x << f / U 0 . В этом состоит основное отличие (4.5) от уравне-ния переноса потенциальной завихренности в квазигеострофическом приближении, справедливого лишь для течений с малыми числами Россби.Из уравнения (4.5) следует семейство квадратичных законов сохранения, отражающих законы сохранения полной энергии и потенциальной завихренности.
С использованием этих законов в работе сформулирована и доказана Теорема: Относительно низкочастотных длинноволновых возмущений течение устойчиво, если: а) всюду в областинимаемой течением, выполнены условия симметричной устойчивости ( Π ∗ствует такая константаσ> 0 ); б) суще-K , что(u − K ) ∂(q ,σ ) < 0 ,∂ ( y, z )Если использоватьQ , за-q (u − K )∂σ∂s< 0.(4.6)∂Qв качестве вертикальной координаты и рассматривать течение меж-ду двумя горизонтальными плоскостямиz = 0, H ,условия (4.6) сводятся к следующим:28(u − K )∂q∂y σ(u − K )∂σ< 0,∂y> 0,z=H− (u − K )∂σ∂y> 0.z =0В такой форме они совпадают с условиями устойчивости в квазигеострофической теории(теорема Чарни-Стерна) с той разницей, что вместо квазигеострофического выражения дляпотенциального вихряqривается на поверхностяхстоит его точное значение, и горизонтальный градиент рассмат-σ = const(изэнтропических поверхностях).В условиях земной атмосферы приведенные условия, как правило, нарушаются.Возникающая при этом неустойчивость исследована на примере геострофического теченияс постоянным вертикальным сдвигом (обобщенная задача Иди).
В рамках (4.6) определеныпараметры наиболее опасного возмущения (время удвоения амплитуды порядка двух суток, горизонтальный масштаб – порядка радиуса деформации Россби). Показано, что наплоскости волновых чисел область неустойчивости есть эллипс с полуосями, зависящимиот числа Ричардсона. Аналогичные результаты получены в исследовании устойчивостиосесимметричных градиентных течений (состояний циклострофического баланса при наличии фонового вращения).Глава 5.
Немодальный подход к описанию линейной динамики возмущений всдвиговых течениях.Основной недостаток традиционного метода нормальных мод в теории гидродинамической устойчивости состоит в том, что для широкого класса сдвиговых течений (безточек перегиба) соответствующая спектральная задача устойчивости не имеет решений ввиде нормальных мод дискретного спектра. Информацию о поведении возмущений в этомслучае дает непрерывный спектр, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
