Диссертация (1097826), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Магнитное поле пакета H(r , t ) с центральнойчастотой ω 0 представимо в виде~H(r, t )  H(r, t ) exp iω 0 t  .(7.2)Подставляя уравнение (7.2) в уравнение (7.1), можно получить уравнение дляамплитуды H(r, t ) в операторном виде:  ˆ i t  U(r ) H(r, t )  0 ,(7.3)где вторая производная по времени от H (r, t ) считается пренебрежимо малой иω1c2  , где I - единичная матрица. Данныйвведен оператор Uˆ (r)   0 I 22ω0εr оператор эрмитов при условии, что ε(r ) является действительной функциейили, в общем случае, является эрмитовым тензором.

Необходимо отметить, чтоуравнение (7.3) изоморфно уравнению Шредингера. Будем считать, что амплитуда магнитного поля H(r, t ) нормирована на единицу, т.е.  d 3r H (r, t )  1 .2Если ε(r ) является периодической функцией координат, то возможно разложить поле волнового пакета по непрерывному базису функций Блоха:H (r , t )   d 3κ C (κ , t ) h κ ,r0 (r , t )(7.4)с коэффициентами C (κ, t ) , нормированными в соответствии с  d 3κ C (κ, t ) 2  1. Вуравнении (7.4) функции h κ ,r0 (r, t ) являются функциями Блоха с квазиволновымчислом κ , которые зависят от положения центра пакета r0 .

Следовательно, динамика волнового пакета может быть описана положением его центра250 r0 t    d 3 r H (r, t ) r и средним волновым вектором κ 0 t    d 3 κ C (κ , t ) κ . В дан22ных выражениях опущен индекс номера плазмонной зоны поскольку предполагается, что применимо однозонное приближение, в котором волновой пакетпринадлежит только одной зоне и межзонные переходы не учитывают. Это позволяет использовать метод ВКБ.Так как плазмонный пакет имеет конечную пространственную длину, то егоразличные части находятся в областях плазмонного кристалла с различнымизначениями ε(r ) в силу наличия непериодического возмущения  r  . Однакоесли пространственная длина волнового пакета существенно меньше характерного размера, на котором изменяется  r  , то возмущение  r  можно линеаризовать в окрестности центра волнового пакета r0 и форма огибающей волнового пакета становиться не существенной для изучения его динами.

Гамильтониан системы может быть представлен суммой двух слагаемыхˆ Uˆ  Uˆ .U0(7.5)Первое слагаемое учитывает распространение импульса в периодическойсреде с диэлектрической проницаемостью  r, r0    0 r    r0 (t )  , являющейсяпериодической функцией, значение которой медленно изменяется со временемв силу того, что пакет перемещается вдоль структуры. Второе слагаемое учитывает изменение возмущения с координатой.Поскольку гамильтониан Û 0 периодичен по r , ему соответствует следующая задача на собственные значения:ˆ r, r h (r, t )  ω(κ, r )h (r, t ) ,U00κ ,r00κ ,r0(7.6)где ω(κ , r0 )  ω(κ , r0 )  ω 0 - частота функции Блоха.

Здесь также опущен индексплазмонной зоны, поскольку используется приближение пустой решетки.Для вывода уравнений динамики плазмонного пакета можно использоватьвариационный принцип δS  0 , где S   Ldt - действие, соответствующее полю251 плазмонного пакета. Лагранжиан системы, описываемой уравнением (7.3), имеет видdˆ (r )H(r, t ) .L   d 3r iH  (r, t ) H(r, t )  H  (r, t )Udt(7.7)Он является функцией r0 , r0 , κ 0 , и κ 0 .

Подставляя поле H (r , t ) в виде (7.4)в уравнение (7.7) и учитывая уравнения (7.5) и (7.6), можно представить лагранжиан как (в полной аналогии с лагранжианом электронного волнового пакета в кристалле твердого тела [232])L  ω  κ 0 r0  u i du dt ,(7.8)где u  u(r, r0 , κ 0 ) - периодическая амплитуда Блоха. Необходимо отметить, чтопоследнее слагаемое в лагранжиане представляет собой формулу для фазы Берри волнового пакета [233]. Используя лагранжиан (7.8) можно получить уравнения Эйлера-Лагранжа для движения волнового пакета [232]:κ 0   ˆ rr r0  ˆ rκ κ 0r0 ˆ κr r0  ˆ κκ κ 0r0 κ 0 u uu ug  f f g где тензоры  ˆ fg   i ,(7.9) , f, g  r, κ , и α, β  x, y, z .

Тензоры ̂fgописывают, так называемую, кривизну Берри [233].Кривизна Бэрри отлична от нуля, например, в случае, когда  (κ )   (κ ) .Такие особенности дисперсии плазмонов возникают в магнитном поле или вструктурах с нарушенной пространственной инверсией.Рассмотрим сначала случай, когда кривизна Бэрри равняется нулю и уравнение (7.9) упрощаются до одного слагаемого в правой части каждого уравнения. В этом случае, первое уравнение (7.9) аналогично уравнению, описывающему движение электрона в кристалле при наличии внешнего электрического252 поля E : k  eE . При этомωиграет роль внешней силы, действующей наr0плазмонный пакет.

Наличие внешней силы, действующей на электрон, можетприводить к электронным осцилляциям Блоха. Следует ожидать аналогичногоявления и в случае распространения плазмонной волны.2. Особенности движения плазмонного волнового пакета, дисперсия которого зависит от пространственных координатКак следует из уравнений (7.9), есть по крайне мере два необходимых условия возникновения колебательного движения волнового пакета: наличие периодичности структуры, по которой распространяется волновой пакет и наличиевнешней силы, действующей на него. Последнее может быть реализовано путемсоздания структуры, у которой один из геометрических оптических параметровзависит от пространственных координат.Для исследования динамики плазмонного волнового пакета рассмотримслучай, распространения плазмонного импульса по плазмонному кристаллу, состоящему из однородной металлической пленки и диэлектрической решетки(период d) параллельных щелей шириной r.

Причем толщина диэлектрическойрешетки h монотонно увеличивается в направлении, перпендикулярном щелямрешетки (вдоль оси Ох) (Рис. 7.1). Изменение высоты решетки приводит к зависимости закона дисперсии плазмонов от координаты x. Изменение локальногозакона дисперсии ППП создает эффективную силу, действующую на ППП.253 Рис. 7.1: Плазмонный кристалл, состоящий из гладкого металла и диэлектрической решетки переменной высоты вдоль оси Оx.Для начала рассмотрим случай металло-диэлектрической системы с диэлектрическим клином без решетки. Диэлектрическая проницаемость клина  2 .

Наддиэлектрическим клином находится полубесконечный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью  3 . Дисперсия ППП в слоисто однородной металлодиэлектрической структуре с постоянной толщиной диэлектрического слоя задается уравнением (2.4).

Диэлектрические проницаемости диэлектриков могутсчитаться постоянными, в то время как диэлектрическая проницаемость металла 1   1  i 1 может быть описана в рамках модели Друде.Существуют две характерные частоты системы: ~12 и ~13 , определяемыеуравнениями:  1 (~12 )   2  0 и  1(~13 )   3  0 . Эти частоты являются максимальновозможными частотами возбуждения ППП на границе между металлом и соответствующим диэлектриком. Если  2   3 , то ~12  ~13 . Можно показать, что длячастот   ~12 зависимость дисперсии ППП от высоты h является монотонной,причем для относительно малой толщины h дисперсионная кривая  ( ) близкак дисперсионной кривой 13 ( ) плазмон-поляритона на интерфейсе между металлом и диэлектриком с проницаемостью  3 и для достаточно большой толщи254 ны h дисперсионная кривая  ( ) приближается к дисперсионной кривой 12 ( )плазмона на границе раздела между металлом и диэлектриком.

Для промежуточных значений h: 12 ( )   ( )  13 ( ) . Дисперсионные кривые для системысеребро/диэлектрик/воздух, полученные из уравнения (2.4) при различных значениях h, представлены на рис. 7.2. На выбранном частотном интервале закондисперсии ППП оказывается чувствительным к изменению толщины диэлектрика для h<230 нм. Поскольку толщина диэлектрика модифицирует дисперсиюППП, то, в соответствии с уравнениями (7.9), в такой системе на ППП будетдействовать эффективная сила при условии, что h<230 нм. Таким образом, в неперфорированных структурах возможно ускоренное движение плазмонного пакета. Однако колебательное движение оказывается невозможным, т.к.

отсутствует необходимая для этого пространственная периодичность.Рис. 7.2: Дисперсионные кривые ППП в системе серебро/диэлектрик/воздух(  2  5,5 ) при различной толщине диэлектрика h: (i) 0; (ii) 20 нм; (iii) 40 нм; (iv)70 нм; (v) 110 нм; (vi) 200 нм; (vii) 600 нм.255 При наличии периодичности закон дисперсии ППП изменяется и волновойвектор ППП становится квазиволновым. При этом дисперсию ППП обычно рассматривают в первой зоне Бриллюэна. На границах зоны Бриллюэна дисперсионные линии расщепляются и образуются запрещенные зоны, характерные дляпериодических структур. Подробное рассмотрение дисперсионных зависимостей в этом случае будет изложено в §4 этой главы.

А в данном разделе рассмотрим упрощенную ситуацию, когда закон дисперсии   , x  может бытьпредставлен первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора:  , x ( t )     , x ( 0 )   b  x ( t )  x ( 0 )  ,(7.11)где x (t ) и x(0) - это текущая и исходная координаты центра волнового пакета иbx(0)  . Хотя такое приближение обычно справедливо только в сравнительxно малом диапазоне x, все же имеет смысл начать с него, т.к. в нем удается получить аналитическое решение уравнений (7.9): 0 (t )   0 (0)  bt ;x0 (t ) 1  0 (0), x0 (0)    0 (t ), x0 (0) ,b(7.12)Рассуждая в рамках описания в первой зоне Бриллюэна, можно сказать, чтоквазиволновой вектор  изменяется периодически в интервале   d ;  d : когда  достигает  d он переходит на левый край зоны Бриллюэна, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации