Диссертация (1097698), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Когерентное рассеяниеэлектрона на частицах среды приводит к зависимости его энергии от ориентации спина частицы. Квантовые переходы электрона между состояниями сразличными ориентациями спина, сопровождающиеся излучением фотонов,по существу и представляют собой явление спинового света электрона в среде(SL). Подчеркнем, что данное излучение обусловлено именно собственныммагнитным моментом электрона, чем и объясняется название эффекта.7.1.1. Постановка задачиПодход к решению задачи о спиновом свете электрона в среде во многоманалогичен подходу к решению задачи о спиновом свете нейтрино (см.
гла-229ву 6). Будем предполагать, что выполнены условия, при которых взаимодействие электрона с частицами среды является когерентным (см. раздел 6.1).Далее необходимо рассмотреть вначале взаимодействие электрона с единичной частицей среды, а затем произвести усреднение по статистическому распределению всех частиц среды.На этом пути можно найти эффективный лагранжиан, описывающий когерентное взаимодействие электрона с частицами среды (по аналогии с разделом 6.2.1). Затем вариационным методом можно получить соответствующееволновое уравнение – модифицированное уравнение Дирака для электронав среде. Точные решения данного уравнения далее можно использовать длянахождения физических характеристик спинового света электрона в среде.Имея в виду возможные астрофизические приложения (в первую очередьдля плотных астрофизических объектов, таких, как нейтронные звезды), рассмотрим случай движения электрона в среде, состоящей из нейтронов («нейтронная материя» [478,479], см.
также [469,470]). В этом случае эффективныйлагранжиан, учитывающий когерентное взаимодействие электрона с нейтронами среды через нейтральные токи, будет иметь вид [527, 529] (ср. с (6.15)))(()1()(7.1)ℒeff = −˜ ¯() 1 − 4 sin2 + 5 () ,2где 4-вектор ˜ зависит от плотности тока и поляризации нейтронов √и определяется выражением ˜ = ( − )/ 2.
Плотность нейтронноготока и поляризация среды выражаются согласно формулам (6.11) и (6.12)с очевидными заменами → , v → v , → . Модифицированноеуравнение Дирака для электрона в среде, следующее из лагранжиана Стандартной модели (2.2) с дополнительным учетом эффективного вклада (7.1),дается формулой1) (см. также [448]){}1 ∂ − ( + 5 ) ˜ − Ψ() = 0,(7.2)2где – масса электрона, а постоянный коэффициент выражается черезугол Вайнберга согласно соотношению = 1 − 4 sin2 .1)Похожие по форме уравнения используются в некоторых расширениях Стандартной модели, пред-полагающих нарушение CPT- и лоренц-инвариантности (см. обзоры [534, 535], а также работу [536]).Разумеется, физический смысл коэффициента ˜ в нашем уравнении (7.2) существенно отличается отсмысла, приписываемого ему в упомянутых расширениях Стандартной модели.230Будем далее считать, что нейтронная среда – покоящаяся (v = 0) инеполяризованная ( = 0).
Тогда множитель ˜ , описывающий взаимодей√ { , 0}, где – константаствие электрона со средой, примет вид ˜ = 2Ферми, – число нейтронов в единице объема. При этих предположенияхуравнение (7.2) решается точно таким же способом, которым решалось соответствующее уравнение для нейтрино в разделе 6.2.2. В результате получимэнергетический спектр электрона в среде в следующем виде [527, 528]:√ ()2+ 2 + ,(7.3) = p2 1 − где = ±1 – спиральность электрона, определяемая соотношением (6.22), – безразмерный параметр плотности внешней среды (ср. с (6.24)):1.
= √ 2 2(7.4)Непосредственное сравнение результатов (7.3) и (7.4) с формулами (6.23) и(6.24) для нейтрино показывает, что при → 1 (а также, если произвести˜ ) энергетический спектр изамены → , → , → , → параметр плотности для электрона перейдут в соответствующие выражениядля нейтрино. Число = ±1 здесь имеет тот же самый смысл, что и в (6.23),т. е. расщепляет решения на две ветви, которые в пределе исчезающе малой плотности среды ( → 0) переходят в решения свободного уравненияДирака с положительным и отрицательным знаком энергии.Вычисления показывают, что точное решение модифицированного уравнения Дирака (7.2) для рассматриваемой среды можно получить из соответствующего решения уравнения для нейтрино (6.25), если в выражении (6.25)произвести замену → (а также, разумеется, → и → ).В результате мы получим решение, найденное нами в работах [527–529, 531].7.1.2. Вероятность и мощность излученияАмплитуда процесса спинового света электрона в среде, отвечающая спонтанному излучению фотона с 4-импульсом = (, k) и поляризацией, описываемой 4-вектором , имеет вид [527–529]√ ∫ 4 ∗ = − 4 ()( ) √ (),(7.5)23231где – заряд электрона, , – точные решения уравнения (7.2) для волновых функций электрона в среде в начальном и конечном состоянии, 3 = –нормировочный объем.
Выбирая трехмерно-поперечную калибровку для волновой функции фотона, в которой = (0, e), выразим амплитуду (7.5) черезтрехмерные величины:√ ∫ 4 = 4 ()(e∗ ) √ ().(7.6)23Проводя в (7.6) интегрирование по времени и пространственным переменным с учетом явного вида функций и , мы получаем -функции, последующая реализация которых дает законы сохранения энергии и импульса: = ′ + ,p = p′ + k,(7.7)где при помощи , p и ′ , p′ обозначены энергии и импульсы начальногои конечного электрона.
Проводя далее совместный анализ выражений дляэнергии частиц (7.3) и законов сохранения энергии и импульса (7.7), заключаем, что процесс спинового света электрона в среде (SL) разрешен тольков том случае, когда спиральности начального и конечного электрона ( и ′ )связаны следующим соотношением: = −′ = −1.Частота излучаемых фотонов, полученная на основе разрешения законов сохранения энергии и импульса (7.7), отвечающая переходу электронаиз состояния с отрицательной спиральностью в состояние с положительнойспиральностью, имеет вид [527–529]2 [˜ − ( + ) cos ]=,(˜ − cos )2 − ( )2где ˜ = − .(7.8)Здесь – угол между импульсом фотона k и импульсом начального электрона p, в данном разделе мы используем вакуумный закон дисперсии дляфотонов ( 2 = 0).
Заметим, что при → 1 формула (7.8) переходит в выражение (6.45) для частоты фотонов, излучаемых в спиновом свете нейтрино.В частном случае движения релятивистского электрона в среде с малымзначением параметра энергия испущенного фотона (7.8) определяется выражением ≃ √,(7.9)2 1 − cos 232√где = /0 – скорость электрона в вакууме, т. е. 0 = 2 + 2 . Данная ситуация может реализоваться в различных астрофизических объектах,а частоты SL-фотонов, как это следует из формулы (7.9), будут при этомнаходиться в рентгеновском диапазоне спектра.Перейдем к вычислению вероятности и мощности излучения. Используявыражение для амплитуды процесса (7.6) и энергии испущенного фотона (7.8)с учетом суммирования по состояниям поляризации конечного фотона, получаем общий вид выражения для вероятности исследуемого процесса [527–529]∫2 = sin (7.10)2 0 1 + ˜′ и для полной мощности излучения∫2 2 = sin ,2 0 1 + ˜′ где подынтегральная функция имеет вид()2 = (1 − cos ) 1 − ˜ ˜′ −.˜ ˜ ′(7.11)(7.12)Здесь мы ввели обозначения, аналогичные используемым в (6.48)–(6.50): + ,˜ =˜′ − ′˜ =.˜ ′(7.13)Энергия и импульс электрона в конечном состоянии определяются соотношениями˜ − cos − cos ′′ = − , = − ; =, =.
′Интегрирование в выражениях (7.10) и (7.11) по углам вылета испущенного фотона дает окончательные замкнутые выражения для полной вероятности и полной мощности спинового света электрона в среде [527–529]:[]2 3 (1 + 2) (1 + 2)2 ln(1 + 2) − 2(1 + 3)√=,(7.14)42(1 + 2)2 1 + + []2 4 (1 + ) 3(1 + 2)3 ln(1 + 2) − 2(3 + 15 + 222 ) − 84 =, (7.15)62(1 + 2)3причем коэффициенты и равны = 2 + 2 /2 , = 2 / .233Далее мы рассмотрим некоторые предельные случаи для вероятности имощности SL, отвечающие различным вариантам соотношений между импульсом, массой электрона и параметром плотности среды . Анализ результатов (7.14) и (7.15) показывает, что можно выделить два предельныхслучая: ≫ / и ≪ /, когда выражения допускают аналитическое упрощение.Вначале рассмотрим случай, когда ≫ / («плотная» и «сверхплотная» среда).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
