Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Пусть т Е ЛХ произвольная вершина выпуклого многогранника совн(ЛХ), через которую можно провести гиперплоскость, пересекающуюся с сопг[ЛХ) только по т. Пусть п . вершина из Сю такая что Г(п) = т. Так как все веса ребер положительны, то для выоранной вершины г равенство не выполняется. Полученное противоречие и завершает доказательство предложения, Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей. 306 Следствие 5.6 Пусть С --- взвелаенный граф с весовой функцией щ, и р -- произвольное.
граничное отображение, Тогда множество всех погруженных, минимальных сетей типа С с границей ул али пуепло, или совпадаепл с относитллельной внуплренностью выпуклого компакта [С,лр] ь,. Поэтому, если существует взвешенная минимальная сеть типа С с границей ул, то ллль[С д] . — [С р]г Доказательство. Предположим сразу, что существует хотя бы одна взвешеннвл минимальная сеть Г типа С с границей ьэ. Из предложения 5.9 вытекает, что множество всех взвешенных минимальных сетей типа С с данной границей р -. выпуклое подмножество в [С,Днаь.
Покажем, что каждая точка Г' из относительной внутренности множества [С, ээ],„ы является взвешенной миниллальной сетьн>. Выпустим из точки Г луч с в направлении точки Г'. Так как Г' принадлежит относительной внутренности множества [С, д]ла„, то достаточно близкие к Г' точки луча г, не лежащие на отрезке [Г, .Г'], принадлежат [С,у] ы. Пусть Г" любая из таких точек. Из утверждения 5.3 вытекает, что на интервале [Г', Гв] содержитсл погруженная линейная сеть Г.
По предложению 5.9, отрезок ,'Г, Г], соединяющий две взвешешлых минимальных сети одного типа с одной и той же границей, состоит из взвешенных минимальных сетей, что и требовалось. Таким образом, из теоремы 7 и следствия 5.1 из нее, вытекает следующий результат. Следствие 5.7 Пусть Г взвешенная минимальная сеть типа С в х'.ь с границей д и весовой функцией ьл.
Обозначим серез г ранг сети Г, через т — количество ребер сети Г, а через [С,ул] конфигурационное просплрслншпво подвижнълх веригин графа С. Тогда множесплво взвеааенных минимальных сетей типа С с гриницей ул представляет, собой внутренность выпуклого [т — т]-мерного многогранника [С,.Д„я„,,нвяяюилегося множеством всех минимумов функции взвешенной длины е; [С, ло] -+ 2. Более того, многогранник [С,ьэ] ы имеет не более 'чем т, граней максимальной размерности.
Опишем тспсрь более подробно, как устроены деформации взвешенных минимальных сетей данной топологии с фиксированной границей, Пусть С произвольный взвешенный граф с весовои функпиеи ы и границей В, и Г; С вЂ” ь К~ взвешенная ьлиниьиальная сеть с границей 5.2. Взвешенные минимальные сети в К<д. 307 уп  — ь Км, Ребро графа С назовем циклическим, если оно принадлежит хотя бы одному циклу.
Обозначим через Св подвижный подграф для С. Ребро е из С отнесем к нулевому уровню, есди е циклическое ребро подвижного подграфа Св. Ребро. не принадлежащее нулевому уровню, но инцидентное или некоторому ребру. нулевого уровня, или слабо фиктивной вершине, назовем ребром первого уровня, а все остальные ребра (т.е.
ребра, не лежащие ни на нулевом, ни на первом уровнях) назовем ребрами второго уровня. Имеет место следующий результат. Теорема 8 Пус<пь Г -- произвольная взвешенная минимальная сеть в К<у типа С с границей <р, и Г<, ~ Е <<О, Ц, некоторая ес деформация в классе взвешенных минимальных се<пей с той же границей р. Тогда в процессе деформации Г< все ребра остаются пара сльны себе. При этом, ребра второго уровня неподвижны, а для ребер первого уров я остаются неподвижными прямые, содержащие эти ребра.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится ряд новых понятий и их свойств. 5.2.2 Формы Максвелла Пусть С -- взвешенный граф с границей <<С и положительной весовой функцией ь<, а Г: С вЂ” д К~ произвольная линейная сеть в К~ с границей Г~в<д. Пусть С<,..., Сь невырожденные компоненты графа С, и Гд — — Г~ << соответствующие невырожденные компоненты сети Г. Рассмотрим некоторую невырожленную компоненту Гд. Для каждой граничной вершины ор из Сд обозначим через рр единичный вектор напРавлениЯ еДинственного вхоДЯщего в веРшинУ Гд. ор — Р К<у РебРа Гд. ер — Р К<' сети Гд, а чеРез тр РадиУс-вектоР точки Гд(ор) в Кьт. Далее, пусть О стандартная форма объема в К<д.
Другими словами, если (х<,..., х~) декартовы координаты в К~, то О = дх' «<< дх~. Обозначим через р(Гд) внешшою форму степени Х вЂ” 2, значение которой на произвольном наборе векторов Ъы..., 1<к г из К~ определяется так: р(Гд) ®,..., Ък а) = ~'<о(ер)0(т„ор, ~~,..., 1~~~ э), где сумма берется по всем граничным вершинам ер графа С<г Глава 5.
Сети с фиксированными типом и границей. 308 Определение. Внешняя форма р(Гд) называется формой Максвелла невсярожденной компоненты Гд или формой Максвелла сети Г, соответствующей невгярожденной компононте Гд. Предложение 5.10 Пусть Г произвольная взвешенная минимальнал сеть, и Гд, Сд — ь л~о -- ее невыРожденнал компонента. Тогда форма Максвелла р(Гд) равна нулю.
Доказательство. Для каждой подвижной вершины о Е Сд рассмотрим единичные вектора и,', направлений входяших в вершину Гд . и — у Гдо ребер. Так как сеть Гд минимальна, то при каждом фиксированном о линейная комбинация векторов пд с коэффициентами весами ш соответствующих ребер, равна нулю. Поэтому равна нулю и внсшнял (Ас — 2)-форма, полученная из формы объема так: 11(тт, ~~ со и',,,..., . ), где через ть обозначен радиус-вектор точки Г (и). Следовательно. добавив эти равные нулю формы к форме Максвелла 1с(Гд), мы не изменим форму 01Гд) Прибавим все зти (нулевые) формы к р(Гд). В полученной сумме мы изменим порядок суммирования, сгруппировав вместе слагаемые, соответствующие одному и тому же ребру е, а затем уже просуммировав по всем ребрам из Сд.
А именно, пусть е произвольное ребро из С, А, и В, -- радиус-векторы концевых точек отрезка Г1е)., а пд и ав векторы направления отрезка Г(е), ориентированного соответственно в сторону А, и В,. Иными словами, пд = — пв = ВдАд/~В~Ад ~. Тогда ребру е в нашей сумме соответствует следу.ющее выражение: ~се)ОсА,, пл,... ) -е ьд(е)ОсВ„пв,... ) = ш(е) (0(Ае пл ...
) 0(Вд. дд с ... )): сl(е) (0(Ае Ве пл ° ° )): 0 так как векторы А, — В, и пл колинеарны. Поэтому форма 1ДГд) равна нулю, что и требовалось. Доказательство предложения закончено. Пусть С взвешенный граф, совпадающий со своей невырожденной компонентой. Рассмотрим два граничных отображения р и ~р', одинаковых на всех граничных вершинах из С, кроме одной, скажем и. Обозначим через е единственное ребро из С, инцидентное е. Предложение 5.11 Предположим, что С имеет в Гск взвешенные.
минимальные реализации Г и Г' по описанным выше граничным отображениям со и дд' соответственно. Более того, пусть взвешенные 5.2. Взвешенные минимальные сети в вс~ . 309 минимальные сети Г и Г' параллельны. Тогда отрезок ~р(и), р'®] параллелен Г-обраэу ребра е. В частности, отрезки Г(е) и Г'(е) лежат на одной прямой. Доказательство. Обозначим через п единичный вектор направлений входящих в вершины Г: и — ь м~ и Г': и — ь м~ ребер Г; е — ь г1'~ и Г'; е — > м~, а через т и т' радиус-векторы точек фи) и у'(и) соответственно.
Рассмотрим формы Максвелла взвешенных минимальных сетей Г и Г'. Имеем р(Г) — 1ДГ ) = ьДе)0(тп — т~, и,... ). По предложению 5.10., эта (Х вЂ” 2)-форма тождественно равна нулин Следовательно, вектор т — т' = р'(и) р(и) колинеарен вектору и. Доказательство предложения закончено. 5.2.3 Усы Пусть Г; С вЂ” ь м~ взвешенная локально минимальная сеть типа С, и пусть граф С совпадает со своей невырождснной компонентой. Обозначим через С(С) множество всех циклических ребер из С.
Множество С(С) является подграфом в С. Связные компоненты графа С(С) назовем ядрами. Профакторизуем С, как топологическое пространство, по С(С). Результат обозначим через С'. Полученное фактор-пространство естественным образом наделяется структурой графа, вершины которого это вершины из С, не входящие ни в какое ядро, а также все ядра. Две вершины из С' смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им элементы из С (вершины или ядра) соединены в С ребром. Естественную проекцию графа С на фактор граф С' обозначим через к. Легко видеть,что С' является деревом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
