Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Иными словами, минимальная реализац я дерева С непрерывно зависит от граничного отображения этого дерева. Наконец, приведем аналог предложения 4.9 об общем положении локально минимального бинарного дерева. Пусть Г взвешенное минимальное 2-дерево, затягивающее конечное множество ЛХ точек плоскости. Как и в случае локально минимальных бинарных деревьев, будем говорить, что Г находится в общем положении, если каждое его ребро находится в общем пололсснии с каждым отрезком, соединяющим любую пару вершин из ЛХ.
Предложение 4.31 Для любого взвешенного минимального 2-дерева, затягивающего конечное множество ЛХ точек плоскости, состоящее по крайнеи,нере из трех точек, и для каждого е > О существуевп деформация множества ЛХ в некоторое множество ЛГ, такая что: ° расстояние между каждой смешенной вершиной т' Е ЛХ' и ее начальным положением т е ЛХ не превосходит е; ° разбиение множестпва ЛХ на уровни выпуклости сохраняется при этой деформации; ° эта деформацил может бьгть продолжена до дефор.нации взвешенного минимального 2-дерева Г в классе взвешенных, минимальных 2-деревьев в некоторое взвешенное минимальное 2-дерево Г'; 4.6. Взвешенные бинарные деревья.
287 ° полученное дерево Г' находится в общем положении. Доказательства последних двух предложений полностью аналогичны доказательствам соответствующих предложений о локально минимальных деревьях. Глава 5 Геометрия множества взвешенных локально минимальных сетей с фиксированными типом и границей в к Выше, см. главу 3, мы уже отмечали что решение обобщенной проблемы Штсйнсра как правило не единственно. В данной главе мы займемся изучением вопроса единственности минимальных сетей в Ж~ более подробно. Оказывается, в К'~ возникают целые непрерывные семейства (взвешенных) локально минимальных сетей фиксированного типа с фиксированнои границей. Наша цель описать устройство этих семейств.
Мы покажем, что они имеют структуру выпуклых многогранников. Для этого в начале данной главы изучаются множества взаимно параллельных линейных сетей в евклидовом пространстве К~. у которых предполагаются фиксированными топология и граница, Полученные здесь результаты, см. теорему 7, на наш взгляд, имеют самостоятельный интерес. 289 Глава 5.
Сети с фиксированными типом и границей. 290 5.1 Геодезические сети. Линейные сети Пусть И это риманово многообразие, каждые две точки которого соединяются единственной геодезической. Определение. Сеть Г: С вЂ” ~ Иг, все ребра которой отрезки геодезических [возможно, вырожденные), называется геодезической сетью. Пусть,и[С) зто множество всех геодезических сетей вида Г: С -+ И', где С - произвольный граф. Так как каждые две точки объемлюшего многообразия И' гю предположению соединяются единственной геодезической, элементы пространства л',[С) могут быть описаны положенилми своих вершин. Поэтому., если [С[ количество вершин графа С, то,С(С) представимо в виде многообразия Иг'и'.
Это представ. ление задает естественную гладкую структуру на 2[С), которая и будет иметься в виду в дальнейшем, когда мы будем говорить, например, о дифференцирусмости функций, заданных на пространстве геодезических сетей. Элементы множества к[С) назовем ггоогзичгскнми сетями топологии С. Пусть С --. граф с некоторой границей, а ю —.- произвольное граничное отображение. Множество всех геодезических сетей Г: С вЂ” ~ И', таких что дГ = р, обозначим через [С, Д и будем называть пространством ггой)езичгских сетей топологии С с данной границей у. По определению, [С.,Д С ь(С).
Каждый элемент из [С,:р] однозначно задается положением своих подвижных вершин, поэтому если г -- количество подвижных вершин графа С, то [С, у] естественным образом наделяется структурой многообразия Иг' с И'~о~. В отучав И' = К~ геодезические сети называются линейными сегнлми. Случай линейных сетей представляет собой важный частный случай геодезических сетей. Для линейных сетей можно ввести понятие параллельности, которое оказывается чрезвычаино полезным при изучении геометрии локально минимальных и взвешенных локально минимальных сетей в евклидовом пространстве.
Пусть Г и Г' две погруженных линейных сети одного и того же типа С. Ориентиру ем граф С произвольным образом. Это позволит нам рассматривать образы рсбер этого графа при отображениях Г и Г' как векторы в пространстве К~. Мы скажем, что сети Г и Г' параллельны, если для каждого ребра е из С векторы Г[е) и Г'[е) сонаправлены. Пусть Г: С вЂ” у 2~ -- погруженная линейная сеть типа С с произвольной фиксированной границей ьо: дС -+ Кп . Обозначим через [С, ю]г множество всех линейных сетеи из [С, у] параллельных Г. Об- 5.1. Геодезические сети. Линейные сети.
291 щая задача, которая будет решена в настоящем разделе, см, теорему 7, состоит в следующем. Задача 5.1 Описать структуру множества [С,у]г. В качестве следствий теоремы 7 мы получим описание всех взвешенных локально минимальных сетей данного типа с данной границей, см. с-Бедствие 5.7. Выше мы определили разбиение произвольного графа, а значит и произвольной сети, на невырожденные компоненты. При рассмотрении классов параллельности линейных сетеи зти компоненты, как легко видеть, независимы в следующем смысле. Предложение 5.1 Пусть (Г,; С, -+ Гс') невырожденные компоненты линейной аоеруокенной еегаи Г с граниией р, а у; гранина сети Г,.
Тогда [С, р)г = [Сы Ф1)г х ' ' ' х [Сь, Мгь. Отметим, что предложение 5.1 позволяет свести задачу описания множества [С, Дг к задаче описания таких множеств для невырожденных компонент. Пусть Г, как и выше, погруженная линейная сеть типа С с границей у. Для описания множества [С, р)г нам понадобится следующая линейная система уравнений. Фиксируем в пространстве Км некоторые евклидовы координаты. Фиксируем некоторую ориентацию сети Г.
и будем называть эту ориентацию исходной. Если е произвольное ребро сети Г, ориентированное одним из двух возможных способов, то положим е[е) равным 1, если эта ориентация ребра е совпадает с исходной. В противном случае, положим е[е) = — 1. Пусть о[е) -- координаты единичного вектора направления ребра е сети Г в исходной ориентации. Разобьем граф С на невырожденные компоненты С„и пусть Г, = Г[сп соответствующие сети. Рассмотрим произвольную компоненту Г,. Обозначим через ЛХВ..., ЛХо координаты образов граничных вершин иь,...,и„сети Г,.
Пусть е единственное граничное ребро, инцидснтнос вершине и . Для каждого ребра е, отличного от еь, фиксируем некоторый ориентированный путь 7 в Г, соединяя>щий ребра еь и еэ начинающийся в иь и заканчивающийся в и . Отметим, что ориентация пути 71 определяет значения чисел е[е) для всех ребер е из у... Далее, пусть сь,...,сь циклы из Г„соответствующие некоторой фундаментальной системе циклов графа Сб на каждом из которых Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей.
292 фиксирована ориентация. Отметим, что обьединение построенных систем фундаментальных циклов по всем невырожденным компонентам С; образует фундаментальную систему циклов подвижного подграфа С графа С. Как и в случае путей уэ ориентация каждого цикла сч определяет значения чисел е1е) для всех ребер е из сч. Каждому ребру е сети Г, поставим в соответствие вещественную переменную Л,. Рассмотрим следующую линейную систему уравнений на вещественные переменные Л„записанную в векторной форме: е(е)и(е)Л, = ЛХ, — ЛХг, меев, е(е)о(е)Л, = О, Ч ум г' = 2,..., и Чехи й=!,...,Е : еы 'Здесь (...,Лч,...) Е К", где т -- количество ребер графа С,.
Эта система линейных уравнений называется фундаментальной ситпемой невырижденной компоненгпы Г,, а ее ранг ранеом гкГ, компоненты Г,. Отметим, что уравнения фундаментальной системы, соответствуюшие путям ч, выражают вектора ЛХгЛХ~ в виде суммы векторов— звеньев ориентированной ломаной у:. Уравнения фундаментальной системы, отвечаюшие циклам сч, означают замкнутость каждой ориентированной ломаной сч. сумма всех векторов звеньев такой ломаной равна нулю. Определение. Фундаменгпальной сислпемой сети Г называется ли- нейнэл система уравнений, составленная из фундаментальных систем всех невырожденных компонент сети Г. Гансом г1г(Г) сети Г называ- ется ранг ее фундаментальной системы. Замечание.
Так как каждое ребро сети Г принадлежит ровно одной ес невырождснной компоненте, фундаментальная система сети Г имсст блочный вид, и, поэтому, ранг сети Г равен сумме рангов ее невыро- жденных компонент; г1г(Г) = ~ г1г(Г;). Отметим, что определенная нами фундаментальная система сети Г зависит от выбора путей у и циклов сч. Тем не менее, имеет место следующий гомологический результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
