Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Поэтому, в силу следствия 4.10, имеем: ~ пн1(Х, И~;) ~ < 2(р — 2) + и, + 1 = 2р — 3 + и, (2.) Разбиение ломаной Х относительно И; не содержит Е-элемента. Тогда,как количество А'-областей, так и количество В'-областей,не превосходит (р — 1) + шах(п~, п~). Здесь возможны два случая. (2,а.) После регулярнзации и редукции ломаной Х по отношению к И; каноническое разбиение полученной ломаной снова не содержит Е-элемента. Тогда, в силу следствия 4.10, имеем: ~ шс1(1,,И;)~ < р — 1+ п1ах(п~,пн) < 2р — 3+ шах(п 4,пн), при р) 2.
(2,б.) После регуляризации и редукции ломаной Х по отношению к И'; каноническое разбиение полученной ломаной содержит Е-элемент. Тогда, в силу следствия 4.10,имеем: ~шс1(Х, И;)~ < р — 1+ п~ 4-р — 1+ пн — 1 < 2р — 3-~- п,. Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 262 Оценим сумму ~ шб(Х, И'1) + 11п1(Х, И'д) ~, для чего сложим соответствующие опенки.
Напомним, что, в силу предложения 4.24, п1+пв < 2. Далев., из неравенства 1пах(пл,п~) < 1 вытекает, что п1ах(п1~,п~) + шах(пз,п~) < 2. Наконец, п, + шах(11~,п~) < и, + пз < 2. Итак, во всех случаях получаем, что ~ шб(Х, И 1) + шо(Х, 1411)~ < 2(2р — 3) + 2 = 4(р — 1).
Теперь, воспользовавшись утверждением 4.11, имеем: ~ 1п Х ~ < 3 ~ мсье(Х, И 1) + 1пс1(Х, И ~) ~ -~- 6 < 3 4(р — 1) + 6 = 12(р — 1) + 6, т.е, ~1пХ~ < 12(р — 1) + 6. Основная теорема доказана в случае р = 16 4.4э8 Случай р < д Итак, пусть теперь р < 11. Разобьем ломаную Х следующим образом, Первый фрагмент, Х,1, это часть ломаной Е между точкои,4 = А1 и такой первой точкой В1 Е Х, что вся оставшаяся часть ломаной Л между В1 и В лежит в замкнутом многоугольнике пг. Другими словами, Х1 — это минимальная связная часть ломаной Х, содержащая А и такая, что Х 1Л1 целиком содержится в пг.
Отметим, что Х1 может состоять из одной точки А1 = В1. Второй фрагмент Х,я ломаной Х, это часть ломаной Х между точкой Аз = В, и такой первой точкой Вю что вся оставшаяся часть ломаной Ь, начиная с Вз, лежит в замкнутом многоугольнике пи ДРУтими словами, Вз -- это пеРваЯ точка на Е, такаЯ что Х '1(Е10Ез) С „рз-1 Далее, для 1 > 1 и такого, что р+ 1 — 1 < д, т.е. 1 < 11 — р+ 1, определим фрагмент Хп ломаной В как часть Ь между А1 = В, 1 и такой первой точкой В„что оставшаяся часть ломаной Е от В1 до В содержится в замкнутом многоугольнике пг+' Последний фрагмент разбиения Хя „з.з, совпадает с оставшейся частью ломаной Х, если эта часть не пуста. Итак, мы построили разбиение ломаной Х, на участки В1, Х,щ ..., Ьд,зэ, такие что кажДый фРагмент Х1 соеДинЯет точки А1 и Вп гДе А1, В1 Е И"", А, = В; 1 Е И1яз1 з, и В; Е У1"ж' ' при 1 < 1 < 4 — р+1, причем Хп С и"~1 ~ при 2 <1 < 4 — р+1.
Ероме того, Ая „з.э и В рз я пРинадлежат И", и Х,я р~з С пЯ. Обозначим чеРез а, и б, концевые ребра ломаной А,,инцидентные точкам А,и В, соответственно. Отметим, что,по определению, ребро Ь1,1 = 1,...,(11 — р + 1),пересекает границу И"гь1 1 выпуклого многоугольника и"з' 1 по единственной точке Вь 4.4. Линейные деревья.
263 Предположим, что точка В,, г = 1,...,г1 — р + 1, пересечения ломаной Х с ломаной Иге+' е является внутренней точкой некоторого звена ломаной В. Тогда начальный сингулярный элемент ломаной Х„, г = 2,... г о — р+ 2, так же, как и конечный элемент предыдущей ломанои Ь; ы является трансверсальным (состоит из одной точки), и, более того, 1п (Ь, ы а;) = О, В частности, из этого предположения вытекает.
что первый и последний фрагменты Е~ и Ев рех содержат, по крайней мере. по одному ребру. Путь Е, обладающий указанным свойством, назовем хорошим. Мы сначала докажем теорему для хорошего пути Х, а затем рассмотрим общий случай. Итак., в сделанных предположениях, для доказательства теоремы достаточно показать следующее; 1. имеет место неравенство: сиХ,г < 12(р — Ц + 3; 2. для каждого из фрагментов Х,г 1 = 2,..., о — р+ 1, выполнено: спХ, < 12; 3. для последних двух фрагментов Хв рлл и Ьв рех справедлива оцснка: г,сп(Е рег 0 Хе рех)~ < 15.
Используя перечисленные оценки и тот факт, что 1зу(5, ы а;) = О при 1 = '2,, г гХ вЂ” Р+ 2, полУчим УтвеРжДение теоРемы: )ФпХ! = (спХг + ~епХ;+си(Хе ег 0 Хв рез)! < г=х < 12(р — Ц + 3+ 12(гХ вЂ” р — Ц + 15 = 12(г1 — Ц + 6. Перейдем к реализации указанного плана. Шаг (1) Так как концевые вершины ломаной Ьг лежат на однои н той же ломанои Ихо, кручение ломаной Х~ не превосходит, как мы уже доказали выше, 12(р — Ц+6.
Однако, такая оценка оказывается слишком грубой. Усилим эту оценку, используя тот факт, что фрагмент Ьг приходит на И'Р в точке В~ снаружи по-отношенню к аР. А именно, имеет место следующая оценка. Предложение 4.25 В сделанных ввпае предполохсенилх, справедливо следугощее неравенсгаво: )епХг) < 12(р — Ц + 3. Глава 4. Плоские локально минимальные деревья.
264 Доказательство. Как и при доказательстве случая р = д, можно, во-первых., предполагать, что Вс не образует пустых шапочек по отношению к И'", и, во-вторых, перейти к ломанои Тч, которая, к тому же, не образует касательных концевых сингулярньсс элементов по отношению к Иго.
Обозначим, как и выше, через Исс и 1уз коэлпоненты замкнутой ломаной И'г, на которые ее разбивают концевые точки Ас и В' ломаной Уг Обозначим через Н, 'Нл,, 'Нв,, и, ', и, ', и и; те же А, Вс объекты, что и при разборе случая р = 4. Так как концевое звено ломаной Тч лежит, очевидно, вне области ог, мы находимся в условиях следствия 4.16. Используя те же оценки для индекса ломаной Ус по отношению к И;,, что и в случае р = о, и заменяя предложение 4.24 следствием 4.16, получаем: ~ пп1(Х, И'с ) 4- шс1(Х, Исо) ~ < 2(2р — 3) + 1 = 4(р — 1) — 1. Теперь, в силу утверждения 4.11, имеем: ~ ссс Ь~ < 3 ~ шс1(Ь, 11сс ) -Ь спс1(Е, ИСя) ~ -~-6 < 3.
4(р — 1) — 3+ 6 = 12(р — 1) + 3. Предложение 4.25 доказано. Шаг (2) Оценим кручение каждого из Ьс, 2 < 1 < д — р+ 1, доказав следующее предложение. Предложение 4.26 В сделанных выше, обозначениях, если 2 < 1 < 4 — р+ 1, спо (Спас! < 12. Доказательство.
Ориентируем Лс от А, к В,. Напомним, что мы обозначили через а; и бс соответственно первое и последнее ребра из Е,. Далее, напомним, что А; е И'"сс з, а В;, е Ис"ч' с. Обозначим через В,' инцидентную ребру бс вершину из Ес, отличную от В;, т.е. Ьс = В',Вс. Пусть 1 такая прямая, проходящая через точку. В„что многоугольник ог ь' с и точка В,' лежат в разных полуплоскостях, порожденных этой прямой. Обозначим через и. единичный вектор, перпендикулярный 1 и направленный в полуплоскостьн содержащую В,', т.е, "вне о"~с и'. Пусть у квази-геодезический луч, выпущенный с ребра сети Г, содергкащсго б„в направлении п (такой луч существует в силу следствия 4.11). Ясно, что Т пересекает Игл ' ' только в точке В„ и, более того, ч необходимо пересекает Исоа' х. Обозначим через С первую вдоль у точку пересечения с И'гы з. ".1асть 2 между В, и С снова обозначим через у.
4.4. Линейные деревья 265 Рис. 4.15: Оценка кручения фрагмента Ее Предположим сначала, что у с Ь,;. Обозначим через Е,[.46 С1 часть ориентированного пути Хн от А, до С. Тогда, в силу утверждения 4.12, имеем: [Еп(Ха[А,,С))[ < 6. Далее, по следствию 412, [сп у[ < 3. Поэтому [спХ[ = [1п[Хл[Ап С)) + еж С+ си у[ < 6+ 3+ 3 = 12, что и требовъюсь, Пусть теперь 2 ф Хе. Положим у' = Хе П у. Ясно. что 5л связно, так как Г нс имеет циклов, и, кроме того, у' З 5,. Далее, обозначим через Х,', замыкание Х, 1 "(, а через То замыкание у 1" .
Точки А, и С делят ломаную И'"т' з на две компоненты. Обозначим через И" ту из них. которая, вместе с ломаными Х', и ув, ограничивает множество о', не содержащее точки Вб оставшуюся компоненту обозначим через И"', см. рис. 4.15. Обозначим через у ломаную И" 0 гб ориентированную от точки А,. Рассмотрим каноническое разбиение ломаной Хн относительно ломаной у, и пусть Й . — первая Й-область, порожденная ломаной Хн относительно ломаной у. Обозначим через ее начальный твистинг ломаной Х„относительно у, Имеет место следующая лемма. Лемма 4.22 В с0еланных выше обозначен ях, епйп = еп у — ее+ Зв16п[Й).
Доказательство. В самом деле, по построению, ломаная Хн целиком лежит в выпуклом многоугольнике он+' з и пересекается с ~ только по подломаной 32 и по некоторым подломаным из 1Г. Поэтому, очевидно, каждая компонента из Ха О Ип порождает касательный сингулярный элемент канонического разбиения ломаной Х, относительно ломаной т. Легко построить деформацию Ф ломанои Вп такую что Глава 4. Плоские локально минимальные деревья.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
