Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 59
Текст из файла (страница 59)
266 1. деформация Ф не меняет направления концевых звеньев ломаной 2, полученная в результате ломаная Ф(ЬД по-прежнему целиком лежит в многоугольнике ае'' 3. каноническое разбиение ломаной Ф(Е,) относительно 7 состоит из трех элементов (другими словами, ломаная Ф(Х;) пересекается с ломаной у лишь по некоторому начальному и концевому участкам). В самом леле, чтобы построить такую деформацию Ф, достаточно сместить все вершины внутренних сингулярных элементов канонического разбиения ломаной В, относительно у внутрь многоугольника а"т' Ясно, что деформация Ф не меняет кручение ломаной Л,. Чтобы завершить доказательство ломмы, осталось воспользоваться предложением 4.16 и вычислить индекс 1пс1(Ф(Ь,), у).
По построению, каноническое разбиение ломаной Ф(Ь,) относительно у состоит из трех элементов, из которых два элемента это начальный и конечный сингулярные элементы Вл и Вн, а один -" регулярный элемент с, Отметим, что, по построению, знак единственного регулярного элемента с' совпадает с определенным выше знаком ябп(й). Далее, концевои сингулярный В;элемент Вв всегда является касательным он совпадает с ~".
Кроме того, по построению, элемент Вв лежит вне области й. Поэтому, как легко показать, его знак противоположен знаку регулярного элемента с и равен — ябп(й). Концевой твистинг Р(Ф(Е,), у) равен — 3 з16п(й) по определению. Учитывая все вышесказанное, получаем; ьп(Ф(Ь,)) = 1п у+ 61пс1(Ф(Ь,), у) — а(Ф(Ь,), у) — 1)(Ф(Ь,),т) = = сп у+ 6(з16п(Ьл) -~- я611(й) — яр~(й)) — а+ 3 ябп(й) = = сп'у+ 6 з16п(Ь4) а + Зяб(й). Напомним,. что, по предположению, начальный сингулярный элемент канонического разбиения ломаной А; относительно 1т""'е' з является трансверсальным, поэтому элемент Вл тоже трансверсальный элемент. Тогда з16п(Лл) = О, и 1пуФ(Ь,)) = 1п у — а + 3 ябп(й), что и доказывает утверждение леммы.
Вернемся к доказательству предложения. Ориентируем ломаную у от точки С к В, и обозначим через д твистинг ломаной у в точке 4.4. Линейные деревья. 267 С, Так как 1п(э) = 'ьп у + Д + 1п 1т"., в сделанных выше обозначениях получаем: пийн = ьпб — о+ Зе13п(й) = (*) = (д — о+ 381$п(й)) + Сп /+ Фп И". Заметим, что знак концевого твистинга а в этом случае совпадает со знаком области й. В самом деле, ядп(й) это знак направления движения по границе области й при ее обходе в соответствие с ориентацией ломанои Вь При этом движении мы, в частности, сворачиваем в точке А; с первого звена и! ломаной л взятого с противоположной ориентацией, на первое звено а, ломаной Х,.
По определению, знак твистинга о это знак репера (-ю, а,). Осталось заметить, что вектор-звено и; это вектор-звено из ориентированной ломаной Хн, а вектор -ю направлен вне области й. Далее, знак твистинга д противоположен знаку области й по аналогичным соображениям. Наконец, )о! < 3, и (о( < 3. Поэтому заключаем, что (,3+ Зе13п(й) — а) < 3. Наконец, ) Фп у) < 3, а !1п И") < 6, поэтому ( Ьп Х;( < !д — а+ 3 е1яп(й) ( + ! Фп'у) + ) Хп И"! < 12.
Предложение доказано. Шаг (3) Нам будет полезен слсдующий результат. Пусть И' замкнутая ломаная, ограничивающал выпуклый многоугольник и, и пусть Х ломаная, лежащая в и и соединяющая точки А е Их и В е И~. Предположим, что Е ф И'. Ориентируем ломаную Е от А к В, и обозначим через а и Ь начальное и конечное звенья ломаной Х соответственно. Ориентируем ломаную И' в соответствие с положительным направлением обхода многоугольника о. Точки А и В разбивают ломаную И' на две ориентированных подломаных. Обозначим через 14" ту из этих подломаных, движение по которой от В к А происходит в положительном направлении.
'1ерез Ихо обозначим вторую компоненту ломаной И'. Рассмотрим каноническое разбиение ломаной Х относительно И", и пусть о и )з начальный и конечный твистинги ломаной Х, относительно И' '. Лемма 4.23 В сделанных только что предпололеенилх, имеет место следуннлол оценка: 1пХ < 6 — а. Доказательство. Как и при доказательстве леммы 4.22, продеформируем ломаную Х так, чтобы (1) полученная в результате ломаная Глава 4.
Плоские локально минимальные деревья. 268 Ф(Е) пересекалась с ломаной И' лишь по начальному и концевому участкам, и (2) кручение ломаной не изменилось бы: сшЕ = 1пФ(Е), Рассмотрим каноническое разбиение ломаной Ф(Е) относительно ломаной Ип, ориентированной,как обычно, от А к В.
Это разбиение состоит из трех компонент, которые мы обозначим,как и при доказательстве леммы 4.22, через Ея, е и Ев. При этом элемент 8 является регулярным, а элементы Ел и Ен - сингулярные коешевые элементы. Снова воспользуемся предложением 4.16. Заметим, что по построению знак единственного регулярного элемента 8 равен +1. Имеем: 1п(Е) = 1п(1И') + 6(я18п(Ел) + я18пЯ + а8п(Ен)) — а — 3 = = 6 — о + (6 з18п(Ел) + 6 з18п(Ев) + Вп(И') — д) .
Для завершения доказательства леммы достаточно показать, что в последнем соотношении выражение, стоящее в скобках. не превосходит нуля. Покажем, что а8п(Ьл) < О, В самом деле, если элемент Ел является трансверсальным, то я18п(Ьл) = О, а если элемент Ел является касательным, то, очевидно, ломаная Хл С И" лежит вне порожденной регулярным элементом К области П. и я18п(Ел) = — е18п(ф) = — 1, Анъчогично, а8п(Ьв) < О.
Далее, Сп(Иг') < О, так как ломаная 1т' - — это часть границы выпуклого многоугольника и, причем, при движении вдоль И" от А к В мы обходим многоугольник а в отрицательном направлении. Наконец, 6 з18п(Еп) — Д < О. Действительно, если элемент Ев является касательным, то Д = Зя18п(ьв), поэтому 6з18п(Еп) — 3 = 3 з18п(йн), а з18п(Еп) < О. Если же Еп -- трансверсален, то знак твистинга (1 это знак репера (Ь, -ю), где Ь это последнее вектор-звено ломаной Е, а ю последнее вектор-звена ломаной И' (обе ломаные ориентированы от А к В) . Знак же репера (Ь, — ю) положителен. Осталось вспомнить, что, в атом случае, я18п(ьп) = О, поэтому 6 е18п(Ев) — 3 = — Д < О. Лемма доказана.
Наконец, докажем следующий результат. Предложение 4.27 Если фрагмент Е„„~.з пе пуст, .то ~ спЕя р,! + си Ее лез~ < 15. Доказательство. Прежде всего, для определенности, предположим, что мы оцениваем кручение сверху (те же рассуждения можно применить и для получения оценки снизу, сели предварительно произвести отражение плоскости относительно некоторой прямой). 4.4. Линейные деревья. Рассмотрим ломаную И'д., ориентированную против часовой стрелки. Точки Ад рьз = Вд ес и Вд ья разбивают эту ломаную на две компонентьь Обозначим через И"' ту из них, движение по которой от Вд р д к Ад рея происходит в положительном направлении. Ориентируем ломаную И" от точки Ад рея = Вд рес к точке Вд рл ~ь Первое вектор-звено ломаной И" обозначим через и.
Рассмотрим прямую 1, проходящую через ребро и, и обозначим через п единичный вектор, перпендикулярный к 1 и направленный в ту из ограниченных прямой 1 открытых полуплоскостей, которая не содержит многоугольник пд. Проделаем для ломаной Вд реь построения, описанные в доказательстве предложения 4226 для ломаной Ь; и сохраним введенные там обозначения, см, рис, 4.15. Обозначим через с первое вектор-звено ориентированного от С к Вд рес пути Т.
Обозначим через ть и т, деленные на х/3 ориентированные углы между векторами ( — илбд реь) и векторами ( — п,.с) соответственно. Тогда, по построению,. ~ть~ < 3/2, ~т,~ < 3/2, и, в силу утверждения 4.13, Сп у = ть — т,. Обозначим через е начальный твистинг ломаной Вд р я относительно И". Тогда, ььлс ю од р.'):Сиь ю Ьд р.ь) = срд( — ю, — и) + 1ъ ( — и, йд р >с) = 3/2+ ть. Поэтому ть = е — 3/2. Используя все эти соображения, формулу (*) и лемму 4.23, получаем; 1п1д р'.ь +ьпВд рея сп(Ип) + ьп у + Д вЂ” а + 3 ь16п(й) + 1п Е„р, я Си(И ) + ть т~ + /д а + За!Кп(й) + баХд риз 1п(И") + ьпЬд „ья + (е — 3/2) +,3 — а+ + Зе13псй) — т, < 6+ (6 — е) + (е — 3/2) + (1) — а + 3 з16ьь(й)) — т„ 10+ 1/2+ (6 — а+ 3е13сд(й)) — т,.
При доказательстве предложения 4.26 быю показано, что ф — а + яфп(й) ~ < 3. Кроме того, как было отмечено выше, ~т„~ < 3/2. Итак, сп(ьд — р — с О Ед — р~ — д) < 10+ 1/2+ 1/д а+ 381$п(й)) т, < < 10+ 1/2+ 3+ 3/2 = 15 Предложение доказано.
Гтава 4. Плоские локально минимальные деревья. 270 Итак,. теорелва 6 полностью доказана в предположении, что путь Х, хороший. 4.4.9 Завершение доказательства теоремы в общем случае Для завершения доказательства теоремы 6, очевидно, достаточно перестроить произвольное правильное дерево Г в новое правильное линейное дерево Г', обладающее следующими свойствами. 1. Граница ЛХ' = доГ' дерева Г' состоит из того же количества уровней выпуклости, что и граница двГ дерева Г, т.е. зс(ЛХ'1 = зс(ЛХ).
2, В дереве Г' имеется путь Е', на ~инающийся на р-ом уровне выпуклости множества ЛХ', заканчивающийся на у-оы уровне выпуклости множества ЛХ', и получающийся из исходного пути Х, С Г деформацией ломаных. При этом, кручение пути Х,' совпадает с кручением пути Х,. 3. Путь Х/ .-- хороший путь в дереве Г'. Опишем алгоритм такой перестройки. Начнем со следующего очевидного утверждения.
Пусть Г -- произвольное, не обязательно правильное, линейное дерево, и 1Ъ";~ множество всех его вершин. Зададим в каждой точке К произвольный вектор оц длина которого не больше чем некоторое фиксированное е > О. Утверждение 4.15 Существует такое е > О, что для любой сишпемы векторов см описанной выиье, найдется деформация дерева Г в классе линейных деревьев, обладающая следующим свойством: если 1" ,обриз вершины Ъ; при этой деформиции, то вектир 1с1 совпадает с заданным вектором и,. Деформацию линейного дерева Г из утверждения 4.15 назовем допустимой е-деформацией, Следствие 4.17 ХХусть Г произвольное правильное линейное дерево. Для любого достаточно милого - > О, существует допустимая е-деформация дерева Г в привильное дерево Г', такая что казкдьей уровень выпуклости границы дГ' полученного дерева является многоуеольником, все углы которого меньше чем и, 4.4.
Линейныс деревья. 271 Доказательство. В самом деле, по определению правильного линейного дерева, все его граничные (внутренние) вершины остаются граничными (соответственно, внутренними) вершинами при любых достаточно мальсс деформациях этого линейного дерева. Отсюда немедленно вытекает у.тверждение следствия. Ясно, что число вращения при деформациях, описанных в следствии 4.17, меняется непрерывно.
Вышесказанное позволяет, для завершения доказательства, предполагать, что каждый уровень выпуклости граничного множества исходного правильного линейного дерева Г представляет собой многоугольник с углами меньше я. Рассмотрим опредсленный выше пу.ть |,, и пу.сть, как и выше, А и В начальная и конечнал вершины пути б. По-построению, вершины А и В являются граничными, причем А лежит на р-ом, а В на 4-ом уровнях выпуклости множсства ддГ. Перестроим дерсво Г в окрестности каждой его граничной всршины 1', отличной от А и В, и такой, что степень ввршины И больше 1, добавив к Г маленькое ребро еи таким образом. чтобы в перестроенном дереве Г, которое мы обозначим через Г, вершина 1г стала внутренней. Граница дяГ' нового дерева Г' состоит из точек А и В и вершин степени 1.
Добавлснис ребер ег к дереву Г приводит, вообще говоря, к перестройке уровней выпуклости его границы. Однако, так как каждый уровень выпуклости исходного множества дГ представляет собой многоугольник с углами меньше я, можно выбрать ребра еи настолько малыми, что указанная перестройка уровней выпуклости сведется к малои деформации выпуклых многоугольников в классс выпуклых многоугольников. В частности, ребра ег могут быть выбраны настолько малыми, что число уровней выпуклости дерева Г не изменится, т.е. к(Г) = к(Г'),и, более того, точка А останется вершиной перестроенного р-ого уровня выпуклости, а точка В - - вершиной перестроенного 4-го уровня выпуклости множества дГ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
