Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Если Р граничная вершина, то утверждение предложения выполнено. Предположим теперь, что вершина Р не принадлежит ддГ. Тогда, так как Г правильное дерево, вершина Р является его внутренней устойчивой вершиной. Итак, пусть Р внутренняя устойчивая вершина. Пусть 1 некоторая прямая, отделяющая точку Р от выпуклого многоугольника о.
Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 254 Прямая 1 разбивает шюскость на две полуплоскости, которые ьлы обозначим через П' и П". Пусть, для определенности, Р е П', Обозначим через и единичныи вектор, перпендикулярный к 1 и направленный в полуплоскость П'. Выпустим из вершины Р квази-геодезический луч э в направлении и. Ясно, что у не пересекает о. Но с другой стороны, у не может пересечь и Х (в противном случае дерево Г содержит цикл, что невозможно). Поэтому у заканчивается внутри области Н(ХХ), и, в частности, концевая точка луча у, принадлежащая дзГ, лежит в Н(Х, ). Первое утверждение предложения доказано. Перейдем ко второму утверждению. Пусть ь' некоторая внутренняя вершина дерева Г, принадлежащая пути Х и лежащая внутри основания 6(Х, ) шапочки Х, .
Так как многоугольник о выпуклый, существуег прямая П проходящая через 1', и такая что многоугольник о целиком лежит в одной из ограниченных 1 замкнутых полуплоскостей. Обозначим через и вектор, перпендикулярный прямой 1 и направленный во вторую полуплоскость, т.е. 'от о". Выпустим геодезический луч б из 1г в направлении и. Этот геодезический луч целиком лежит в Н(ХХ) (луч б не может пересекать Хз так как дерево Г не содержит циклов„и, по построению, нс возвращастся на о). Поэтому, в частности, в Н(Х.
) лежит граничная вершина, являющаяся концевой вершиной этого геодезического луча. Предложение доказано. Из предложения 4.21 вытекают следующие важные следствия, Следствие 4.13 Пусть Г --. произвольное правильное линейное дерево, ЛХ = дзГ его геометрическая граница, и пусть Х некоторый путь в Г. Пусть А' некоторал регулярная шапочка, образованная путем Х по отноизенпю к какому-нибудь уровню выпуклости множества ЛХ, а Х,' — - регулярная верхушка шапочки Н (если так я есть), Тогда Х. соответствующая Н-область верхушки Х,' не пересекается с Х,, другими словами, Н(ХХ) О Х = 6; г.
внутри основания 6(А') верхушки А' не содержится вершин пути Хо являющихся внутренними вершиназви дерева Г. Доказательство. Если Н(А') С1Х не пусто, то, в силу предложения 4.21, область Н(А') содержит точки из ЛХ. Последнее невозможно, так как ХХ верхушка. Первое утверждение следствия доказано.
Второе утверждение доказывается точно так же. 4.4. Линейныс деревья. 255 Следствие 4.14 Пусть Г -- произвольное правильное линейное дерево, М = ддà — его геометрическая гранина, и пусть Ь - некодпорый путь в Г. Предположим, что Т образует две существенные шапочки Н и 1 о 'ао оданошению к некоторому уровню вьпдуклотпи М' множества М, причем Н(Н) С Н(То). Тогда индексы ишпочек Н и 1 о различны. Н частности, если Е',...,1~ некоторые существенные шапочки, образованные Ь, и такие что Н(Ь') с .. с Н(1, ), а ТД лвллетсл 1-шапочкой, то пь < 1.
Доказательство. Предположим противное, и пусть Н и Ао две Ьшапочки, Н(1') С Н11 о), и индексы шапочек Н и 1,о совпадают и равны в. Пусть Т' произвольная верхушка меньшей шапочки Ь'. Тогда, в силу утверждения 4.14, существует такая верхушка То большей шапочки ьо, что 11(Т') С Н1То).
Очевидно, что д-шапочка То регулярна. Если в-шапочка Т' также регулярна, то Н-область регулярной верхушки То содержит точки из ломаной Т' С Ь, что противоречит утверждению 1 следствия 4.13. Если же в-шапочка Т' сингулярна, то она, очевидно, целиком лежит внутри основания шапочки Т". Поэтому основание регулярной верхушки То содержит лежащую на пути Т внутреннюю вершину из Г (напомним, что в-шапочка Т' — — существенная по определению). Последнее противоречит утверждению 2 следствия 4.13. Второе утверждение следствия немедленно вытекает из первого. Действительно, индекс шапочки Т,д не больше чем 1, индексы шапочек Та убывают, поэтому индекс последней шапочки - А, не больше чем ше1 Ь| — (т — 1),.
и, в итоге, шс1Ты < шс1Т,д — (т — 1) < 1 — т+ 1. Осталось заметить, что, по определению, 1-шапочек не существует, поэтому, в частности, индекс шапочки Ьы строго больше 1, следовательно 1 < 1 — т -Ь 1. Доказательство закончено. Теперь все готово, чтобы перейти непосредственно к доказательству теоремы 6. 4.4.6 Доказательство теоремы 6 Фиксируем основные обозначения, Пусть Г -- линейное дерево, М = ддГ множество граничных точек дерева Г, и пусть М имеет и уровней выпуклости. Мы хотим доказать, что тогда 1ш Г < 12(зс — 1) + 6.
256 Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. Прежде всего, мы будем предполагать без ограничения общности (см. предложение 4.17), что дерево Г является правильным. Пусть а и 6 некоторые ребра из правильного линейного дорева Г, такие что ьи Г = Си(а,Ь). В силу предложения 4.18, ребра а и 6 граничные.
Обозначим через В единственный путь в Г, соединяющий а и Ь, и ориентируем В от а к Ь. Тогда 1п В = си Г. Обозначим через А и В концевые вершины пути Х, инцидентные а и Ь соответственно. При этом, обе точки А и В принадлежат ЛХ. Пусть ЛХ' Х-ый уровень выпуклости множества ЛХ. Предположим, что А 6 М", В 6 ЛХо, и пусть р < еХ. Обозначим через ое выпуклую оболочку множества М', и через И" границу множества ае; дое = Иа. Как и выше, будем обозначать через 1пЦо~) внутренность многоугольника а~. Для краткости положим о а1 и1Г Ип Пусть У = и'1 оы1. Если множество а'+1 не пусто, то множество У двусвязно (т.е. гомотопно окружности), ограничено Иге и И"+~, причем И ~ С У, а И ~+~ О У = 9 Мы отдельно рассмотрим две возможности: или р = 4, или р < 4. Начнем с первого случая.
4.4.7 Случай р = д Если р = д = 1, т.е. путь Х. начинается и заканчиваетсл на границе И' выпуклой оболочки и внешнего уровня выпуклости ЛХ', то, в силу утверждения 4.12, ~сиЦ < 6, и утверждение теоремы имеет место. Поэтому, в дальнейшем, мы будем считать, что р = 4 > 2. Далее, если ломаная В целиком лежит на границе И'л выпуклого многоугольника ан, то, очевидно, ~ сиХ,~ < 6, и утверждение теоремы снова имеет место. Поэтому ниже мы предполагаем, что Х ф И"'. Обозначим через И'1 и Исз те части замкнутой ломаной И'", на которые сс разбивают точки А и В.
Так как В ф 1рн, то, в частности, В не совпадает ни с И'ы ни с И'з. Рассмотрим каноническое разбиение В = Ора ломаной Х относительно 14~". Пусть Ял и Нв —— множества, состоящие из всех р-шапочек (существенных по определению), образованных Х, таких что их Н-множсства содержат точки А и В соответственно. Очевидно, Н-множсства шапочек, принадлежащих Ял (соответственно, 'йв), упорядочены по включению.
Поэтому, из следствия 4.14 вытекает следующий результат. Предложение 4.22 Кажбое иэ множеств 'йл и 'Нв состоит не бо- лее чем иэ р — 1 элемента. Непосредственно из построения вытекает следующее: 4.4. Линейныс деревья. 257 1. все р-шапочки, порожденные 1 и не принадлежащие ни Нл, ни 'Нв, являются пустыми элементами канонического разбиения ломаной В или относительно Исы или относительно И"э, 2. каждый внутренний не пустой элемент, образованный Ь относительно И'1 или И'з, является регу.ирным, и содержит, по крайней мере, одну (существенную) шапочку из 'Н = Нл 0'Нн, более того, разные такие непустыс элементы содержат различные шапочки из 'Н; 3, каждый концевой не пустой элемент, образованный Ь относительно И'1 или Исн может быть как регулярным, так и сингулярным. Он может образовывать шапочку, а может и не образовывать.
Если рассматриваемый элемент образует шапочку, то эта шапочка может быть как существенной. так и несущественной. Уже исходя из этих несложных наблюдений можно было бы получить оценку на индексы пзб(Е,И;), однако эта оценка оказывается слишком грубой для доказательства теоремы. Поэтому необходимы немного более тонкие рассуждения, проясняющие ситуацию, описанную в пу.икте 3. Для того, чтобы сделать это, нам понадобится слегка подправить ломаную Ь.
Хоррекция ломаной Ь Рассмотрим произвольную шапочку, соответствующую произвсыьному пустому элементу Ь., образованному Ь по отношению к одной из ломаных И'о 1 = 1, 2. Мы назовем такую шапочку пустой шапочкой, Шапочка называется строев пустой, если соответствующее Н-множество но содержит Н-множеств, порожденных другими пустыми шапочками ломаной Л. Ясно, что всегда существует строго пустая шапочка Н(1'), образованная ломаной Ь по отношению к И;, и содержащаяся в Н(й, ).
Выше, в разделе, 4.1, мы определили элементарные деформации для случая ломаных в общем положении. Эти деформации, напомним, позволяли последовательно избавляться от строго пустых областей. Это делалось в два шага: сначала строго пустая область, образованная ломаной 1,э относительно 1,~, вытеснялась на свое основание, а затем основание "снималось" с ломаной А~. В общем случае для уничтожения регулярной строго пустои шапочки неясно воспользоваться точно такой же деформацией, Если же строго пустая шапочка сингулярна, то она, по определению, совпадает со своим основанием, поэтому, чтобы ее уничтожить, не надо делать первыи шаг элементарной деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
