Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Для дерева Г, предложение 4.20 уже доказано, поэтому все дерево Г„, и, в частности, все его внутренние вершины. лежат в выпуклой оболочке границы д, Гс дерева Г,. Напомним, что граница дерева Г„ совпадает по построению с границей исходного дерева Г, поэтому, дерево Г„лежит в выпуклой оболочке множества ддГ. Будем последовательно деформировать дерево Г„обратно в дерево Г. На каждом шаге этой деформации граница ддГ остается на месте, и, как было отмечено при доказательстве предложения 4.17, все подвижные вершины перемещаются в выпуклой оболочке неподвижных вершин. Таким образом, при этой деформации все вершины дсформируемого дерева но выходят за пределы выпуклой оболочки множества ддГ, что и требоваюсь.
Доказательство закончено, В заключение данного раздела мы приведем одно элементарное свойство ломаных, взаимно однозначно проектируемых на некоторую прямую, которое будет использоваться нами в дальнейшем. Утверждение 4.13 Пусть 7 -- некоторая ломаная, и предположим, что существует прямая 1, ортогональная проекция ломаной 7 на которунд взаимно однозначна с образом.
Ориентируем ломаную ~ и пря.мую 1 в одном направлении. Последнее означаедп, что углы .между векторами-звеньями ломаной 7 и вектором-направлением и прямой 1 меньше чем я/2. Пусть а первое, и Ь последнее звено ломаной Положим о = 1дд(п,а), сп.е. сь равно деленной на я/3 величине ориентированного угла от векпюра п к вектору а, и, аналогично, р' = 1к(п, Ь). Тогда сп7 = д — ес П частности, )о( < 3/2, (Д < 3/2, и ~СП7~ <3. Доказательство. Справедливость утверждения немедленно вытекает из существования многоутольника, образованного ломаной 7 и тремя последовательными сторонами, средняя из которых параллельна (, а две других перпендикулярны 1, см.
рис, 4.14. Из утвержления 4.13 немедленно вытекает следующий важный для нас факт. 250 Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. Рис. 4.14; Многоугольник, образованный у и й Следствие 4.12 Кручение произвольной квази-геодезической строго лсеньше 3. 4.4.5 Шапочки В данном раздоле мы обобщим понятие шапочки на случай произвольных ломаных. Пусть Л~ произвольная замкнутая ломаная, и Ла произвольная незамкнутая ломаная. Построим каноническое разбиение Л- = ОЕ, ломаной Ьз по отношению к Ь1.
Обозначим через о область, ограниченную ломаной А~. Тогда каждый внутренний регулярный элемент В канонического разбиения, лежащий вне многоугольника о, называется регулярной шапочкой. Концевой регулярный элемент называется регулярной шалочкой, если он лежит вне области о, а обе его концевые вершины лежат на ломаной Вс.
Далее, внутренний сингулярный элемент Тл канонического разбиения называется сингрллрной шапочкой, если оба примыкаюших к Х„ регулярных элемента лежат в о. Концевой сингулярный элемент называется сингулярной шапочкой, если, во-первых, он отличен от концевой точки, и, во-вторых, единственный соседний с ним внутренний регулярный элемент лежит в а. В дальнейшем мы иногда будем говорить просто о шапочках, имея в виду.
как регулярные, так и сингулярные шапочки. Пусть Уу -- некоторая регулярная шапочка, и А и В. -- концевые вершины Ь . Эти точки разбивают замкнутую ломаную Ь1 на две ломаных, которые мы обозначим через В' и А". Рассмотрим области о' и о", ограниченные парами ломаных (Ь„Ь') и (Ьз, Аа) соответственно. Тогда одна из этих областей содержит другую. Пусть, для определенности, о' С о", Определение.
Открытая область о', построенная выше, называется 4.4. Линейные деревья. 25) Н-областью, соответствующей регулярной шапочке А:, и обозначается через Н(ЙХ). Ломаную Н назовем основанием (как для Ц, так и для Н(11)), и обозначим через 6(1 ). Замыкание области Н(Х, ') будем обозначать через Н(Х, ), и называть Н-множеством. соответствующим регулярной шапочке Ь, . Ясно, что дН)Хо) = Хо О Л(11)., и Н1Е)) = Н(1;) О дН(Е,). Пусть теперь Хм —.- сингулярная шапочка. Основанием 5(1м) сингулярной тапочки Хв будем называть саму ломаную Еь Удобно также определить для сингулярных шапочек понятие Н-множества, положив Н(1,) = 6(Х„) = Лг Рассмотрим теперь произвольное правильное линейное дерево Г.
Пусть д, Г = М --- геометрическая граница дерева Г, и Ь~ --- замкнутая ломаная., являющаяся границей некоторого уровня выпуклости М' множества ЛХ. Пусть незамкнутая ломаная А зто некоторый путь в дереве Г. Построим каноническое разбиение Хз = ОЕХ ломаной Аз по отношению к Е~, Шапочка Ль обРазованнаЯ ломаной Хг С Г по отношению к Ь1, называется существенной, или если она регулярная, или если она сингулярная и, к тому же, содержит хотя бы одну внутреннюю вершину дерева Г. В противном случае, шапочка называется несущественной.
Таким образом, шапочка Ха называется несущественной если и только если она сингулярна, и все вершины ломаной Хв С Г явяяются граничными вершинами правильного линейного дерева Г. Отметим, что все вершины несущественной шапочки Л, необходимо лежат на одном и том же уровне выпуклости. Замечание. В отличие от случая общего положения, путь Ьз с Г может образовывать шапочки и по отношению к первому, т,е, самому внешнему уровню выпуклости множества ЛХ = двГ. Однако, очевидно, каждая такая шапочка является несущественной. Пусть, как и выше. М~ зто 1-ый уровень выпуклости граничного множества М = двГ правильного линейного дерева Г.
Пусть о~--- выпуклая оболочка множества ЛХ', а И" --- граница многоугольника о', т.е. И" = до . Через 1вФ(а~) обозначим внутренность многоугольника о', т.е. ш~(о') = о' ~ И'~. Снова положим о = о1, и И' = И'1. Пусть Ь- произвольный путь в дереве Г (в частности. Х,з некоторая незамкнутая ломаная). В силу предложения 4.20,ломаная Ьз целиком содержится в и, Определение. Существенная шапочка, образованная Ьз по отноше- нию к И', называется б-шапочкой. Глава 4.
Плоские локально минимальные деревья. 252 Пусть 1;, †.. некоторая 1-шапочка (в частности, шапочка Е; "- существенная). Заметим, что если ломаная Е, образует также и некоторую в-шапочку, то, во-первых, в < 1, а, во-вторых, ломаная Л; образует также и г-шапочки для всех г, в < г < й Существует такое наименьшее число во. что ломаная Е, образует во-шапочку. Другими словами, во --- такое число, что ломаная Ь, образует некоторую во-шапочку и не образует (во — 1)-шапочек (еще раз напомним, что все 1-шапочки сущоственны по определению). Определение.
В сделанных только что обозначениях, число во называется индексом 1-шапочки Е,. Каждая из существенных во шапочек, образованных ломаной Еп называется верхушкой Г-шапочки Ьь Верхушка Н называешься регулярной, если шапочка Н регулярна, и сингулярной в противном случае. Замечание. Геометрический смысл понятия индекса существенной шапочки лсен из следующего рассмотрения. Предположим, что 1-шапочка Е; пересекает множество о '1 1п1(о'), но не пересекает множество о 1 шло" ' ) для некоторого в. Тогда, очевидно, 1 > в, и ломаная Е; образует шапочку по отношению к И", но не образует шапочки по отношению к И' ' 1.
Возможны следующие два случая. 1, Хотя бы одна из в-шапочек, образованных ломаной Ь,, является существенной. Тогда индекс 1-шапочки 1, равен в. 2. Все в-шапочки, образованные ломаной Еи являются несущественными. Тогда, как вытекает из нижеследующей леммы, индекс 1-шапочки равен в + 1. Лемма 4.20 Если, в сделанных вылов предположениях, ломаная А, не образует суивеси~венных в-шапочек, т.е.
реализуетея второй случай, то ломаная А, образует суивественную (в + 1)-ивапочку. Доказательство. В самом деле, так как ломаная А; образует существенную 1-шапочку, но не обраэутт существенных в-шапочек, то 1 ф в, поэтому 1 > в, Далее, ломаная А, пересекает о '1 оФ ь~, так как она пересекает даже меньшее множество о '1 1пх(о')., поэтому Ь; образует по крайней мере одну регулярную шапочку по отношению к И"+~. Это и есть искомая существенная (в + Ц-шапочка. Лемма доказана. Замечание.
Пусть Е„некоторая е-шапочка, и Н некоторая ее верхушка. Отсюда, вообще говоря, не вытекает, что Н(Н) с Н(ь,). Тем не менее, следующее утверждение имеет место. 4.4. Линсйныс деревья. 253 з'тверждение 4.14 Пусть Х, и Х вЂ”. две 1-шапочки, иН(йи) с Н(Х ). Предположим также, что индексы этих шапочек совпадают. Тогда, дяя любой верхуигкн Т, меньшей идапочки Хп найдется верхушка Т балтией, шапочки Х, ьчмкал чапо Н(Тд) С Н(ТХ). Доказательство. В самом деле, рассмотрим произвольную верхушку Т, меныпей шапочки Хв Так как Т, С Н(Х д) С Н(А ), существует верхушка Т большей шапочки Хд, такая что Т, С Н (Тд ), откуда немедленно следует., что Н(Т, ) С Н(Т,), что и требовалось.
Мы используем следствие 4.11 о квазигеодезических для доказательства следующего важного предложения. Предложение 4.21 Пусть Г некоторое правильное линейное дерево. Рассмотрим произвольный путь Х, в Г, и пусть о~ выпуклая оболочки некоторого уровня выпуклости ЛХ' границы ЛХ = ддГ дерева Г. Обозначим через )дм замкнутую ломаную, ограничивающую о'. Рассмотрим каноническое разбиение Х = ОХа яо,моной Х по отношению к И'д, и пусть Хд некоторая регуяярная шапочка, образованная ломаной Ь по отношению к $Ф'д. Тогда 1. если соответствующая Н-обяасть НС1, ) содержит точку пути Ь, то Н(Х ') также содержит точку иэ границы ЛХ = ддГ дерева Г; 2.
если внутренность основания 5(Х, ) шапочки ХХ содержат вершину пути Х, являющуюся внутренней вершиной дерева Г, то Н(Хд) содержит то дку из границьд ЛХ = ддГ дерева Г. Доказательство. Докажем сначала первое утверждение предложенил. Пусть некоторая точка Р из Х, лежит внутри области Н(Х ). Если Р не является вершиной сети Г, то рассмотрим ребро е из Г, содержащее Р, Поскольку о --- выпуклый многоугольник, а Р ф и, то одна из вершин сети Г, инцидентных ребру е, также не принадлежит Однако, с другой стороны, ребро е не может пересекать Хд, так как дерево Г не содержит циклов. Поэтому эта вершина необходимо содержится в Н(Х .), и, поэтому, без ограничения общности, мы можем сразу предполагать, что точка Р это вершина сети Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
