Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Мы начнем с построения 1-регуляризующей деформации Фь Поз строим по каждому касательному сингулярному элементу э', деформацию Ф, '.томаной Ь-, такую что носитель деформации Ф, 'совпадает с ломаной К. Рассмотрим произвольную допустимую окрестность П касательного сингулярного элемента З~. Ломаная А~ разбивает область П на две компоненты, которые мы обозначим через Г и Г'.

Отметим, что внутренность одной из этих компонент, скажем Г', пересекается с ломаной 1-, а внутренность другой, соответственно Г, - не пересекается, см. рис. 4.12. Далее, ясно, что все внутреннио вершины Ь~,.ломаной 5; лежат на пересечении замыканий компонент Г и Г'. Зададим в каждой вершине гь вектор оя, направленный внутрь компоненты Г, Очевидно, сдвигая вершины 1'ь ломаной о', вдоль векторов иь внутрь компоненты Г, можно так продеформировать ломаную о',, что полученная в результате ломаная нс будет образовывать касательных сингулярных элементов по отношению к ломаной Аь.

Обозначим через Ф,' деформацию ломаной 1, совпадающую на участке э, с только что построенной деформапией, и постоянную вне Зь Посмотрим, как изменилось каноническое разбиение ломаной 1з при деформации Ф~. По построению, ломаная Ф'(Я,) пересекается с ломаной з' ~ ровно по двум точкам, каждая из которых образует, очевидно.

новый трансверсальный сингулярный элемент канонического разбиения. Подломаная, высекаемая из Ф~~(Ь';) этими двумя точками, образует новый регулярный элемент Ь; канонического разбиения. Таким образом, касательный сингулярныи элемент Вз перестроился в один регулярныи элемент и два трансверсальных сингулярных элемента. Лемма 4.15 Знак регулярного элемента А; совпадает со знаком того сингулярного касательного элемента 3,, из копшрого он возник. 2 доказательство. утверждение леммы непосредственно вытекает из определений.

В самом деле, напомним, что элемент 1; получается из элемента Зз в результате деформации Ф', которая сдвигает вершины 1~ь ломаной эз внутрь области Г, отсеченной ломаной А~ от допустимой окрестности П. Ясно, что продолжая двигать вершины 1'я до границы й допустимой окрестности, можно так продолжить эту деформацию ~уже в классе вложенных кусочно-гладких кривых), что деформирусмая кривая Хо будет вытеснена на главную компоненту до 4.3. Плоские ломаные П. 229 Рис. 4.12: Построение регуляризующей деформации.

границы д допустимой окрестности. Из этого наблюдения сразу вытекает, что я1бп(1;) = з1бп(5;-.'). Действительно, прн движении по Ь; в направлении, заданном ориентацией ломаной Вз, соответствующая Й-область остается по ту же сторону от Вм что и допустимая окрестность Г от главной компоненты бо границы дГ окрестности П при движении по этой главной компоненте бс в положительном направлении. Лемма доказана. Таким образом, индекс шс)(Ф'(ьз), ь~) не меняется при деформации Ф",, Легко проверяется, что остальные свойства 1-регуляризующих деформаций также выполнены.

Построим такие деформации Ф, 'для всех сингулярных касательных элементов Я~. Определим теперь деформацию Ф, ломаной ьз как результат последовательного применения деформаций Ф',. Поскольку носители разных деформаций Ф) пересекаются не более чем по концевым точкам, деформация Ф~ определена корректно. Кроме того, очевидно, что полученная в результате деформации Ф~ ломаная ьз не образует по отношению к ь~ касательных сингулярных элементов.

Однако, ломаная Вз может нс находиться по отношению к Ь' в общем положении прн фиксированных А и В, так как она образует, вообще говоря, с ломаной Ь~ существенные трансверсальные сингулярные элементы. Итак, мы построили правильную 1-регуляризуюшую деформацию Ф~ ломаной ь~. Построим теперь 2-регуляризующую деформацию О~ ломаной Ез, которая уничтожает существенные трансверсальные сингулярные элементы.

Пусть теперь Яд произвольный существенный трансверсальный сингулярный элемент ломаной Ьз. По определению, элемент Я; является внутренним элементом. Построим деформацию О', носитель которой совпадает с ломанои 5, (ель обозначения выше). Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 230 Рассмотрим произвольную допустимую окрестность П существенного трансверсального сингулярного элемента эз. Если элемент яз состоит из однои точки 1ы то зададим в точке 1~~ вектор, не параллельный ни одному из звеньев ломаных А~ и Аз, инцидентных вершине 1'. Пусть теперь элемент Яз состоит более чем из одной точки. Упорядочим вершины ломаной Я~ в соответствие с ориентацией ломаной 1 з, и обозначим их чеРез Рм, .., 1яэ где К > 1. ЧеРез каждУ ю веРшинУ 1;.

проведем прямую 1ь содержащую биссектрису меньшего угла между инцидентными вершине 1',; ребрами ломаной Тз. Ломаные Т' и Т з разбивают область П на четыре компоненты. Так как Яз состоит более чем из одной точки, то две из этих компонент пересекая>тся с яз только по концевым точкам ломаной я~, а каждая из двух других пересекает внутренность ломаной Я~. Более того, одна из этих последних двух компонент пересекает внутренность ребра б„ нс пересекая при этом внутренности ребра еб а другая наоборот.

Первую из этих двух компонент мы обозначим через Г, а вторую через Г', см. рис. 4.12. Далее, ясно, что все вершины 1'ы..., 1'к ломаной 5з лежат на пересечении замыканий компонент Г и Г'. Зададим в первой вершине этого множества вектор, направленный внутрь компоненты Г и параллельный прямой 1~. Отметим, что направление этого вектора всегда опредслсно и притом однозначно, так как инпидснтныс вершине Ъ'| звенья границы компоненты Г принадлежат ломаной 1,з.

В каждой вершине 1;., 1 > 1, зададим вектор, направленный внутрь компоненты Г' и параллельный прямой Кь Отметим, что направление этого вектора всегда однозначно определено по аналогичным соображениям. Очевидно, сдвигая вершины Ъ' вдоль построенных векторов, можно так продеформировать ломаную К, что полученная в результате ломаная будет в общем положении с ь~. Обозначим через О' деформацию ломаной 1,з, совпадающую с только что построенной на ломаной Я,; и постоянную внс Я,. Посмотрим, как изменилось каноническое разбиение ломаной Тз при деформации О'.

По построению, полученная в результате деформации ломаная О', (Я;,) пересекается с ломаной А' ровно по одной точке, которая образует, очевидно, новый несущественный трансверсальный сингулярный элемент канонического разбиения. Таким образом, существенный трансверсальный сингулярный элемент 5~ перестроился в один несущественный трансверсальный сингулярный элемент. Заметим, что при деформации О,' не меняются ни концевые тви- 4.3. Плоские ломаные П.

231 стинги, ни кручение ломаной ьз, ни индекс этой ломаной по отношению к ь». Остается построить по деформациям О, 'одну деформацию О», являющуюся результатом последовательного применения деформаций О'. Ясно, что полученная деформация будет правильной 2-регуляризующей деформацией. Итак.

мы построили правильные 1-регуляризующую деформацию Ф, и 2-регуляризукэщую деформацию О,. Из конструкции ясно, что последовательное применение деформаций О» и Фэ порождает искомую правильную регуляризующую деформацию Ф». Доказательство предложения 4.16 полностью закончено.

Как и в случае общего положения, индекс одной ломаной по отношению к другой можно определить другим, иногда более удобным способом. Пусть Л» и ЕЯ такие же,каки выше. Рассмотрим каноническое разбиение ьэ относительно ь». Как и в случае общего положения, мы хотим построить разбиение элементов канонического разбиения на классы. Начнем с регулярных элементов. Для них разбиение строится точно так же, как и в случае общего положения. А именно, пусть Ь~ произвольный внутренний регулярный элемент канонического разбиения,и й, соответствующая й-область.

Определение. Область Й. и соответствующий регулярныи элемент Ьэ называются А-областью и А-элементом соответственно, если й. содержит точку А и не содержит В. Если Й содержит В и не содержит А, то Й и Л~ называются В-областью и В-элементом. Далее, если Й содержит и А, и В, то й и ь"" называются полными или Е-областью и Е-элементом. Наконец, если Й нс содержит ни А, ни В, то Й и ЕД называкэтся»»ус»»»ь»ми или Е-областью и Е-элемен»»»ом. Ясно, что каждый внутренний регулярный элемент канонического разбиения является или А-, или В-, или Е-, или Е-элементом. Как и в случае общего положенил, продолжим это разбиение на концевые регулярные элементы (если они есть) . Отметим, что концевая регу лярная Й-область не может содержать внутри себя одновременно точки А и В. Если концевая й-область содержит внутри себя точку А или В, то отнесем ее, соответственно, к А- или В-областям.

В противном случае, если замьпсание концевой Й-области содержит точку А, то отнесем эту область к А-областям, ина.»е к В-областям. В частности, если ломаные ь» и Ьа пересекаются только по концевым точкам, т.е. каноническое разбиение состоит из одного концевого регулярного элемента и двух концевых сингулярных элементов, то отнесем этот Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 232 регулярный элемент и соответствующую П-область к А-областям, см, рис, 44. Таким образом, множество всех регулярных элементов канонического разбиения (соответственно.

всех Й-областей) разбито на четыре класса: А-. В-, Е- и Ечэлементы (области). Пусть теперь Вэ сингу ллрный элемент канонического разбиения. Отнесем все внутренние сингу.лярные элементы к Е-элементам. Концевой сингулярный элемент также отнесем к Е-элементам, если и только если он является трансверсальным (т.с. он состоит из одной точки, или, другими словами, имеется регулярный концевой элемент, содержащий этот сингулярный).

Характеристики

Список файлов диссертации