Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Так как оба, геодезических луча ",~„ у = 1, 2, выпущены из одной и той же вершины В' в одном и том же напРавлении с', то кРУчение оДного из них, скажем цы или Равно нУлю, или противоположно по знаку с Фж(Ь', с'). Поэтому получаем; ~пи(ад рд.ыЬ')~ = ~ек(ад рд ыс',) — 1ъ(Ь',с') — Ьпу,'~ < 5+1 = 6, откуда ) 1ъ (ар д, ы Ьд рлдн < 7. С другой стороны, в силу леммы 4.13, !1к(ад р з, Ьд рез)) < 5, поэтому !1н(ад — ред Ьд — ртз)(: ('ьпХд — рдл + хиТ,д рез( < 12. В первом случае предложение доказано. Для разбора оставшихся двух случаев нам потребуется следующий результат. Пусть И' - — замкнутая ломаная, ограничивающая выпуклый многоугольник о, и пусть | ломаная, соединяющая точки А Е 1И и В Е И', лежащая внутри а и находящаяся с И' в общем положении.
Ориентируем ломаную В от А к В. и обозна дим через а и Ь начальное и конечное звенья ломаной В соответственно. Ломаная В разбивает область и на две области. Обозначим через о ту из этих двух областей, обход гранины которой против часовой стрелки порождает на В ориентацию от А к В. Пусть а твистинг точки А как вершины ломаной до. Лемма 4.14 В сделанных только что предположениях, имеет место следующая оценка: 1к(а,Ь) < 6 — о. Глава 4. Плоские локально минимальные деревья.
216 Доказательство. Обозначим через Ь' твистинг в гочке В как в вершине ломаной дщ и пусть х - - кручение вдоль ломаной И' П да, ориентапия на которои согласована с обходом да против часовой стрелки, Тогда, в силу предложения 4.1, имеем: ад Фъ(а,Ь)+,3+х =6. Поскольку и . — выпукчый многоугольник, х > О. Кроме того,,З > О из соображений общего положения, что и завершает доказательство. Следствие 4.9 Если в предположениях леммы 4.Ц ломаная А явля- ется путем е минимальном 2<дереве, то ° если о > 1, то Фж(а, Ь) < 4; ° если о > 2, то ФччФа, Ь) < 3. Вернемся к доказательству предложения. Прежде всего, предположим, что ФпА > О (если это не так, достаточно применить отражение относительно некоторой прямой, и применить те же рассуждения), и будем оценивать вращение ломаной А сверху.
Ориентируем замкнутую ломаную И~ч против часовой стрелки, а участок Ач рез от А „тч к Вч рез. Как и в лемме 4.14, обозначим через ач ту из двух областей, на которые разбивает А гьз область ач, обход границы дач которой против часовой стрелки порождает на Ач тч ориентацию от Ач л з к Вч ею Обозначим через о твистинг в вершине Ич р ьз ломаной до ', Заметим, что мы находимся в условиях следствия 4.9. Рассмотрим случай (2).
Поскольку один из геодезических лучей у, 1 = 1, 2, скажем ~ч, приходит сначала на И'ч ', мы получаем оценку ~ Фп Ач ртч, '< 8. Если это неравенство строгое, то так как врашениеломаной Ач реч - . целое число, ~ФпА» ьч~ < 7, и доказательство можно завершить также как и в случае Ф1). Предположим теперь, что ФпАч „еч = 8.
Это возможно, только если твистинг в вершине В' равен +1, см. рисс 4.10. Легко видеть, что продолжение ребра Ь' через вершину В' необходимо приходит сначала на И'ч. Таким образом, из точки В' выходят два луча: один вдоль РебРа Ь» г Ф, а ДРУгой вДачь пРоДолжениЯ РебРа Ь', обРазУюших угол в я/3 и приходящих сначала на И ч, причем трансверсально. Из вышесказанного легко получить оценку на твистинг и, а именно о > 1 (соответствующий угол больше чем я/3). Тогда, по следствию 4.9, ФпАд рез < 4, откуда ФпАч р.ч+ ФпАч рзз < 8+4 = 12.
4.3. Плоские ломаные П. 217 Рис. 4.10; Последний элемент разбиения пути Ь. Рассмотрим оставшийся тротий случай, когда оба, геодезических луча у, 1 = 1, 2, приходят сначала на И'~. Тогда мы имеем следующую оценку: ~ 1п Ац рт~ ~ < 9. Причем эта оценка достигается только если твистинги в обоих вершинах В' и В" положительны, если же это не так, то ~1пЕе „чч~ < 7, и все доказано. Есяи же мы имеем строгое равенство 1пАя рт~ = 9, то оба эти твистинга необходимо равны +1, см. рис.
4.10. Рассмотрим продолжение ребра с' за вершину С'. Ясно, что этот луч приходит сначала на И'Я. Таким образом,из точки В' выходят два луча: один вдоль ребра бе рты а другой вдоль ребра с', образующих угол в 2я/3 и приходящих сначала на И'е, причем трансвсрсально. Из вышесказанного легко получить оценку на твистинг оп а именно а > 2 (соответствующий угол больше чехи 2я/3). Снова воспользовавшись следствием 4.9, получаем: 1пЬ, рт~ < 3, откуда, 1пЕд р,,+1пй р,э<9+3=12. Предложение 4.15, а вместе с ним предложение 4.10 и теорема 5, пол- ностью доказаны. 4.3 Плоские ломаные П: общий случай В дальнейшем нам придется иметь дело с парами ломаных, которые, вообще говоря, не находятся в общем положении (дело в том, что теперь мы собираемся работать с произвольными линейными деревьями, а не только с экстремалями функционала длины или взвешенной длины).
Поэтому нам нужно обобщить соответствующие результаты из раздела 4.1 на общий случай. Этому обобщению и посвящен настоящий раздел. Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 218 Итак,. пусть Ь' и Хг --. две произвольных ломаных на плоскости. Выбросим из ломаной Ьг множество Х1СХз. Замыкания Х~ полученных связных компонент, очевидно, являются ломаными, каждая из которых подломаная ломаной Хз.
Рассмотрим теперь само множество Ьз ОХ,-. Отметим, что как Х~ СХз, так и его связные компоненты, замкнуты. Кроме того, ясно, что произвольная связная компонента з'з множества Х' СУ Хг - или ломаная, которая является подломаной как Хз, так и Х1. или точка. Таким образом, мы представили ломаную Хз в виде объединения замкнутых множеств двух типов: Ь~ и о,-'.. Определение. Построенное разбиение Ьг = (0А8) ЦОВз) назовем каноническим разбиением ломаной Хг по отношению к А'. Ломаные Х г будем называть регулярными элементами канонического разбиения, а элементы о~ сингулярными.
Пусть теперь ломаная Х~ незамкнута. Элемент канонического разбиения ломаной Хз по отношению к А1, содержащий хотя бы одну из концевых вершин ломаной Ь~, назовем концевым. Все остальные элементы канонического разбиения будем называть внутренними. Если же ломаная Ха -- замкнута, то все элементы ее канонического разбиения будем, по определени1о, называть внутренними.
Замечание. Отметим, что если И концевая вершина ломаной Х,г, то она принадлежит или одному, или двум элементам канонического разбиения. При этом, в первом случае элемент канонического разбиения, содержащий И, может быть как регулярным (И к Ь1), так и сингулярным (И 6 Вз, и ог ~ И). Во втором слу.час.
один из таких алементов регулярный, а другой сингулярный и совпадает с И (другими словами, во втором случае вершина И является изолированной точкой пересечения ломаных Ь~ и Хг), Замечание. С формальной точки зрения, для ломаных, находящихся в общем положении, в разделе 4.1 было определено другое понятие канонического разбиения, которое мы, начиная с этого места, будем называть регулярным каноническим разбиением. Пусть Х.1 и Аг пара ломаных, находящихся в общем положении при некоторых фиксированных общих вершинах. Пусть Хг = ОХ.
регулярное каноническое разбиение, и Аг = (СХз) Ц(0од) — каноническое разбиение, определенное только что (не регулярное). Ясно, что каждый элемент регуляр— г ного канонического разбиения Х совпадает,как подломаная ломаной Х,з, с соответствующим регулярным элементом Х -' канонического разбиения. Каждый сингулярныи элемент Вз канонического разбиения 4.3. Плоские ломаные П.
219 является или внутренней точкой некоторого ребра ломаной ьз, или совпадает с одной из фиксированных вершин. Пусть Яз некоторый сингу.лярный элемент канонического разбиения. Элемент Яз или представляет собой ломаную, начальную и конечную точки которой мы обозначим через А, и В, соответственно, или состоит из одной точки, которую мы также обозначим через А, = В,. В дальнейшем, переходя при нсобходиьиости к подразбиениям исходных ломаных, будем предгголазать, чпго каждая аэ точек.4, гг В, или з является вершиной обеих ломаных Л' и Ь, или не яв.
яется вершиной ни одной из них. Из этого предположения вытекает, в частности, что если Вз состоит более чем из однои точки, то обе его концевые вершины являются вершинами обеих ломаных. Если же Я~ состоит из одной точки А, = В, = Я~, то эта точка может как быть общей вершиной ломаных Е' и Ьз, так и не быть вершиной ни одной из них. В последнем случае эта точка является внутренней для некоторых ребер из Ег и Ьз. Таким образом, из нашего предположения вытекает, в частности, что если хотя бы одна из точек А, и В, не является обшей вершиной ломаных ьг и ьз, то элемент я~ состоит из одной точки. Чтобы сформулировать для произвочьной пары ломаных Ьг и Ьз аналог предложения 4.3 из раздела 4.1 о связи кручений, нам следует обобщить на случай таких ломаных понятие индекса шо1ьз, Ьг ) и концевых твистингов. В свою очередь, чтобы определить индекс пары ломаных, нужно приписать каждому элементу построенного канонического разбиения некоторый "знак" .
Прежде чем определять знаки сингулярных элементов канонического разбиения, полезно разбить множество всех таких элементов на два класса. Элементы, попавшие в один класс, будем называть гпраневерсальными, а в друтой касательными. Итак, пусть, как и выше, Ьз = (сг1") О(ОЯз) каноническое разбиение ломаной Ез относительно ломаной Ьг. Мы будем предполагать в дальнсишем, если не оговорено противное, что ломаные 1,г и Ьз различны как подмножества плоскости, исключая тем самым из рассмотрения тривиальный случай совпадающих ломаных. Мы начнем с определения допустимой окрестности сингулярного элемента.
Пусть 5~ произвольный сингулярный элемент, и обозначим через А, и В; начальну.ю и конечную вершины ломаной Я;-.. Обозначим чсрсз Е~ ориентированную подлоыануго ломаной Лг, полученную из Яз добавлением всех тех ребер ломаной Лг, которые содержат хотя бы одну из точек .4, и В,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
