Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Обозначим начальное и конечное звенья построенной ломаной Ег через бг и ег соответственно. Отметим, что ребра бг и еу могут совпадать. Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 220 Рассмотрим в плоскости е-окрестность Нь элемента оз, т.е. множество тех точек плоскости, расстояние от которых до од не превосходит г ) О, причем выберем е настолько малым, чтобы окрестность Оь пересекалась только со звеньями ломаной о; и звеньями 6, 6', е и ез, построенными выше. Если элемент оз является концевым и состоит более чем из одной точки, а 1' -- концевая вершина ломаной ьз, принадлежащая о., то подправим множество Н, следующим образом, Пусть е общее звено ломаных А' и Г,'-, содержащее Г, а 1 прямая, проходящая через Ъ' перпендикулярно к е. Обозначим через Н(Р') замкнутый полукруг, отсекаемый от Г, прямой 1 и пересекающийся с е лишь по точке 1~, Перестроенное множество Г, определим как замыкание множества П,.

~ Н(Р) и будем по-прежнему обозначать через П.. Определение, Построенное выше множество ~У, будем называть до- пустимой с-окрестностью сингулярного элемента о', Пусть сингулярный элемент 52 отличен от концевой вершины ломаной Аз. В этом случае каждая из ломаных ьэ, у' = 1, 2, разбивает каждунь допустимую окрестность 6'ь элемента о'~ на две компоненты.

Обозначим через 6, границу допустимой окрестности Г'е Ясно, что бь -- вложенная замкнутая кусочно-гладкая кривая на плоскости, пересекающаяся с каждой из ломаных А~ и т',з ровно по двум точкам. При этом, каждая из этих точек пересечения лежит на одном из ребер 61, я 6'-, е', ез..Ясно, что если элемент о~ является внутренним, то все эти четыре точки пересечения попарно различны, а если о'з — концевой элемент, то две из этих точек совпадают между собой и совпадают с общей концевой вершиной ломаных А1 и Аз.

Построим теперь разбиение множества всех сингулярных элементов на два класса. Определение. Сингулярный элемент оз назовем касательным, если ломаная Ал разбивает границу дь произвольной допустимой окрестности Гь элемента о'у на две замкнутые компоненты, причем только одна из этих компонент пересекается по своей внутренности с ломаной А'. В противном случае, сингулярный элемент о~ назовем трансеерсальным.

В дальнейшем нам также будет полезно следующее разбиение множества трансвсрсзльных сингулярных элементов на два класса. Назовем трансверсальный сингулярный элемент существенным, если он содержит внутреннюю вершину хотя бы одной из ломаных Е' или ьз, В противном случае, трансверсальный сингулярный элемент назовем несушесшеенным.

4.3. Плоские ломаные П, 221 Рис. 4.11: Типы сингулярных элементов. Замечание. Поясним только что данные определения, см. рис, 4.11. Пусть сначала Яз --- концевой сингулярный элемент, Если Вд совпадает с однои из концевых вершин ломаной Вз, то он является трансвсрсальным элементом, так как ломаная Вз в этом случае вообщс но разбивает никакую допустимую окрестность элемента 5, Если же з концевой сингулярный элемент Я; состоит больше чем из одной точки, то он, очевидно, является касательным. Далее, внутренний сингулярный элемент 5; является трансверсальным, если точки, принадлежащие ломаным ь~ и Т-, чередуются на границе д, произвольной допустимой окрестности элемента Я~. В противном случае, элемент Вз является касательным.

Наконсц, концевой трансверсальный элемент всегда является несущественным„а внутреннии трансверсальный элемент является несущественным только если он состоит из одной точки, не являющейся вершиной ни одной из ломаных Ь~ и Вз. Итак, мы построили разбиение множества всех сингулярных элементов канонического разбиения на два класса касательные и трансверсальные сингулярные элементы, Предположим теперь, что обе ломаные В~ и Вз незамкнуты и соединлют различные точки А и В, т.с. соответствующие концевые точки з ломаных ь~ и В- совпадают.

Иак и выше, будем предполагать, что Ь~ ~ Тз. Ориентируем ломаные Т ~ и Вз от А к В. Для таких ломаных определим знаки элементов канонического разбиения. Для регуллрных элементов канонического разбиения ломаных В, знак определяется точно так же, как и в случае ломаных общего '2 положения, А именно, напомним, если А и В, —. начальная и конечная вершины ломаной Вз, являющейся регулярным элементом канонического разбиения, и Ьу часть ломаной ь~ между А и Вч то Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 222 замкнутая ломаная ьг 0 б ограничивает конечную область на плоскости, которую мы обозначим через П .

Ломаную б ., как и выше, будем называть основанием области П, а сами области й П-областями. Выбранная ориентация ломаной Ьг определяет положительное направление движения вдоль 1,- и, следовательно. вдоль каждан В . Опрея г делим знак вфп(Т~~) ломаной В~~ равным +1, если, двигаясь в положительном направлении по ломаной Ц, мы обходим область Пу против часовой стрелки. В противнолв случае, нелегким вщп(Ьг) = — 1. Определим теперь знаки сингулярных элементов. Если Я~ трансверсальный сингулярный элемент, то положим в1бп(Я~) = О.

Пусть теперь Я;. касательный сингулярный элемент. Рассмотрим некоторую его допустимую окрестность П, и пусть б граница допустимой окрестности 11. По определению, ломаная ьг разбивает б на две компоненты. Обозначим через бо ту из этих компонент, которая содержит внутри себя точки из Вг (эта компонента существует и единственна по определению). Ориентация ломаной 1,г задает порядок на точках пересечения ломаной Вг с б. Ориентируем бо от первой точки перссечег ния ломаной А- с В ко второй. Назовем так ориентированную кривун> бо главной компонентой границы б допустимой окрестности.

С другой стороны, ориентация плоскости также задает ориентацию кривой бо, как части замкнутой кривой б. Если эти две ориентации на бо совпадают, то положим вфп(5г) = +1, в противном случае, положим ,~ог) Итак, каждому элементу канонического разбиения приписан знак, который равен к1 или О. (Здесь мы пользуемся предположением о том, что ломаные 1Г и 1,г не совпадают как подлвножсства плоскости. Отметим,что если ь~ = ьг,то знак единственного сингулярного элемента не определен.) Определение. Пусть ь~ и Вг -- две ломаные, не совпадающие как подмножества плоскости. Пусть Ь' и ьг соединяют различные точки А и В, и Вг = (ОЬг) Ц(05г) каноническое разбиение ломаной Вг относительно ь'. Сумма знаков элементов канонического разбиения называется индексом ломаной Вг относительно Ь' и обозначается через шс1(1г, 1Г): шо(ьг,Т, ) = ~~ в1бп(Ь ) + ~ в1бп(Я;).

Замечание. Пусть Вг и Ьг - - пара ломаных, соединяющих фиксированныс точки А и В на плоскости, и находящихся в общем положении. Тогда, как мы уже отмечали выше, для ломаных А' и ьг определено 4.3. Плоские ломаные П. 223 как регулярное каноническое разбиение, так и просто каноническое разбиение (не регулярное). Поэтому для ломаной Ьг относительно Ь~ определено два числа: индекс в смысле ломаных в общем положении., определенный в разделе 4.1,который мы начиная с этого момента будем называть регулярным индексом, и индекс, определенный только что.

Однако, поскольку, очевидно, все сингулярные элементы канонического разбиения в случае ломаных в общем положении являются трансвсрсвльными и не дают вклада в индекс, имеет место следующее утверждение. остверждение 4.6 Если ломаные Ь' и Ьх, соединяюи,ие фиксированные точки А и В, находятся в общем положении, то регулярный индекс ломаной Ьз по отношению к Е' совпадает с общим (не регулярным) индексом. Перейдем теперь к определению концевых твистингов.

Если концевой сингулярный элемент состоит из одной точки 1' (здесь или 1' = А, или Г = В), то, очевидно, имеется концовой регулярный элемент, содержащий точку 1', и можно определить твистинг точно так же, как и в случае общего положения. А именно, нужно ориентировать границу П-области П, порожденной этим регулярным концевым элементом, в соответствии с положительным направлением движения по ломаной Е- и определить концевой твистинг в точке 1' равным твистингу этой точки как вершины ориентированной ломаной дй. В этом случае, напомним, если 1' = А, то концевой твистинг о(Ьч, Е~) в вершине А совпадает с деленной на к/3 величиной ориентированного угла между направлением, противоположным направлению начаяьного звена ломанои Ь~, и направлением начального звена ломаной Ьз.

В свою очередь, если 1' = В, то концевой твистинг /з1Лх, Ь') в вершине В совпадает с деленной на я/3 величиной ориентированного угла между направлением последнего звена ломаной Ьз и направлением, противоположным направлению последнего звена ломаной ь'. Предположим теперь, что не существует концевого регулярного элемента, содержащего точку 1'.

Это означает, что имеетсл единственный элемент канонического разбиения, содержащий точку 1', и этот элемент, который мы обозначим через 5~~,, является касательным сингулярным элементом. Отметим, что теперь угол между инцидент- ными всршинс 1х концевыми ребрами ломаных Л~ и Лз равен О. поэтому воспользоваться старым определением концевого твистинга в то ще Г нельзя. Действительно, величина угла между нужными нам направлениями этих ребер равна г, поэтому ориентированный угол между этими направлениями нс определен.

Характеристики

Список файлов диссертации