Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

Чтобы задать концевой твистинг Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 224 в точке Ъ', мы воспользуемся знаком касательного сингулярного элемента, Вьг,. А именно, в этом случае, положим концевой твистинг в вершине Г равным 3 в13п(Вгг). Как и вьппе, обозначим конповыс твистинги в вершинах А и В через о(Хг, Х ~) и б(Хг, Хг) соответственно. Теперь все готово, чтобы сформулировать главный результат настоящего раздела, являющийся обобщением предложения 4.3 на случай произвольных ломаных.

Предложение 4.16 Пусть Х1 и Ха — - ломаные, соединяющие пору точек А и В, не совпадающие как подмнолсества плоскости и ориентированные от А к В. Тогда 1лХз = впй + 61пс1(Х',Х, ) — о(Хз, Х, ) — 3(Лз, Х,~). Доказательство. Для доказательства предложения 4.16 мы воспользуемся специальнылеи деформациями Фп 1 6 (а, Ь], ломаной Хг, где Ф (Х, ) = Х Ф~(Х,') = Х,' Определение. Деформацию Фе ломаной Лг будем называть регуяяри- эующеа, если она обладает следующими свойствами: 1. деформация Фь неподвижна на концевых точках А и В; 2.

деформация Фь не меняет индекс 1пс1(Х-', Х '), т е. 1пс!(Фь(Х г), Х1) = сопев: 3. в результате деформации получается ломанная Фь(йз), находящаяся по отношению к ь1 в общем положении при фиксированных точках А и В; 4. кручение Ф~(Х,з). а также концевые твистинги о(Ф~(Хз),Х,~) и /3(Фс(Ха), Х ~) ломаной Фь(Ха) по отношению к Е~, непрерывно зависят от 1 Е (а, о). .Ясно, что регуляризующая деформацил должна "ликвидировать" касательные сингулярные элементы канонического разбиения и оставить лишь трансверсальные сингулярные элементы канонического разбиения, состоящие из одной точки. При этом условие 2 сохранения индекса при регуляризующей деформации не дает нале возможности просто так 'уничтожать" касательные сингулярные элементы: нугкно следить за тем, чтобы при этом индекс не изменился (напомним, что из всех сингулярных элементов именно касатечьные элементы дают вклад в индекс).

Мы построим регуляризующую деформацию Фп 1 6 [О, 1), в виде двух последовательных деформации, из которых первая, скажем 4.3. Плоские ломаные П, 225 Фы 1 Е ]О, 1/2], перестраивает касательные сингулярные элементы, а вторая, скажем Оь, 1 Е ~1/2, Ц -- перестраивает трансверсальные сингулярные элементы. Мы будем требовать, чтобы деформация Фь обладала всеми свойствами регуляризующих деформаций, кроме свойства 3, т.е. полученная в результате ломаная Ф1 х(1,и) не должна находиться в общем положении по отношению к Е .

Однако, мы будем требовать, чтобы ломаная Ф1уи (ьх) не образовывала бы уже касательных сингулярных элементов. Такую деформацию Фь будем называть 1-регуляриэуюи1сй. В свою очередь, деформацил О~ будет регуляризу.— ющей деформацией, причем свойство 4 будет усилено: мы будем требовать, чтобы при деформации О~ ни концевые твистинги, ни кручение ломаной 1.з не менялись.

Такие деформации Оь будем называть 2-рггу вриэующими, Мы построим 1-регуляризующую деформацию Фы 1 Е '10, 1/2], обладающую следующими специальными свойствами. Пусть каноническое разбиение ломаной Ь~ = Фо(Аг) относительно 1,1 содержит в~ касательных сингулярных элементов, в„трансвсрсальных сингулярных элементов, и г регулярных элементов. Тогда существует такое разбиение 0 = 1о < 11 « .. 1„= 1/2 отрезка ]О, 112], что каноническое разбиение ломаной Ф~(Е~) при 1 Е (1., ы1,], 1 = 1....., во содержит в~ — 1 касательных сингулярных элементов, в, + 21 трансверсальных сингулярных элементов, н г+1 регулярных элементов.

Другими словами, при переходе через значение 1 = 1ь 0 < 1 < в~ — 1, ровно один касательный сингулярный элемент перестраивается, образуя два новых трансверсальных сингулярных элемента и один новый регулярный элемент. В частности, ломаная Ф1~з(Ьз) уже не образует касательных сингулярных элементов. Такие 1-регуляризующие деформации будем называть правильными. Прежде чем определять правильную 2-регуляризующую деформацию Оы сформулируем следующее очевидное утверждение.

Утверждение 4.7 Ломаные Ь1 и Ьз, соединяющие фиксированные точки А и В, находятся в оби1ам положении, если и только если каноническое разбиение лил~аной 1г относительно Ь1 не содержит ни касательных сингулярных элементов, ни существенных трансверсальных сингулярных элементов.

Мы построим 2-регуляризующую деформацию Оо 1 Е ~1/2, Ц. обладающую следующими специальными свойствами. Обозначим че1эез Вх ломану.ю, полученную из Ьэ деформацией Ф,, т.е. положим 1г = Ф, ~з(Аг). Пусть каноническое разбиение ломаной 01~э(Ьи) = 1з содержит в„существенных трансверсальных сингулярных элементов, Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 226 а„несущественных трансверсальных сингулярных элементов и г регулярных элементов [и, по построению, 0 касательных сингулярных элементов). Тогда существует такое разбиение 1/2 = 1о < 11 « .

1,, = 1 отрезка [1/2, Ц, что каноническое разбиение ломаной 0~(7.э) при 1 Е (1; м 1;], 1 = 1,..., а„содержит л, — 1 существенньсс трансверсальных сингулярных элементов, а„+ 1 несущественных трансверсальных сингулярных элементов, г регулярных элементов, и, по-прежнему, 0 касательных сингулярных элементов. Другими словами, при переходе через значение 1 = 1„0 < 1 < а, — 1, ровно один существенныи трансверсальный сингулярный элемент перестраивается, образуя один новый несущественный трансверсальный сингулярный элемент. В частности, ломаная 01(1,з) уже нс образует существенных трансверсальных сингулярных элементов.

Поэтому 01[Фз7я[Ез)) находится в общем положении с ломанои Лз в силу утверждения 4.7. Такие 2- регуляризующие деформации будем называть правильными. Регуляризующую деформацию Фм 1 Е [О, Ц, являющуюся результатом последовательного применения правильных 1- и 2-регуляризуюших деформаций Фо й 6 [О, 1/2], и О~., 1 6 [1/2, Ц, будем также называть праанльной. Предположим, что мы уже умеем строить правильные регуляризуюшие дефоРмации Фм О~ и Фь ПосколькУ ломаныс Фз[Аз) и Е1 находятся в общем положении, к ним применимо предложение 4.3.

Поэтому, при 1 = 1, имеет место следующее равенство: сп[Ф,(Л~)) = 1пА~+61пс1[Ф,[Л~),Л') — о(Ф,[Ьз),А~) — Д[Ф,[Лз),А~). * Заметим, что правильная 2-регуляризующая деформация Ом 1 Е [1/2, Ц, по определению, не меняет ни одного из слагаемых, входящих в равенство (а). Поэтому равенство [а) справедливо при всех 4 Е [1/2, Ц. Так как, по определению, Ф17э[АЯ) = Ф17я[Лз), при 1 = 1/2 справедливо следующее равенство: Оз[Ф~[Лз)) = 1пЛ +61пс)[Ф~ [Ля),Е ) — о[ФЯ1, ),Л ) — ЯФ,[1, ),Л ).

а* Отметим, что ломаная Ф17з[Ьз) не образует касательных сингулярных элементов по отношению к 1.~, Теперь доказательство предложения легко получается индукцисй по числу а~ касательных сингулярных элементов канонического разбиения ломаной Лз. В самом деле, если а1 равно нуля>, т.е. касательных элементов нет, то утверждение предложения совпадает с равенством [в*), которое уже доказано. Предположим, что доказываемое утверждение справедливо при а~ < и, и пусть каноническое разбиение ломаной Аэ по отношению 4.3.

Плоские ломаные П. 227 к Х ' содержит п касатеяьных сингулярных элементов. Тогда, по предположению индукции, равенство (*я) справедливо при 1 Е (О, 1/2). Далее, в силу свойства 2 регуляризующей деформапии, 1ш1(Ф~(Хз), Х1) = сопяс = 1шЦХ,з, Х,1), поэтому гп(Фь(йз)) = сп Х,' -ь 61шЦХР, Ь') — а(Фс1Хз), Х,') — ЯФс1ьз), В'), при 1 Е (О, 1/2). Перейдем к пределу при 1 — ~ О+. В силу свонства 4 регуляризующси деформации Фо получим: 1п(Фо(Хз)) = 1п Ь' + 6 1вб(Х,"-, Х ') — а(Фо Ф), Х') — ~3(Фо(Хз), Х'), то есть, св (ья) = сп Х ~ + 6 1пб(Х ~, Е~) — а(Х", Х ~) — д(Х з, Х '), что и требовалось. Таким образом, для завершения доказательства предложения осталось построить правильные 1- и 2-регуляризующие деформации.

Мы вынесем это построение в отдельный подраздел. Построение правильной регуляризующей деформации Прежде всего, перейдя, если нужно, к некоторому измельчения> ломаной Хз, будем, не ограничивая общности. предполагать. что каждый регулярный элемент ломаной Вз состоит по меныпей мере из двух звеньев. Напомним, выше мы предполагали также, что каждая из концевых точек произвольного сингулярного элемента канонического разбиения или является вершиной обеих ломаных Х,1 и А-, или не является вершиной ни одной из них. Рассмотрим каноническое разбиение ориентированной ломаной Х,Я относительно Хг.

Пусть Яз —. или касательный сингулярный элемент канонического разбиения, или существенный трансверсальный элемент, и А, и В; концевые точки ломаной Я . Обозначим через 6, = А,'А, то я вектор-звено из Х,-, конечная вершина которого совпадает с А,, а через е, = В,,В,' то вектор-звено из В, начальная вершина которого совпа- 2 дает с Вь При этом, если А, = А, то положим А'; = Аь а если В,; = В, то положим В,' = Вь По определению, если А, ~ А, то звено 6, = А',А; принадлежит некоторому регулярному элементу, причем, в силу принятого соглашения, вершина А', является внутренней вершиной этого регулярного элемента.

Аналогично, если В, ~ В, то звено е, = В;В,' принадлежит некоторому регулярному элементу, причем вершина В,' является внутренней вершиной этого регулярного элемента. Обозначим через 5; ломаную, полученную из Я~ добавлением звеньев 6; и еь Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 228 Отметим, что ломаные К и 3, построенные для разных сингулярных элементов ЗУ и Я~з канонического разбиения, пересекаются не больше чем по общей концевой вершине.

Характеристики

Список файлов диссертации