Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 258 Второй шаг определяется точно так же, как и в слу чае ломаных общего положения. Итак, мы определили деформации произвольных ломаных, которые, так же, как и в случае ломаных общего положения, мы будем называть элементарными деформациями Применим к строго пустой шапочке Н(Н) элементарную деформацию и перестроим В так, чтобы полученная лолеаная образовывала, по отношению к И"б олной строго пустой шапочкои и, значит, одним пустым элементом меньше. Ясно, что при такой элементарной деформации не меняются ни направления концевых ребер пути Х, ни шапочки, принадлежащие Н (последнее имеет место, так как элементы разбиения, смежные с элементом Е', лежат в многоугольнике ае и.

поэтому, не принадлежат к р-шапочкам из 'Н). Повторяя этот процесс до тех пор, пока все пустые шапочки не будут уничтожены, и используя тот факт, что кручение ломаной Х не меняется при элементарных деформациях, получим следующее предложение. Предложение 4.23 Существует деформация ломаной Х, неподвижная на всех непустых шапочках и сохраняющ я направлен я граничных ребер ломаной Е, такая что полученная в результате ломаная не образует пустых шапочек. Ни кручение ломаной Х, ни концевые твистинги, при этой деформации не меняюпшя.

Таким образом, можно предполагать, без ограничения общности, что 1 не образует пустых шапочек. Теперь., с помощью утверждония 4.11, избавимся от касательных концевых сингулярных элементов (если такие есть) как по отношению к Исм так и по отношению к И'з. Обозначим через Х ломаную, полученную из Х выбрасыванием касательных концевых сингулярных элементов (если они есть). Ориентируем ломаную Х в соответствие с ориентацией ломаной Е, и пусть Х и В' начальная и конечная воршины ломаной Х.

Обозначим через И'~ и Иг ломаныс, на которые точки А' и В' разбивают И'". При этом, ломанэл Иго ~', = 1, 2, получается из И', добавлением и/или выбрасыванием концевых касательных сингулярных элементов ломаной Х. Имеет место следующая очевидная лемма. Лемма 4.21 В сделанных выше предположениях, пусть Ь, некоторая шапочка, образованная ломаной Х по отношению к И'о. Тогда соответствующее Н-множество или содержит обе точки А и Х, или не содержит ни одной из этих точек. Аналогично, это Н- множество или содержит обе точки В и В', или не содержит ни одной из этих точек. 4.4. Линейные деревья.

25О Таким образом, из построения и из леммы 4.21 вытекает, что Х, вопервых, не имеет концевых касательных сингулярных элементов, т.е. образует, по отношению к каждои Иб четыре концевых элемента, два из которых регулярны, и, во-вторых, ломаная Х, так же, как и Ь, не содержит пустых шапочек по отношению к И . Определим теперь числа пь 1 = 1,2, так.

Положим и; равным количеству не содержащих шапочек из 'Н концевых областей, образованных ломаной Х по отношению к И;. Очевидно, и; < 2 по определению. Далее, напомним, что ломаная Х ориентирована от Х к В'. Обозначим через пу общее количество не содержащих шапочек из 'Н первых регулярных элементов разбиений Х относительно как Иы так и И'з. Аналогично, через п~ обозначим количество не содержащих шапочек из 'Н последних, не совпадающих с первыми, регулярных элементов этих разбиений. Очевидно, пу < 2, кч < 2, и п1 + пз = ну + пь Оказывается, если ломаная Х не образует пустых шапочек и концевых касательных сингулярных элементов, то имеет место следующая более сильная оценка.

Предложение 4.24 Пусть ломаная Х не образует пустых шапочек по оспношснию к И'", а пшкеке не образует концевых касательных сингулярныт элементов. Тоеда, в сделанных выше обозначенелх, имеет место следующее неравенство: из+и =пс+п~ < 2.

Доказательство. В тривиальном случае, когда ломаная Х пересекает ломаную И'е лишь в точках 4' и В', имеем очевидно две воэможности: или ломаная Х целиком лежит в и", и тогда п~ — — пз = 1, пу = 2, кч = О (для каждан И'; имеется всего одна (первая) концевая область, не содержащая шапочку), поэтому па + пз = 2; или ломаная В целиком лежит вне ое, и тогда и, = пз = пу = п~ = О (для каждой И; имеется всего одна (первая) концевая область, содержащая шапочку), поэтому и,+аз=О. Предположим теперь, что имеется хотя бы одна точка пересечения ломаных Хи Иье, отличная от А' и В', Рассмотрим первый регулярный элемент Е1 канонического разбиения ломаной Х относительно ломанои И'" (по предположению, этот элемент содержит 4').

Предположим сначала, что В1 лежит вне многоугольника пе. В этом случае, очевидно, первые регулярные элементы разбиения Х по отношению к ломаным И; содержат шапочки из 'Н, поэтому каждое из чисел и, 1 = 1,2, не превосходит единицы, откуда и, + пз < 2. Ереме того, очевидно, в этом случае пп = О. Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 260 Пусть теперь 1 > лежит внутри оо, и предположим, для определенности, что конец ломаной В> принадлежит И7> (напомним, что ломаная Х, и значит все элементы канонического разбиения, ориентированы от А' к В'). Тогда первый концевой регулярный элемент разбиения Х по отношению к 147> не содержит шапочки.

Обозначим через В> следующий регу'лярный элемент канонического разбиения Х относительно И'ь. Если Вз лежит внутри ое, то сингулярный элемент Я, расположенный между Ь7 и Хх, образует пустую шапочку, что противоречит определении> ломаной Х. Поэтому элемент Вз лежит вне многоуголы>ика о", поэтому образует шапочку, которая по нашему предположению не пуста. Наконец, ясно что первый регулярный элемент канонического разбиения ломаной Х по отношению к И77 в этом случае содержит Ь> 0 Ьз, поэтому он содержит пспу етую шапочку, т.е. шапочку из 'Н, откуда и> < 1. Таким образом, вне зависимости от расположения первого элемента ломаной Х, имеет место неравенство п> < 1. лнаьогично можно показать, что п> < 1, откуда окончательно получаем: пу + н> < 2.

Предложение доказано. Обозначим через и;" количество не содержащих шапочек из 'Н регулярных концевых Аиэлементов разбиения ломаной Х по отношению к И;, и, аналогично, через п~~ количество не содержащих шапочек из Н регулярных концевых В'-элементов разбиения ломаной Х по отношению к И',. Очевидно, 7>~ + пв = н>, и 7>з + 7>~ = пз, поэтому имеет место следующее утверждение.

Следствие 4.15 В сделанных выше обозначениях, и, +пз +и, +7>з (2. Замечание. Из определений немедленно вытекает, что количество А'- элементов, образованных ломаной Х по отношению к ломаной 147„нс превосходит п',~ + ф>'Нл), а количество В'-элементов, образованных ломаной Х по отношении> к ломаной 117>, не превосходит пв + $(Нв), где через ф(Х) обозначается количество элементов во множестве Х. При разборе случая р < д нам понадобится следующее уточнение предложения 4.24.

Следствие 4.16 Пусть, как и выше, ломаная Х не образует 7>уь>77>ь>х шапочек по отношению к И'е, а также не образует кониееых касательных синзулярных элементов. Предположим дополнен>ельне, что одно из граничных ребер ломаной Х лежи>п вне о". Тоеда 4.4. Линейные деревья. 261 ° П1+Пз < 1; ° п; + шах(п~, пн) < 1 при 1 у': у; ° шах(п~,п~ ) + шах1пб,пз ) < 1. Доказательство. В самом деле, из доказательства предложения 4,24 (см, выше) вытекает, что если один из концевых регулярных элементов канонического разбисния ломаной Х относительно И'" лежит вне области и"., то или пу = О, или гн = О. 1(роме того. как показано выше, оба эти числа не превосходят единицы, откуда П4 + Пз < 1. Осталось заметить,что так как п1 +743 +п4 +пз =п1 +аз < 1, л и н В то лишь одно из четырех чисел п, и пн может равняться 1, а остальные - .

необходимо равны нулю. Отсюда вытекают оставшиеся два неравенства. Следствие доказано. Рассмотрим теперь канонические разбиения ломаной Х по отношении> к И;.. Имеются следующие возможности. (1.) Разбиение ломаной Х относительно И'; содержит Е-элемент. Тогда, в силу предложения 4.22., общее количество А'- и В'-элементов нс превосходит 2(р — Ц вЂ” 2+п„так как, по меньшой мере, одна из шапочек, входящих в 'Йл (соотвстственно, в 'Нн), порождена Р-элементом.

Характеристики

Список файлов диссертации