Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 65

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

Замечание. Пусть С - —. некоторый взвешенный граф, и Г: С вЂ” у И'--- взвешенная миниллальная сеть. Если некоторая вершина степени 2 сети Г подвижная, то инцидентныо этой вершине ребра, по следствию 5.2, необходимо имеют одинаковые веса и. поэтому, стыкуются под углом в 180'. Отсюда вытекает. что если выбросить из множества вершин параметризующего графа С подвижные вершины степени 2, инцидентныо разным (не циклическим) робрам одного весал, и "укрупнить" при 1отметим, что если граф О содержит вершину степени 2, инцидентную циклическому ребру,то С совпадает с эти циклическим ребром. Глава 5.

Сети с фиксированными типом и границей. 298 этом ребра, склеивая каждую пару ребер из С, инцидентных такой вершине, в одно ребро того же веса., то получим новую взвешенную минимальную сеть, образ которой совпадает с образом ости Г. Обратно, из любой взвешенной сети Г, не менял ее образа, можно получить другую взвешенную сеть, выбрав на ребрах параметризующего графа С произвольные внутренние точки и добавив их к множеству подвижных вершин, При этом надо сделать очевидную перестройку ребер и весовои функции сети. Более того, по теореме 2, при любой такой перестройке сети каждая взвешенная минимальная сеть остается взвешенной минимальной сетью.

Определение. Каждую не инцидентную циклическому ребру подвижную вершину степени 2 произвольного взвешенного графа С, а также соответствующую вершину произвольной сети Г типа С, будем называть фиктивной. Для сетей в многообразиях., каждые две точки которых соединяются не болео чем одной геодезической, понятие фиктивной вершиньэ можно естественно расширить. Пусть теперь С произвольный взвешенный граф (возможно, с кратными ребрами), параметризующий сеть Г в многообразии И', обладающим указанным свойством, и д(С) -- результат склейки кратных ребер графа С, Определение.

Вершину о сети Г типа С (соответственно, графа С) назовем фиктивной, если и только если фиктивной являетсл соответству1ощая вершина графа д~С). Друтими словами, вершина и сети Г является фиктивной, если она подвижна, смежна ровно с двумя вершинами, скажем и1 и из, и сумма весов ребер., соединяющих о с и1 равна сумме весов ребер, соединяющих и с ог. Отметим, что на случай таких сетей естественно переносится операция удаления фиктивных вершин. Имеот место следующее утвержденна.

э'тверждение 5.1 Пусть каждые две точки римановоггз многообразия И' соединяет не более одной геодезической. Тогда взвешенная сеть Г с раниией дГ является минимальной если и только если минимальной является взвешенная сеть, полученная аз Г удалением всех фиктивных вершин. Замечание. Пусть Г произвольная взвешенная минимальная сеть с границей дГ, Если для некоторой граничной вершины выполняется условие теоремы 2 о локальной структуре, характеризующее подвижные вершины, т.е. линейная комбинация векторов направлений ребер, 5.2. Взвешенные минимальные сети в 2к.

входящих в эту вершину, с коэффициентами -- весами этих ребер, равна нулю., то такую вершину можно исключить из границы, объявив ее подвижной, что не изменит своиства сети Г быть взвешенной минилвальной. Такие граничные вершины будем называть ложными. Легко видеть, что взвешенные минимальные сети общего положения не содержат ложных вершин. Замечание.

Пусть Г -- произвольная взвешенная минимальная сеть с границей дГ. Разрежем сеть Г по всем граничным вершинам степени больше 1 и рассмотрим произвольную связную компоненту. Определим границу. каждой такой компоненты как множество всех ее вершин степени 1. Ясно, что граница каждой компоненты является частью границы сети Г. Поэтому, в соответствие с теоремой 2, каждая компонента сама является взвешеннои минимальной сетью.

Множество всех вершин степени 1 произвольного графа (сети) назовем эффективной границей этого графа 1сети), Графы (сети), границы которых эффекгивны, назовем невырожденными. Итак, каждая связная компонента взвешенной минимальной сети, разрезанной по всем граничным вершинам степени больше 1, явллется невырожденной взвешенной минимальной сетью. Эти связные компоненты сети Г назовем невырожденными компонентами сети Г. Такое определение невырождснных компонент для случая взвешенных минимальных сетей совпадает с данным выше определением невырожденных компонент сети общего вида.

Задача описания взвешенных минимальных сетей общего вида сводится к задаче описания невырожденных взвешенных минимальных сетей. Л именно, имеет место следующий очевидный результат. эгтверждение 5.2 Взвешенная сеть С с границей дГ является миними ьной тогда и только гавада, когда каждая ее невьярожденная компонента -- взвешенная минимальная сеть но отношению к своей границе. Понятие взвешенной длины естественным образом определено для произвольной взвешенной гсодезическои сети.

Пусть 0 взвешенный граф с весовой функциеи ш, и Г произвольная геодезическая сеть типа С. Обозначим через е (Г) линейную комбинацию длин всех ребер сети Г с коэффициентами весами соответствующих ребер из С и назовем это чисю взвешенной длиной геодезической сети Г. Функция ь' определена на пространстве всех геодезических сетей топологии С.

Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей. 300 5.2.1 Структура множества взвешенных локально минимальных сетей Начиная с этого места мы снова будем предполагать., что И' = й" . Напомним, что через 2(С) мы обозначаем пространство всех линейных сетей топологии С. На этом пространстве, как быьо только объяснено, определена функция Р взвешенной длины. Следующее предложение доказывастся точно так же, как и утверждение 3.3. Предложение 5.5 Функция Рм:,С(С) — ь К вьгаукла вннз. Следствие 5.3 Ограничение ~щнкиии Р на [С,ю] выпукло.

Следующее предложение описывает множество экстремумов функции Р„: [С,д] — + Й и вытекает из стандартных свойств выпуклых функций. Предложение бл3 Мноакгсгпво экшоргмумов Р)ункиии Р,: [С, ~р] — > К непусто, вьшукло (а, значит, линейно связно), ограничено и состоит из точек абсолютного минимума. Множество минимумов функции Р,: [С,Д -в Кк обозначим через [С~ 'р]мы.

Найдем теперь необходимое и достаточное условие того, что точка х е [С,ю] является точкой минимума. Для этого мы воспользуемся формулой первой вариации взвешенной длины, см. следствие 1.8. Пусть С взвешенный граф, ш весовая функция, Г произвольная линейная сеть из 2(С), и и произвольная ее вершина. Обозначим через Дт„линейную комбинацию единичных векторов направлений входящих в вершину о невырождснных ребер с коэффициентами весами этих ребер.

Далее, пусть Р(и) множество всех вершин, смежных с и, для которых ребра, соединяющие их с вершиной и вырождены. Рассмотрим произвольную деформацию Гь сети Г в классе 2(С), и пусть Е„начальныи вектор скорости движения вершины и при этой деформации. Из следствия 1.8 вытекает,что сеть Г является точкои абсолютного минимума функции Р,: [С, у] — ~ К если и только если для лкьбых семейств векторов Е,, равных нулю в неподвижных вершинах, выражение ~ ((Х„Ев) + — ~ ш(ии') [Ев — Е.„.

]), в меР(ю] где ь~(ии') вес ребра сети Г, соединяющего и и и', неотрицательно. 5.2. Взвешенные минимальные сети в жо. 301 Следствие 5л4 Пусть С -- взве1аенный граф с весовой функцией оз, а Г -. линейная сеть из ~С,1о], не содержащая вырожденных ребер, Тогда Г является точкой абсолютного .минимума функции взвешенной длины й, т.е.

Г Е ~С,~р~ ьо если и яполько если Г взвешенная минимальная сеть с границей ю. В частности, если все абсолютные минимумы функции взвешенной длины на пространстве [С, ьо] содержат вырожденные ребра, то не существует погруженной взвешенной минимальной сети типа С с границей ю. Перейдем теперь к формуле второй вариации длины. Нам не понадобится формула второй вариации в общем случае, поэтому мы выпишем ее лишь в предположении, что все вершины деформируемой сети равномерно движутся по прямым.

Деформация, удовлетворяющая указанному свойству, называется линейной, Предложение 5.7 Лусть ~амбь] произвольная линейная деформация отрезка ~аоЬо], Ь > О, и ]аоЬо] Ф О, т.е. отрезок,~ао, Ьв] невырожден. Тогда дг]аьЬь] ]Ьо — ао]г]Ь' — а']~ — (Ьо — ао, Ь' — а')з йз, ]Ьо — ае]з где а' и Ь' Ь = О. скорости кривььх а~ и Ьс в начальный моментп времена Доказательство получается прямым подсчетом. Следствие 5.5 В предположениях предложения б.У, впюрал производная длины отрезка неотрицательна и равна нулю если и только если разность Ь' — а' векторов начальных скоростей вариации отрезка колинеарна направлению отрезка.

В частности, вторая производная длины отрезка равна нулю если а только если все отрезки ~ам Ьь] рассматриваемой линейной вариации взаимно параллельны. Приведем теперь аналог доказанной Хвангом ~35] теоремы единственности локально минимальных деревьев данного типа с данной границей. Для этого мы расширим класс фиктивных вершин так. Пусть Г: С вЂ” ь й~ -- взвешенная минимальная сеть с границей ан Подвижная вершина И сети Г называется слабо фиктивной, если все инцидснтные ей ребра взаимно параллельны.

Иэ минимальности сети Г вытекает, что ребра сети Г, инцидентные слабо фиктивной вершине г', а такисе соответствующие ребра графа С, ржзбиван>тси на два класса с одинаковым суммарным весом. При этом, образы любых двух таких ребер пересекаются по точке тогда и только тогда когда эти ребра принадлежат разным классам. Отметим, что фиктивные верпплны Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей. 302 являются фиктивными для любой взвешенной минимальной сети Г., т,е.

это свойство не зависит от выбора отображения Г в классе взвешенных минимальных сетей. В общем случае, слабо фиктивные вершины могут перестать быть таковыми при сколь утодно малом изменении отображения Г в классе взвешенных минимальных сетей. Приведем пример. Пример. Пусгь С граф, состоящий из четырех ребер, стыкующихся в одной общей вершине о, и весовая функция постоянна и равна 1.

Характеристики

Список файлов диссертации