Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

Предложение 5.2 Все фундаментальные системы ссгпи Г эквивалентны как линейнгае сиглиемы уравнений. В частмости, множества решений всех фундаментальных систем совпадают, и ранг сети Г определен корректно, т.е. не зависит от выбора фундаментальной системы сети. 5.1. Геодезические сети. Линейные сети. 293 Доказательство. Пам понадобится следующая лемма. Пусть С-- произвольный граф. Ориентируем каждое ребро графа С. Обозначим через С,(С) группу клеточных 1-морных ценой комплокса С над У., т.с. множество всех формальных конечных линейньсс комбинаций 1.-мерных клеток комплекса С с коэффициентами в ю.

наделенное естественнои операцией сложения, а через д,: С, (С) — ь С, 1(С) граничный гомоморфизм. Тогда группа Н~ (С, К) первых гомологий полученного цепного комплекса содержит все ориентированные циклы графа С, каждыи из которых представляет собой формальную линейную комбинацию ребер графа С с подходящими коэффициентами х1. При этом, каждая фундаментальная система циклов графа С образует базис в Н1 (С, К).

Поэтому имеет место следующий результат. Лемма 5.1 Каждый ориенпщрованный цикл графа С представим в виде целочисленной линейной комбинации ориентировиннь х фундаментальных циклов. Из леммы 5.1 немедленно вытекают следующие результаты. Лемма 5.2 Пусть Г произвольная погруженния линейная сеть, 1Л,) -.- некоторое решение ее фундаментальной системы, и с — произвольный ориентированный цикл в подвижной подсеепи, сети Г. Тогда е(е)к(е)Ле = О. и".ьеь Поэтому фунд ментальная система, полученния из данной фундаментальной системы заменой базиса фундаментальных циклов подвижного подграфа, эквивалентна исходной системе.

Лемма 5.3 Путпь б ориентированный путь в невырожденной компоненте сети Г, начинающийся в е1 и заканчивающийся в е . Тогда фундаментальная система уравнений сети Г, полученная из исходной фундаментальной системы сети Г заменой уравнений для 2 на уравнения е (е) о(е) Л, = ЛХ вЂ” 3Хз е.~еь длл 5, эквивалентна исходной фунд ментальной системе. Утверждение предложения вытекает из лемм 5.2 и 5.3. Доказательство закончено. Изучим, как связаны решения фундаментальнои системы сети Г и элементы множества ~С,у)г.

Если Г' произвольная параллельная Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей. 294 Г линейная сеть типа С с границей », то набор длин ребер сети Г' удовлетворяет фундаментальной системе сети Г, Обратно, пусть ХЛ,) некотороо рошение фундаментаяьнон системы. Покажем, что если все Л, ) О, то существует параллельная Г линейная сеть типа С с границей ~р, длины ребер которой равны соответствующим значениям Л„, Для этого сначала для произвольного решения (Л„) фундаментальной системы построим линейную сеть Г' из [С,д).

Легко видеть, что если мы реализуем все невырожденные компоненты сети Г' на соответствующих им подмножествах множества ЛХ, то мы, тем самым, реализуем и вск> сеть Г'. Поэтому, в силу блочного вида фундаментальной системы, без ограничения общности можно предполагать, что граф С совпадает со своей единственной не- вырожденной компонентой. Пусть Т остовное дерево графа С с границей дТ = дС. Выберем все пути ~ лежащими в Т. Напомним, что на графе С, а значит и на дереве Т, фиксирована ориентация. Построим линейное дерево Т, такое что Т(п>) = ЛХ>, и вектор Т(е), соответствующий произвольному ориентированному ребру е из Г, равен Л,»(е).

Так как набор чисел ХЛ,) удовлетворяет фундаментальной систвъ>е, то граница дТ дерева Т совпадает с дГ (оть>етим, что по определению, параметризующее дерево Т сети Т является остовным подграфом в С). Так как отображение Т определсно на всех вершинах графа С, то оно по линейности продолжается до единственной линейной сети Г': С > К~. Покажем, что вектор Г'(е), соответствующии произвольному ориентированному ребру е из С, равен Л„»~е). Если е б Т, то доказывать нечего.

Далее, пусть е >с Т, и с-- единственный цикл в графе Х 0 )еХ, ориентированный произвольным образом. Обозначим через и и и' инцидентные е вершины из С. В силу леммы 5.2, имеем: с(е)»(е)Ле — — ~ с(е )»(е )Ле . е'. е' я с о'г Осталось заметить, что в правой части стоит как раз разность радиус векторов точек Т(г) и Т(п').

что и требовалось. Обозначим через Л аффинное подпространство в К™, являющееся множеством решений фундаментальнои системы сети Г (здесь и> количество ребер графа С). Пусть ф: й — > ~С,Д построенное только что отображение, ставящее в соответствио каждому набору (..., Л,,...) Е Л соответствуя>шук> линейнун> сеть из ~С,д), точнее, вектор координат подвижных вершин этой сети, Очевидно, что >)> аффинное отображение. Легко видеть, что имеет место следующее утверждение. 5.1. Геодезические сети. Линейные сети. 295 Предложение 5.3 Сеть Г' Е [С, р], Г' = ф[.,.,А„... ), параллельна сети Г если и только если все А, строго положительны. Инььии словами, [С ~о[г ~ [ ~ й 1пь К ) где через Кч~ обозначена внутренность положщпельного ортанта в пространстве К'".

11редложение 5.3 позволяет легко доказать следующий результат. Лемма 5А Отображение ф взаимно однозначно с образом, и, позтолеу, ф аффинное вложение. Доказательство. Так как положительный ортант — открытое множество, взаимная однозначность отображения Ю вытекает из аффинности этого отображения и того факта, что расположение вершин линейной сети однозначно определяет вектор длин ее ребер. Теперь все готово, чтобы доказать следующую теорему, Теорема 7 Пусть Г -- погруженная линейная сегаь огана С с граниаей р в Ко.

Обозначим через т число ребер графа С, и через г ранг г1с[Г) сети Г. Тогда [С, Дг открытое выну лое многогранное подмножество в ф[Л) [вообще говоря, не ограниченное), его размерность равна т — г, и количество граней максимальной размерностн не превосходит т. Доказательство. В силу предложения 5.3, Теперь выпуклость, открытость и многогранность множества [С, Дг в аффинном подпространстве ф[Л) С [С, д[ вытекает из аффинности отображения ф и выпуклости, открытости и многогранности в Л множества Л 01п1 К~~.

В частности, размерность множества [С, у[г равна размерности пространства Л, т.е. равна т — г. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться следующей очевидной леммой. Лемма 5.5 Пусть Х внутренняя точка положительного ортанта К~, и П проходящее через Х аффинное надпространство в К"', пересекающее К„по множеству И'. Тогда 11 выпуклое многогранное множество, количество граней максимальной размерности которого не превосходит т. Теорема доказана.

Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей. 296 Оказывается, если граница сети Г удовлетворяет некоторым естественным ограничениям, то теорему 7 можно усилить. Пусть, как и выше, Г: С вЂ” л К~ погруженная линейная сеть. Определим геомеплрическую границу дэГ сети Г стедук>щим образолс. Вершину и сети Г отнесем к деГ, если и только если существует такая проходящая через и гиперплоскость в К~, что одно из ограниченных ей открытых полупространств содержит внутренности всех ребер из Г, инцидентных Имеет место следующий результат. Предложение 5.4 Погруженная линейная сегпь содержится в выпу- клой оболочке своей геометрической границы. Доказательство.

Предположим противное. Тогда выпуклая оболочка всей сети содержит выпуклую оболочку ее геометрической границы как собственное подмножество. Отсюда немедленно вытекает, что существует вершина о сети, не принадлежащая геометрической границе, лежащая на границе выпуклой оболочки сети, и такая что одна из опорных гиперплоскостей к выпуклой оболочке сети пересекает зту оболочку в точности по вершине и. Но последнее означает, что о принадлежит геометрической границе сети, что невозможно.

Доказательство закончено. Из предложения 5.4 и теоремы 7 вытекает следующий результат, Следствие 5.1 В предположениях теоремы 7, если граница ул сети Г содержит геометрическую границу двГ этой сети, то множество ~С,~р1г яв яется внунлренностпью выпуклого (ограниченного) многогранника размерности т — т, количестпво граней максимальной размерности которого не превосходит т. Замечание. Легко построить пример погруженной линейной сети Г, граница сэ которои не содержит геометричсскои границы диГ, однако множество ~С,со1г ограничсно. Было бы интересно найти критерий ограниченности множества ~С,.р~г в терлсинах геометрии границы ~р.

5.2 Взвешенные минимальные сети в Кд В данном разделе мы используем полученные выше общие результаты для описания структуры множества лежащих в йС~ погруженных взвешенных минимальных сетей фиксированного типа и с данной границей. Напомним, что локальная структура таких сетей описывается 5.2. Взвешенные минимальные сети в кап.

297 теоремой 2 так. Погруженная взвешенная сеть Г с границей ЛХ в римановом многообразии И' является минимальной, если и только если имеют место следующие свойства; ° все ребра сети -- отрезки геодезических:, ° для каждой неграничной вершины о линейная комбинация единичных векторов направлений входящих в о ребер с коэффициентами весами этих ребер, равна нулю. Замечание.

Вообще говоря, взвешенная минимальная сеть Г: С ь И' может содержать кратные ребра. Из теоремы 2 о локальной структуре вытекает, что если каждые две точки многообразия Иг соединяет не более одной геодезической (например, И' область в Ко или в пространстве Лобачевского), то образы всех кратных ребер совпадают. Более того, если в этом случае перестроить взвешенный граф С, заменив каждый набор ем, .., ер кратных ребер на одно из этих ребер с весом., равным 2 Р „оэ(е,), и определить на полученном графе С сеть Г, совпадающую с Г, то взвешенная сеть Г вновь будет минимальной с той же границей, что и сеть Г.

Описанную операцию на взвешенных графах и соответствующих сетях назовем склейкой кратных ребер, а полученные в результате склейки кратных ребер граф С и сеть Г будем обозначать через д(С) и д(Г) соответственно. Следствие 5.2 Пусть Г лвляетсл взвешенной минимальной сетью, и о нроизвольнал ее подвижная вершина. Тогда степень вер1аины о не меньше 2, и веса ребер, инцидентных о, удовлетворяюга лправилу многоугольника": все каждого иэ этих ребер не больше суммы весов всех остальных иэ этих ребер. В частности, если направления всех ребер, анцидентных вершине о, колинеарны, то эти ребра разбиваются на два класса, с одинаковыми суммарными весами. Поэтому, веса ребер, инцидентных подвижной вершине степени 2, равны между собой.

Характеристики

Список файлов диссертации