Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

Пусть дС эффективная граница графа С, которая состоит из 4 вершин. Рассмотрим граничное отображение р, переводящее множество дС в четыре различных точки ЛХы ..,, ЛХм лежащие на одной прямой й Будем предполагать беэ ограничения общности, что точки ЛХ, занумерованы последовательно. Тогда, для любого расположения образа А вершины о на интервале (ЛХз, ЛХз), соответствующая линейная сеть Г является взвешенной минимальной сетью типа С с границей ьз.

Вершина Г; и ьь А этои сети слабо фиктивна. Отметим, что в этом случае имеется однопарамстрическое семейство взвешенных минимальных сетей типа С с границей д. Если же сколь угодно мало изменить отображение уо так, чтобы точки ЛХ; стели вершинами плоского выпуклого четырехутольника, то для такого граничного отображения существует одинствснная взвешенная минимальная сеть Г типа С. Образ А вершины и сети Г совпадает с точкой пересечения диагоналей граничного четырехугольника.

.Ясно, что вершина Г: и ь+ .4 в этом случае не является слабо фиктивной. Предложение 5з8 Пусть Г: С ь Гь~ погруженное взвешенное минимальное дерево без слабо фиктивных вершин. Тогда Г единственнал погрулсеннал взвешеннал минимальнал сеть типа С с граниией дГ. Доказательство. Предположим противное, т.с, пусть существует отличная от Г взвешенная минимальная сеть Г': С вЂ” ь Б!~ с границей ВГ' = дГ. В силу следствия 5.4, обе сети Г и Г' лежат в ~С, ш1оиь. Рассмотрим семейство линейных сетей Ге — — (1 — ь)Г + И"', где 1 Е ~~0, Ц. Обозначим через Ь'„вектор скорости деформации Г~ в вершине и при с = О.

В силу предложения 5.б, все линеиные сети Г, лежат в [С,Д ви и, значит, имеют одинаковую взвешенную длину Х111 = Х„(Г~), Поэтому вторая производная функции Х1с1 равна нулю. Из следствия 5.5 вытекает, что для любых смежных вершин о1 и из графа С разность 5.2. Взвешснные минимальныс сети в Гх~ч. 303 векторов Е, и Е,, параллельна ребру е сети Г, соединяющему соответствующие щ вершины. В частности, если в одной из вершин, скажем в пы вектор Е„, равен нулю, го вектор Е,, параллелен ребру е. Рассмотрим множество Е всех вершин и графа С, в которых вектор Ея отличен от нуля. Такие вершины будем называть сжещаемыми. Рассмотрим подграф в С, порожденный множеством Е, выберем в этом подграфо произвольную связную компоненту, (которая, очевидно, является деревом), и пусть и вершина степени один в этой компоненте.

Так как граф С не содержит фиктивных вершин, а и -- подвижная вершина, то степень вершины и в графе С больше 2. Поэтому, множество всех несмешаемых вершин из С, смежных с и, состоит не менее чем из двух элементов. Так как сеть Г нс содержит слабо фиктивных вершин, среди несмещаемых вершин смежных с и сущвствует по крайней мере две, скажем щ и пя, таких что образы е,, ребер, соединяющих ь с п, не лежат на одной прямой.

Так как вершины щ и пз несмещаемы, вектора Е„, и Е„, равны нулю. Поэтому, в соответствие с вышесказанным, вектор Е, должен быть параллслен обоим отрезкам е„что невозможно. Доказательство закончено. Если дерево Г содержит слабо фиктивные вершины, то. как видно из примера 5.2.1, никакой единственности нет. Аналогично, если Г не является деревом, то, вообще говоря, также единственности нет.

Приведем соответствующий пример. Пример. Рассмотрим правильныи шестиугольник на плоскости, из каждой вершины которого наружу отложен отрезок, составляющий со смежными сторонами шестиугольника углы в 120'. Если в качестве границы полученной линейной сети выбрать все ее вершины степени 1, и выбрать весовую функцию постоянной, то полученная взвешенная минимальная сеть лижет быть продеформирована в классе взвешенных минимальных сетей того же типа и с той же границеи: шестиугольник можно сжимать и растягивать вдоль прямых, проходящих через граничные ребра. Если к границе добавить еще хотя бы одну вершину степени три, то полученная взвешеннал минимальная сеть уже не может быть продеформирована.

Причину этого легко понятэс если разрезать такую сеть по гранпчной вершине степени три, то она превратится во взвешенное минимальнос дерево, которое единственно в соответствие с предложением 5.8. Следующее предложение позволит нам свести задачу описания множества взвешенных минимальных сетей данного типа с фиксированной границей к теореме 7. Глава 5.

Сети с фиксированными типом и границей. 304 Предложение 5.9 Пусть С -- взвешенный граф' с весовой функцией ьэ, а Г и Г' -- две взвешенных минимальных сети типа С с одной и той же границей ьо. Тогда сети Г и Г' параллельны. Поэтому, в частности, если Г, линейная деформация, соеди яющол сети Г и Г', нш все Г~ — суть взаимно параллельные взвешенные минимальные сети типа С с границей ьз. Доказательство. Прежде всего покажем, что соответствующие ребра сотой Г и Г' параллельны (напомним, что для параллельности сетей этого не достаточно). В силу следствия 5.4, обе сети Г и Г' лежат в [С, уэ]„„ь. Рассмотрим семейство линейных сетей Г, = (1 — ~)Г + ~Г', где й Е [О, 1]. Обозначим через Е, вектор скорости деформации Гь в вершине о при ~ = О. В силу предложения 5.6, все линейные сети Г, лежат в [С,ьз] ао и, значит, имекьт одинаковую взвешенную длину с[с) = К, (Гь).

Поэтому вторая производная функции с[ь) равна нулю. По следствию 5.5, соответствующие ребра сетей Г и Г' параллельны, что и требовалось. Для завершения доказательства предложения досгаточно показать, что все линейные сети Г, не содержат вырожденных ребер. Нам потребуется следующий результат из [55]. этверждение 5.3 Пусть Ь прямая в 2[С), проходящая через погруженную линейную сан~в Г. Тогда Е содержисп не более чем конечное множество линейных сетей, не являющихся погруженными. Поэтому, если. Ь -- прямая в [С,ьэ], проходящая через погруженную линейную сеть Г, то Е также содержит не более чем конечное.,множество линейных сетей, не являющихся погруженными. Доказательство. Докажем сначала первое у.тверждение.

Пусть прямая Ь задается параметрически так: ь(с) = Г+ ~п, где ь е К --- параметр, а и --. ненулевой вектор в 2(С). Напомним, что 2[С) параметризуется координатами образов вершин линейных сетей из 2(С). Поэтому, если сеть Г задаетсл, как точка из 2(С), вектором (ь'ы..., ь' ), составленным из координат Гя образов своих вершин, то прямая А имеет вид; Л(1) = Я + ьпм...,1',„+ опт), где [пм.,.,п ) .— координаты вектора и. Отметим, что линейная сеть А[с) вырождена тогда и только тогда, когда для некоторых ь и ф выполняется условие; 1', + ьп, = ь' + еп:. Однако, при ь' = 0 линейная сеть ЦО) = Г невырождена, поэтому 1;, ~ г'..

Отсюда немедленно вытекает, что или и; = п, и тогда Ь; + 1 и; не совпадает с Ь' + 1 п ни при каком с, или, в противном случае, существует единственное 1, при котором эти точки одинаковы. Первое у твержденис доказано. 5.2. Взвешенные минимальные сети в йгг. 305 Второе утверждение вытекает из того, что [С, гд] -- линейное подпространство в ь(С). Доказательство закончено. Вернемся к доказательству предложения.

Предположим противное, т.е. среди линейных сетей Г, имеются не погруженные. В силу утверждения 5.3, таких сетей имеется лишь конечное число. Поэтому среди сетеи Гг существует погруженная сеть Гг', такая что между Г и Г" имеется ровно одна не погруженная сеть Г из семейства Гг. Рассмотрим произвольную связную компоненту Г,1 множества всех вырожденных ребер сети Г. Легко видеть, что эта компонента является подсетью в Г, содержащей все ребра из Г, соединяющие вершины из Гю Пусть Сл подграф в С, параметризующий Гю и и произвольная вершина из Сю Обозначим через е1,..., ер все ребра из С,1, инцидентные и, а через Х1,..., Х -. все ребра из С, инцидентные г и отличные от е,.

Далее, пусть Хгг и р единичныс вектора направлений входящих в вершину Г: р — > Кгг ребер Г: ег — 1 К1г и Г: Х вЂ” р Гхгг сети Г соответственно. Так как сети Г и Г" минимальны. имеем ~ гр[Я~ггг + ~ьг[е1)Хг1 = О, ~аг(Х1)р — ~~гр[ег)Хг1 = О, поэтому ~~ ьг[Х )и = О, ьг[ег)Хг; = О. г=1 ПУсть ЛХ С Кгг множество Г-обРазов веРшин из Сгь Так как С,г содержит по крайней мере одно ребро, и сеть Г - — погруженная, множество ЛХ состоит более чем из одной точки. Поэтомуг выпуклая оболочка сопр[ЛХ) множества ЛХ яьшяется отличным от точки выпуклым многогранником.

Характеристики

Список файлов диссертации